二次函数的应用

1、.二次函数的应用以下是查字典数学网为您推荐的二次函数的应用，希望本篇文章对您学习有所帮助。二次函数的应用教学设计思想：本节主要研究的是与二次函数有关的实际问题，重点是实际应用题，在教学过程中让学生运用二次函数的知识分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义。二次函数与一元二次方程、一元二次不等式有亲密联络，在学习过程中应把二次函数与之有关知识联络起来，融会贯穿，使学生的认识更加深化。另外，在利用图像法解方程时，图像应画得准确一些，使求得的解更准确，在求解过程中体会数形结合的思想。教学目的：1.知识与技能会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题。2.过程与方法通过本节内容的学

2、习，进步自主探究、团结合作的才能，在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想。3.情感、态度与价值观通过学生之间的讨论、交流和探究，建立合作意识和进步探究才能，激发学习的兴趣和欲望。教学重点：解决与二次函数有关的实际应用题。教学难点：二次函数的应用。教学媒体：幻灯片，计算器。教学安排：3课时。教学方法：小组讨论，探究式。教学过程：第一课时：.情景导入：师：由二次函数的一般形式y= a0，你会有什么联想?生：老师，我想到了一元二次方程的一般形式 a0。师：不错，正因为如此，有时我们就将二次函数的有关问题转化为一元二次方程的问题来解决。如今大家来做下面这两道题：幻灯片显示1.解方程

3、。2.画出二次函数y= 的图像。老师找两个学生解答，作为板书。.新课讲授同学们考虑下面的问题，可以共同讨论：1.二次函数y= 的图像与x轴交点的横坐标是什么?它与方程 的根有什么关系?2.假如方程 a0有实数根，那么它的根和二次函数y= 的图像与x轴交点的横坐标有什么关系?生甲：老师，由画出的图像可以看出与x轴交点的横坐标是-1、2;方程的两个根是-1、2，我们发现方程的两个解正好是图像与x轴交点的横坐标。生乙：我们经过讨论，认为假如方程 a0有实数根，那么它的根等于二次函数y= 的图像与x轴交点的横坐标。师：说的很好;老师总结：一般地，假如二次函数y= 的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是

4、一元二次方程 =0的根。师：我们知道方程的两个解正好是二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标，那么二次函数图像与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题，我们共同研究下面问题。学法：通过实例，体会二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程本质上就是求二次函数为0的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。问题：二次函数y= 。1观察这个函数的图像图34-9，一元二次方程 =0的两个根分别在哪两个整数之间?2由在0至1范围内的x值所对应的y值见下表，你能说出一元二次方程 =0准确到非常位的正根吗?x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.

5、9 1y -1 -0.89 -0.76 -0.61 -0.44 -0.25 -0.04 -0.19 0.44 0.71 1由在0.6至0.7范围内的x值所对应的y值见下表，你能说出一元二次方程 =0准确到百分位的正根吗?x 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70y -0.040 -0.018 0.004 0.027 0.050 0.073 0.096 0.119 0.142 0.166 0.1903请仿照上面的方法，求出一元二次方程 =0的另一个准确到非常位的根。4请利用一元二次方程的求根公式解方程 =0，并检验上面求出的近

6、似解。第一问很简单，可以请一名同学来答复这个问题。生：一个根在-2，-1之间，另一个在0，1之间;根据上面我们得出的结论。师：答复的很正确;我们知道图像与x轴交点的横坐标就是方程的根，所以我们可以通过观看图象就能说出方程的两个根。如今我们共同解答第2问。老师分析：我们知道方程的一个根在0，1之间，那么我们观看0，1这个区间的图像，y值是随着x值的增大而不断增大的，y值也是从负数过渡到正数，而当y=0时所对应的x值就是方程的根。如今我们要求的是方程的近似解，那么同学们想一想，答案是什么呢?生：通过列表可以看出，在0.6，0.7范围内，y值有-0.04至0.19，假如方程准确到非常位的正根，x应该

7、是0.6。类似的，我们得出方程准确到百分位的正根是0.62。对于第三问，老师可以让学生自己动手解答，老师在下面巡视，观察其中发现的问题。最后师生共同利用求根公式，验证求出的近似解。老师总结：我们发现，当二次函数 a0的图像与x轴有交点时，根据图像与x轴的交点，就可以确定一元二次方程 的根在哪两个连续整数之间。为了得到更准确的近似解，对在这两个连续整数之间的x的值进展细分，并求出相应得y值，列出表格，这样就可以得到一元二次方程 所要求的准确度的近似解。.练习一个矩形的长比宽多3m，面积为6 。求这个矩形的长准确到非常位。板书设计：二次函数的应用1一、导入 总结：二、新课讲授 三、练习第二课时：师

8、：在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例?生：老师，我见过好多。如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系：圆的面积与它的直径之间的关系等。师：好，看这样一个问题你能否解决：活动1：如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。答复下面的问题：1.设每个小矩形一边的长为xm，试用x表示小矩形的另一边的长。2.设四个小矩形的总面积为y ，请写出用x表示y的函数表达式。3.你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗?4.你能画出这个函数的图像，并借助图像说出y的最大值吗?学生考虑，并小组讨论。解：周长为40

9、m，一边长为xm，看图知，另一边长为 m。由面积公式得 y= x 化简得 y=代入顶点坐标公式，得顶点坐标x=4，y=5。y的最大值为5。画函数图像：通过图像，我们知道y的最大值为5。师：通过上面这个例题，我们能总结出几种求y的最值得方法呢?生：两种;一种是画函数图像，观察最高低点，可以得到函数的最值;另外一种可以利用顶点坐标公式，直接计算最值。师：这位同学答复的很好，看来同学们是都理解了，也知道如何求函数的最值。总结：由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大或最小值时，可以采取如下的方法：1画出函数的图像，观察图像的最高或最低点，

10、就可以得到函数的最大或最小值。2按照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值;再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大或最小值。师：如今利用我们前面所学的知识，解决实际问题。活动2：如图34-11，AB=2，C是AB上一点，四边形ACDE和四边形CBFG，都是正方形，设BC=x，1AC=_;2设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S，用x表示S的函数表达式为S=_.3总面积S有最大值还是最小值?这个最大值或最小值是多少?4总面积S取最大值或最小值时，点C在AB的什么位置?老师讲解：二次函数 进展配方为y= ，当a0时，抛物线开口向上，此时当x= 时， ;当a0

11、时，抛物线开口向下，此时当x= 时， 。对于此题来说，自变量x的最值范围受实际条件的制约，应为02。此时y相应的就有最大值和最小值了。通过画出图像，可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此时x的取值情况。在作图像时一定要准确认真，同时还要考虑到x的取值范围。解答过程板书解：1当BC=x时，AC=2-x02。2SCDE= ,SBFG= ,因此，S= + =2 -4x+4=2 +2，画出函数S= +202的图像，如图34-4-3。3由图像可知：当x=1时， ;当x=0或x=2时， 。4当x=1时，C点恰好在AB的中点上。当x=0时，C点恰好在B处。当x=2时，C点恰好在A处。教法：在利用函数求极值问

12、题，一定要考虑此题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许获得范围内画。练习：如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QPAP，并且交DC与点Q。1RtABP与RtPCQ相似吗?为什么?2当点P在什么位置时，RtADQ的面积最小?最小面积是多少?小结：利用二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，那么可求某些实际问题中的极值，求极值时可把 配方为y= 的形式。板书设计：二次函数的应用2活动1： 总结方法：活动2： 练习：小结：第三课时：我们这部分学习的是二次函数的应用，在解决实际问题时，常常需要把二次函数问题转化为方程的问题。师：在日常生活中，有哪些量之间的关系是二

13、次函数关系?大家观看下面的图片。幻灯片显示交通事故、紧急刹车师：你知道两辆车在行驶时为什么要保持一定的间隔 吗?学生考虑，讨论。师：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段间隔 才能停住，这段间隔 叫做刹车间隔 。刹车间隔 是分析、处理道路交通事故的一个重要原因。请看下面一个道路交通事故案例：甲、乙两车在限速为40km/h的湿滑弯道上相向而行，待望见对方。同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了。事后经现场勘查，测得甲车的刹车间隔 是12m，乙车的刹车间隔 超过10m，但小于12m。根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车间隔 S甲m与车速xkm/h之间的关系为S甲=0.1x+0.01

14、x2，乙车的刹车间隔 S乙m与车速xkm/h之间的关系为S乙= 。老师提问：1.你知道甲车刹车前的行驶速度吗?甲车是否违章超速?2.你知道乙车刹车前的行驶速度在什么范围内吗?乙车是否违章超速?学生考虑!老师引导。对于二次函数S甲=0.1x+0.01x2：1当S甲=12时，我们得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。请谈谈这个一元二次方程这个一元二次方程的实际意义。2当S甲=11时，不经过计算，你能说明两车相撞的主要责任者是谁吗?3由乙车的刹车间隔 比甲车的刹车间隔 短，就一定能说明事故责任者是甲车吗?为什么?生甲：我们能知道甲车刹车前的行驶速度，知道甲车的刹车间隔 ，又知道刹车间隔 与车

15、速的关系式，所以车速很容易求出，求得x=30km，小于限速40km/h，故甲车没有违章超速。生乙：同样，知道乙车刹车前的行驶速度，知道乙车的刹车间隔 的取值范围，又知道刹车间隔 与车速的关系式，求得x在40km/h与48km/h不包含40km/h之间。可见乙车违章超速了。同学们，从这个事例当中我们可以体会到，假如二次函数y= a0的某一函数值y=M。就可利用一元二次方程 =M，确定它所对应得x值，这样，就把二次函数与一元二次方程严密地联络起来了。下面看下面的这道例题：当路况良好时，在枯燥的路面上，汽车的刹车间隔 s与车速v之间的关系如下表所示：v/km/h 40 60 80 100 120s/

16、m 2 4.2 7.2 11 15.61在平面直角坐标系中描出每对v，s所对应的点，并用光滑的曲线顺次连结各点。2利用图像验证刹车间隔 sm与车速vkm/h是否有如下关系：3求当s=9m时的车速v。学生考虑，亲自动手，进步学生自主学习的才能。老师提问，学生答复正确答案，老师再进展讲解。课上练习：某产品的本钱是20元/件，在试销阶段，当产品的售价为x元/件时，日销量为200-x件。1写出用售价x元/件表示每日的销售利润y元的表达式。2当日销量利润是1500元时，产品的售价是多少?日销量是多少件?3当售价定为多少时，日销量利润最大?最大日销量利润是多少?课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,

17、但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,老师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取出来,使文章增色添辉。课堂小结：本节课主要是利用函数求极值的问题，解决此类问题时，一定要考虑到此题的实际意义，弄明白自变量的

18、取值范围。在画图像时，在自变量允许取的范围内画。板书设计：二次函数的应用3一、案例 二、例题分析： 练习：课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,老师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取出来,使文章增色添辉。总结：查字典数学网“师之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生而来。其中“师傅更早