江苏省无锡市高二上期末数学试卷解析

1、2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1若直线（a2）xy+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为2设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t21米/秒，则在2秒是加速度为米/秒23圆x2+y2+4x4y8=0与圆x2+y22x+4y+1=0的位置关系是4在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为5设两条直线x+y2=0，3xy2=0的交点为M，若点M在圆（xm）2+y2=5内，则实数m的取值范围为6若点A（6，y）在抛物线y2=8x上

2、，F为抛物线的焦点，则AF的长度为7已知一个圆锥的侧面积是50cm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为8如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为9给出下列三个命题：若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；记函数f（x）是导函数为f（x），若f（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；“a=3”是“直线l1：x+ay3=0，l2：（a1）x+2ay+1=0平行“的充要条件则真命题的序号是10设f（x）=sinx2cosx+1的导函数为f（x），则f（）=11（理）

3、设向量=（2，2s2，t+2），=（4，2s+1，3t2），且，则实数s+t=12如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：GH与EF平行；BE与MN为异面直线；GH与AF成60°角；MN平面ADF；其中正确结论的序号是13过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是14已知f（x）=ax+，g（x）=ex3ax，a0，若对x1（0，1），存在x2（1，+），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为15已知直

4、线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y22x+4y4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2ab）x+（2bc）y+（2ca）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是二、解答题：本大题共7小题，共90分解答写出文字说明、证明过程或演算过程16（14分）设直线l1：mx2my6=0与l2：（3m）x+my+m23m=0（1）若l1l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是梯形，ADBC，ABC=90°，平面PAB平面ABCD，PBAB且AD=

5、AB=BP=BC（1）求证：CD平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP平面BDQ，求证：OQ平面APD18（14分）已知直线l：y=2x+n，nR，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）（1）当n=2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l，试问直线l与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由19（16分）（文科）已知mR，集合A=m|m2am12a2（a0）；集合B=m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若“mA”是“mB”的充分不必要条件，求a的取值范围20（理科）如图，在正方体ABCDA1B1C1

6、D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=（1）若=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1CED为，求的值21（16分）已知函数f（x）=lnx+2，aR（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为2x+y3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y2（a1）=0的上方，求正实数a的取值范围22（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a0，b0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B

7、，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1若直线（a2）xy+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为3【考点】直线的倾斜角【分析】由题中线的倾斜角和斜率的关系得到a【解答】解：因为直线（a2）xy+3=0的倾斜角为45°，所以直线的斜率为tan45°=a2=1，所以

8、a=3；故答案为：3【点评】本题考查了直线的倾斜角直线的倾斜角为，那么它的斜率为tan（90°）2设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t21米/秒，则在2秒是加速度为12米/秒2【考点】变化的快慢与变化率【分析】利用导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），然后利用导数求解即可【解答】解：v（t）=3t21，v'（t）=6t，根据导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），v'（2）=6×2=12，故答案为：12【点评】本题主要考查导数的物理意义，以及导数的基本运算，比较基础3圆x2+

9、y2+4x4y8=0与圆x2+y22x+4y+1=0的位置关系是相交【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距为5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，可得两个圆的位置关系为相交【解答】解：圆x2+y2+4x4y8=0，即（x+2）2+（y2）2 =16，表示以（2，2）为圆心、半径等于4的圆 圆x2+y22x+4y+1=0，即（x1）2+（y+2）2=4，表示以（1，2）为圆心、半径等于2的圆两个圆的圆心距为d=5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故答案为：相交【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆

10、的位置关系的判定方法，属于基础题4在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】由CC1BB1，知B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成角的正切值【解答】解：在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，CC1BB1，B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA1=2AB=2，则B1D1=，BB1=2，tanB1BD1=异面直线BD1与CC1所成角的正切值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意空间思维能力的培养5设两条直

11、线x+y2=0，3xy2=0的交点为M，若点M在圆（xm）2+y2=5内，则实数m的取值范围为（1，3）【考点】点与圆的位置关系【分析】求出两条直线的交点坐标，以及圆的圆心的距离小于半径，求解即可得答案【解答】解：由题意可知：，解得，交点（1，1），交点M在圆（xm）2+y2=5的内部，可得（1m）2+15，解得1m3实数m的取值范围为：（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查点与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是基础题6若点A（6，y）在抛物线y2=8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为8【考点】抛物线的简单性质【分析】由于抛物线y2=8x的准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴

12、距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|的值【解答】解：由于抛物线y2=8x的焦点F（2，0），其准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|=8，故答案为：8【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题7已知一个圆锥的侧面积是50cm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为5【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，利用圆锥的侧面积是50cm2，求出此圆锥的底面半径【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则母线长为

13、2R，圆锥的侧面积是50cm2，50=×R×2R，解得R=5cm故答案为5【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键8如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为S2S3S1【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设球的半径为 R，正方体的棱长为 a，等边圆柱的底面半径为 r，且它们的体积都为 V，则V=，由此能比较S1，S2，S3大小【解答】解：设球的半径为 R，正方体的棱长为 a，等边圆柱的底面半径为 r，且它们的体积都为 V，则V=，解得，a=，r=，S1=6

14、5;a2=6（）2=6=，S2=4R2=4（）2=，S3=2=S2S3S1故答案为：S2S3S1【点评】本题考查正方体、球与等边圆柱的表面积的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体、球与等边圆柱的体积和表面积的性质的合理运用9给出下列三个命题：若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；记函数f（x）是导函数为f（x），若f（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；“a=3”是“直线l1：x+ay3=0，l2：（a1）x+2ay+1=0平行“的充要条件则真命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】，由命题p为真，得p或q为真命题；，例如函数f（x）=x3满足f（

15、0）=0，但f（0）不是f（x）的极值；，当a=0时，直线l1：x+ay3=0，l2：（a1）x+2ay+1=0平行；【解答】解：对于，因为命题p为真，p或q为真命题，故正确；对于，例如函数f（x）=x3满足f（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值，故错；对于，当a=0时，直线l1：x+ay3=0，l2：（a1）x+2ay+1=0平行，故错；故答案为：【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题10（文）设f（x）=sinx2cosx+1的导函数为f（x），则f（）=【考点】导数的运算【分析】先求导，再代值计算即可【解答】解：f（x）=sinx2cosx+1的导函数为f（x）=cosx+2s

16、inx，f（）=cos+2sin=+2×=，故答案为：【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值得求法，属于基础题11（2016秋无锡期末）（理）设向量=（2，2s2，t+2），=（4，2s+1，3t2），且，则实数s+t=【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，存在实数k，使得=k，则，解得k=，s=，t=6s+t=故答案为：【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：GH与EF平行；BE与MN为异面直线；

17、GH与AF成60°角；MN平面ADF；其中正确结论的序号是【考点】棱柱的结构特征【分析】正四面体的平面展开图还原成正四面体，利用数形结合思想能求出结果【解答】解：正四面体的平面展开图还原成正四面体，如图：在中，GH与EF是异面直线，故错误；在中，BE与MN相交于点N，故错误；在中，GHAD，GH与AF成60°角，故正确；在中，MNAF，MN平面ADF，故正确故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养13过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双

18、曲线的离心率是【考点】双曲线的简单性质【分析】作出简图，由图中可得线段的长，从而得到b=2a，进而求双曲线的离心率【解答】解：如图|OF|=c，|OM|=a，|FG|=2c；|F|=b，又M为PF的中点，|PG|=2|OM|=2a，|PF|=2b，|PF|PG|=2b2a=2a；b=2a，c=a，e=故答案为【点评】本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用，同时考查了双曲线的定义，属于中档题14已知f（x）=ax+，g（x）=ex3ax，a0，若对x1（0，1），存在x2（1，+），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为，+）【考点】利用导数求

19、闭区间上函数的最值【分析】对任意的x（0，1），f（x）的值域为（2a，+），要使x2R，使f（x1）=g（x2），则g（x）的值域B应满足（2a，+）B，对a进行分类讨论，得出a的范围【解答】解：当x（0，1）时，f（x）=ax+为减函数，由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+），若若对x1（0，1），存在x2（1，+），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则g（x）的值域B应满足（2a，+）B，令g（x）=ex3a=0，则ex=3a，即x=ln3a，若ln3a1，即3ae，此时g（x）g（1）=e3a，此时由e3a2a得：a，若ln3a1，即3ae，g（x）=（1，ln3a）上为

20、减函数，在（ln3a，+）上为增函数，此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1ln3a）02a满足条件；综上可得：实数a的取值范围为，+）故答案为：，+）【点评】本题考查了全称命题，对数函数的图象和性质，利用导数研究函数的最值，难度中档15已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y22x+4y4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2ab）x+（2bc）y+（2ca）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是【考点】直线与圆的位置关系【分析】确定直线过定点M（4，5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x5）2+（y2）2=50，即可

21、求出线段CH长度的取值范围【解答】解：由题意，圆心C（1，2）在直线ax+by+c=0上，可得a2b+c=0，即c=2ba直线l：（2ab）x+（2bc）y+（2ca）=0，即a（2x+y3）+b（4x）=0，由，可得x=4，y=5，即直线过定点M（4，5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x5）2+（y2）2=50，|CA|=4CH最小为5=，CH最大为4，线段CH长度的取值范围是故答案为【点评】本题考查直线过定点，考查线段CH长度的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、解答题：本大题共7小题，共90分解答写出文字说明、证明过程或演算过程16（14分

22、）（2016秋无锡期末）设直线l1：mx2my6=0与l2：（3m）x+my+m23m=0（1）若l1l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程【考点】待定系数法求直线方程；两条平行直线间的距离【分析】（1）若l1l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；（2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程【解答】解：（1）若l1l2，则，m=6，l1：x2y1=0，l2：x2y6=0l1，l2之间的距离d=；（2）由题意，0m3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=m（3m）

23、=+，m=时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y3=0【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（14分）（2016秋无锡期末）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是梯形，ADBC，ABC=90°，平面PAB平面ABCD，PBAB且AD=AB=BP=BC（1）求证：CD平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP平面BDQ，求证：OQ平面APD【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明CDPB，CDBD，即可证明CD平面PBD；（2）证明APOQ，即可证明OQ平面APD【解答】证明

24、：（1）平面PAB平面ABCD，PBAB，平面PAB平面ABCD=AB，PB平面ABCD，CD平面ABCD，CDPB，AD=AB=BC，BAD=90°，BD=AD，BC=2AD，DBC=45°，BDC=90°，CDBD，PBBD=B，CD平面PBD；（2）AP平面BDQ，APOQ，OQ平面APD，AP平面APD，OQ平面APD【点评】本题考查空间线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（14分）（2016秋无锡期末）已知直线l：y=2x+n，nR，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）（1）当n=2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设

25、直线l关于y轴对称的直线为l，试问直线l与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）利用待定系数法，求出圆的圆心与半径即可得到圆的标准方程（2）求出对称直线的方程与抛物线联立方程组，利用相切求解即可【解答】解：（1）设M的方程为x2+（yb）2=r2，（1，1）代入，可得1+（1b）2=r2，直线l与圆M相切， =r，由可得b=3或，M的方程为x2+（y3）2=5，或x2+（y）2=，（2）因为直线l的方程为y=2x+n所以直线l的方程为y=2x+n与抛物线联立得x2+12x6n=0=144+24n当n=6，即=0时，

26、直线l与抛物线C相切；，切点坐标为（6，6）当n6，即0时，直线l与抛物线C不相切【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法，以及对称知识的应用，考查分析问题解决问题的能力19（16分）（2016秋无锡期末）（文科）已知mR，集合A=m|m2am12a2（a0）；集合B=m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若“mA”是“mB”的充分不必要条件，求a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】通过讨论a的范围，分别求出关于A、B的不等式的解集，结合集合的包含关系，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：对于集合A，由m2am12a2，故（m4a）（m+3a）0，对

27、于集合B，解，解得：4m2；a0时，集合A：3am4a，若“mA”是“mB”的充分不必要条件，则，解得：0a；a0时，集合A：am3a，若“mA”是“mB”的充分不必要条件，则，解得：a0，综上：a（，0）（0，）【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的运算以及不等式问题，是一道中档题20（2016秋无锡期末）（理科）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=（1）若=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1CED为，求的值【考点】二面角的平面角及求法【分析】（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直

28、角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与CD1所成角的余弦值（2）求出平面CD1E的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出结果【解答】解：（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），O（，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），D（0，0，0），设E（x0，y0，z0），=， =，（x0，y0，z01）=（，x0），解得x0=，y0=，z0=，E（，），=（，），CD1=（0，1，1），cos，=，异面直线DE与CD1所成角的余弦值为（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），=（，0），=（0，1，1），=（0，1，

29、0），则，取z=1，得=（1，1，1），由=，得E（，），=（，），设平面CDE的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，），二面角D1CED为，|cos|=，2，解得=82【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意向量法的合理运用21（16分）（2016秋无锡期末）已知函数f（x）=lnx+2，aR（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为2x+y3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y2（a1）=0的上方，求正实数a的取值范围【考点】利用导数研究函

30、数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）令g（x）=f（x）（a+1）x+2（a1），求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出g（x）的最小值，求出a的范围即可【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+），f（x）=，f（1）=1a，f（1）=a2，故曲线y=f（x）在（1，f（1）处的曲线方程是：y（a2）=（1a）（x1），即（a1）x+y2a+3=0，又曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线为：2x+y3=0，故a=3；（2）由于f（x）=，若a0，对于x（0，+），f（x）0恒成立，即f（x）在（0，+）递增，故函数的递增区间是（0，+）；若a0，当x（0，a）时，f（x）0，f（x）递减，x（a，+）时，f（x）0，f（x）递增，故f（x）在（0，a）递减，在