数列极限概念

1、第二章数列极限本章教学目的与根本要求:1理解数列极限的概念，建立极限思想；2掌握数列极限的性质，正确计算数列极限包括重要极限；3掌握数列极限存在判别法，并正确应用它证明极限问题。本章重点：由于极限理论是数学分析的理论根底，极限是数学分析研究函数最根本的方法是高等数学区别初等数学最显著的标志，本章内容皆为本课程的重点，具体地：1 、数列极限的概念：包括建立极限思想，极限的定义g-N ;2、数列极限的性质与计算数列极限，包括重要极限；3、数列极限存在的条件。本章难点：由于学生入学后首先学习的就是数学分析，而极限理论与初等数学反差如此之大，使学生往往难于理解与掌握，故本章内容大局部皆为本课程之难点，

2、尤其是：1、极限思想的建立，极限定义与证明；2、子列及其充要条件；3、柯西收敛准那么，单调有界定理及应用；4、极限不存在的肯定表达与证明。本章课时安排：总课时14课时，其中第一节：数列极限的概念3课时；第二节： 数列极限的性质4课时；第三节：数列极限存在的条件 3课时；习作课4课时。本章参考书籍：见导论§ 2.1数列极限概念本节主要教学内容： 数列极限的概念。教学方法与设计：本节教学内容既是本课程的重点， 又是本课程的难点， 因此必须引起足够 的重视。重点讲授数列极限的概念包括实例、描述性定义、精确定义及对:,N的分析，使学生建立极限的思想，并多以例题训练之，为学习后两节创造良好的条

3、件。一、极限的概念1、割圆术我国古代数学家刘微魏景元四年公园263年利用正多边形的周长逼近圆的周长，内接正六边形，十二，二十四，,2n46,"P6p2 >已>>P2n J6 >内接正n边形的周长：Pn31= 2nrsin ，圆周长与内接正多n其作法为：边形的周长的关系：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以致于不 可割，那么与圆合体而无所失矣。意思是说：以内接正多边形的周长近似代替圆的周长，当边数增加时，正多边形的周 长就越接近圆的周长； 当边数无限增加时， 正多边形的周长就无限趋近于圆的周长；即这一串内接正多边形的极限位置就是圆周。两层含义：1 割之弥细，所失弥

4、少两周长相差越来越小；2 割之又割，以致于不可割，那么与圆合体而无所失矣，两个无限。由此得圆的周长的定义：当圆的内接正多边形的边数n无限增加时，其周长数列 Pn无限趋于某常数S,那么称S为该圆的周长。2、古代哲学家战国时代庄周所著的?庄子.天下篇?引用一句话：“一尺之棰，日1111取其半，万世不竭，把每天截下的局部记录如下：，2，3n。2 2 2 21不难看出：当n无限增加时， 丄 无限限趋近于0,2n般地：对"an 假设当n无限增加时，an无限趋近于某一个常数 a,那么称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限，不具有这种特性的数列就不是收敛数列。 二、数列极限的定义1、考察以下数列当

5、无限增加时 an的变化趋势：(1)7-1)n丿X-1咕-心数列1、 2当n无限增加时，都有稳定的变化趋势，而3、 4没有。10、数列n(-1)nn当n无限增加时，an-1nn无限趋近于0,此时我们称0为数列(-1)n的极限。该定义乃定性描述而非定量描述，这种定性描述在理论上无法进行严谨证明，下面给 出精确的定量定义：即将上述定义中“两个无限定量化第一个“无限增加是条件，第 二个“无限趋近于是结论，也称“变化过程 。20、当n无限增大时,10 =丄能任意小。所谓“任意小n，就是要有多小，就能有多小，或只要n充分大,1-0 = 就能小于预先给定的任何任意小的正数。n如: 10，要1 1只要n10即

6、可，或当n 10时，有n 10-10。n10如：对10心号即可，或留神33331041时有3°对：;弋、0 任意小，要当 n > N 时有一0 £ s ° n数列少n的极限的定义:=nhLo_o<e ，那么称数5n-1的极限。2、数列极限的定义 ;N设数列an, a为常数，假设* a0,FN W NN n aN= a. a ve,那么称a为数列的极限，或称an收敛于a,记为：lim an = a或 an“ an 一： '。即：njpclim an = a= a0, EN e N N n > N 二 anacEn假设an不存在极限，那么称a

7、n不收敛或称an为发散数列。说明：1关于;，是由定性描述到定量描述的关键之数。io、e是任意小的正数，只有这样才能由an - a £乞刻划an无限趋近于a ；2o、名是相对固定的正数，从而由an -a £农说明an无限趋近于a是渐近的，即 呂的任意性是通过无限多个相对固定的正数表现出来的。e的双重性使数列极限的定义，从近似转化为精确， 又能从精确转化为近似， 一一是定量描述的精髓。3o、c；c 0,、；，；2,2k N与；的意义一样。k4o、一；0主要是指；为任意小的正数，因此限制 0：；：丨是合理的2关于N 充分大的自然数，n 项数变化的某一时刻。1°、nN刻划

8、了“ n无限增大的过程。2°、 N N只强调存在性，不强调唯一性及大小，假设N满足定义，那么比 N大的数如N 1> N，2、均满足定义。3o、N 一般来说与:有关，；越小N越大，但不是由；唯一决定的。4°、在讨论时，限制 N N。是合理的例：证明:(1) lim 1 , (2)n 护 n +135n + n 45lim37 2n -32证明:(1)V® >0,要1n十1n. 1 -1,取 N 二丄 -1 ，那么Wn > N，有 1 < g ,由数列极限的定义有n +1lim1。n厂n 12分析:35n n -4 52n3-3 一32n +7

9、2(2 n33):;成立，从中解出是很困难的，因为N并不是唯一的,只要找一个较大的 N即可，在此情况下可采用“放大的方法，将an a放大为an a £ f n,再令f n厂:：；，从中解出n ；，取N 十； 即可。2n +72n + 72n + n3 1 当1并< &时必有2n + 732(2 n 3)2(n3 +n3 -3)c 32n2n2f，-2n2n2(2n _3)证明：限定于n 7 相当于取3个N=7从而n3 -3 . 0故1廿1 1 r 一5n3 + n-45nn，取 N = max7 '，当Vn>N时有32®j 2訂2n 32解得:;

10、,由数列极限的定义知2获证。说明：1利用；一 n定义证明数列极限的根本思路：- ；.0 ,令an - a ：；解得n ；，令N = ；一 ；1,然后在n N的条件下，证明an - a ：；成立。2在an -a c g较复杂时，可采用“放大或“条件放大的方法，将an - a放大为a. -a v f n，f n v名解得n沁，再利用1的思路，此时注意不要忘记条件N N。，即N二maxN0,；亦可不取整n2 1课堂练习：证明以下数列极限(1) limA=0.n护3n -5作业：P27习题2 2 5思考题：k(4)唏"n 讣 0(a 皿 k > o),愎 nan = 0(0 <

11、a < O复习数列极限的；-N定义及利用该定义证明极限的方法。例：讨论P27习题1例：证明1常数列；an =c!的极限是c,即lime二c。(3)(4)证明:lim qn =0.(q <1).n_c1lim0.(二心0).n匸n -lim n a =1.(a0)n >(1 )略(2)假设 q = 0，那么由(1)知 lim 0 = 0.n_c假设 Oeqel，Ve > 0 (限制 0 £ e £ g)，要 qn -0c e，即卩nln q c In呂注意到lu 呂 c0,1n g| <0)，解得 n > ln e/In q，取 N = l

12、n e/In q 】，/n?N 有 qn0v E，由数列极限的定义有lim qn =0。n_Jpe(3)略4 假设a =1，那么结论显然成立；假设1a 1,an 1，要1 1an 1 =an 1 宀，只要In aIn 1；)假设 0 ： a ：1.那么令 a 二 1b1111于是b a1.而an -1=bn -1/bn <bn 1，同理可证。册EN，有十“3、数列发散的肯定性表达。(1)iman =a= WE：>0,mNN,W nN= anac|im._an = a=；00, N, Tn0 N =an°例：证明数列的极限不是1.证明：日塔=1/2，VN a2, 2n0 =

13、N +1>N,有 1/(% +1) 1 = n0/(n0+1)Z1/2(2)数列an收剑二a R, 一 ； 0, N N, 一n N = an - a ：；.数列an发散=a R,liman = an >二 Pa R, ±0 >0®N e N,三 n。> N=a A%.例、证明数列k_1n ?发散。aO.员=1. VN 生。=2N +1= 12Na =1 + ar% 证明：aO. so=1. VN mn。=2N= ,12N a ±1az坯即-aR , a不是数列_ln珈极限。3 数列极限的几何意义：lim an 二 a j ： - ； 0,

14、 TN , - n N= an U a,；n_.二-；0 ,在Ua,；之外至多只有an的有限多项。limanau；。0,在Ua,；。之外有佝的无限多项。n :.注意：所有的项与无限多项的区别。课堂练习：1数列"1_ln/n茁勺极限不是0；2数列$sin n ?发散例:p26例7设limxliya，作数列Zn:X1, %必2,，Xn,证明：lim zn = anJpC证明：由条件知- ；0,Ua,；之外至多只有 xn与yn的有限多项，从而在Ua,；之外至多只有Zn的有限多项，故有之。思考题：假设lim xn = a, lim yn二b,a = b，那么zn的收敛性如何。 n 匸n 例：P27例8设数列an，而bn为对an增加、减少或改变有限项后所得的数列，证明an与bn同时收敛或发散，且在收敛时两者的极