数值分析试题及答案汇总

1、1.数值分析试题填空题(2 0 X 2 )2设x=是精确值x*=的近似值，那么x有2有效数字。2.X3+ 1 ,假设 f(x)=x 7f2 0,21,22,23,24,25,26,27,28=那么 f20,21,22,23,24,25,26,27=_J3.设，OOAX o _15。4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x= (x)在有解区间满足| (x)| 1，计算时不会放大f(xi)的误差。8. 要使 20的近似值的相对误差小于 %，至少要取 4位有效数字。9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分

2、必要条件是 (B)1。 牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|f(xn)|。12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1, ,n)来实现的，其中的残差r i = (bi-ai1 X1-ai2X2- -ainxn)/aii， (i=0,1, ,n)。13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，假设在迭代区间存在唯一解，且f(x)10.由以下数据所确定的插值多项式的次数最高是x012y=f(x)-2-12的二阶导数不变号，那么初始点X0的选取依据为fx0f x0014. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题10 x 11、 假设A是

3、n阶非奇异矩阵，那么线性方程组 AX = b 一定可以使用高斯消元法求解。 x 2、 解非线性方程fx=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。3、假设A为n阶方阵，且其元素满足不等式na/c 、aiji 1,2,nj 1j i那么解线性方程组 AX = b的高斯一一塞德尔迭代法一定收敛。x 4、样条插值一种分段插值。5、如果插值结点相同， 在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX = b。 x 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计

4、算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算的舍入误差。x9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，那么误差的最正确分配原那么是截断误差=舍入误差。10、插值计算中防止外插是为了减少舍入误差。x三、计算题5 x 101、用列主元高斯消元法解线性方程组。X1 X2 X3 45x1 4 X2 3x3122X1X2 X3 11解答：1，5，2最大元5在第二行，交换第一与第二行:5xi 4 X2 3x3 12X1X2X342X1X2X311L 21 = 1/5=,l 31=2/5=方程化为：5 X1 4x2 3x3120.2x20.4 X31.62.6x20.2x315.8(,)最大元在第三行

5、，交换第二与第三行:5 X1 4x23x3122.6x20.2x315.0.2x20.4 X31.6L32=,方程化为:5 X1 4 X23x 3122.6x 20.2x315.0.38462x 30.38466回代得:X1X2X33.000055.999991.000102、用牛顿埃尔米特插值法求满足以下表中插值条件的四次插值多项式P (x)，并写4出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)Xi0 112fx)1-13f (Xi )15解答:做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1F+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+40

6、11-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯 赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由。2x 1X2X41x 1X35 X46x 24X3X48X13 X2X 33解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:2x1X 2X 41X13x 2X 33X 24 X 3X48X1X 35 X46雅克比迭代

7、公式:2x1X 2X 41X13x 2X 33X 24 X 3X48X1X 35 X46?计算机数学根底(2)?数值分析试题f ( xk )1-(yk yk 1 )(C)hf(Xk 1 )1(yk 1 yk )hyk i(D)、单项选择题每题3分，共 15分1.准确值(A) x 10 s 1 tX*与其有t位有效数字的近似值x= a x 10+ -nxs(a 1 0)的绝对误差 x10 s tx ().(B) x 10 s t(C) x 10s 1 t(D)2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()2100521012101410(A)(B)0121114100120012521042111421

8、1410(C)(D)21412141001213153.过(0 , 1),(2 , 4), (3 ,1点的分段线性插值函数P(x)=()3彳31 0x 10x 2xx2(A)2(B)23x102 x33x2 102x 333x 10 x2一 x1 0x2(C)2(D)23x102 x3x4 2x34.等距二点的求导公式是()11(yk yk 1 )f ( xk )(ykyk 1 )f (xk )(A)f ( Xk 1h1)-(ykyk 1 )(B)f (xk 1 )h(yk yk 1 )hhyp,yc分别为().y pykhf (xk , yk )y pyk hf (xk 1 , yk )(A

9、)(B)ycykhf (xk 1 , yk )ycyk hf ( Xk , y p )y pykf ( xk,yk )y pykhf ( xk , yk )(C)(D)ycykf ( xk,yp )ycykhf ( xk 1 , y p )那么5.解常微分方程初值问题的平均形式的改良欧拉法公式是1_ y pyc 2二、填空题每题3分，共 15分6.设近似值X1,X2 满足X1 =， X2=，那么X1X2=7. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(),k=0,1,2, ,n，且满足S(x)在每个子区间 Xk,Xk+1 上是 .bnn8. 牛顿一科茨求积

10、公式f ( x) dxAk f ( xk )，贝UAk =.ak 0k 09. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内 ，那么在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10. 解常微分方程初值问题的改良欧拉法预报一一校正公式是预报值：y k i yk hf ( Xk , yk )，校正值：yk+i=.三、计算题(每题15分，共60分)11. 用简单迭代法求线性方程组8x13x22X3204 X111X2X3336x13X212X336的X.取初始值(0,0,0)T,计算过程保存 4位小数.12. 函数值 f(0)=6 , f(1)=10 , f(3)=46 , f

11、(4)=82 , f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差 f(4, 1, 3).3 213. 将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分1 x 2 dx ,计算过程保存4位小数.114. 用牛顿法求115的近似值，取 x=10或11为初始值，计算过程保存 4位小数.四、证明题(此题10分)15. 证明求常微分方程初值问题y f ( x, y)y( xo ) yo在等距节点a=X0X1Vx n = b处的数值解近似值的梯形公式为hy(xk+1) yk+1 =yk+ f(xk,yk)+f( x k+1 ,yk+1)2其中 h=x k+1 xk(k=0,1,2,n 1)

12、?计算机数学根底(2)?数值分析试题答案一、 单项选择题(每题3分，共15分)I. A 2. B 3. A 4. B 5. D二、填空题(每题3分，共15分)6. x + x7. 3次多项式2 1h一8. b a9.(X) r110. y k+ 一 f (xk , yk ) f ( Xk 1 , y k 1 ) hf(xk + 1, y k 1 )2三、计算题(每题15分，共60分) 写出迭代格式X1( ki)0 0.375x2(k)0.25x3(k)2.5X2(X3(k1)0.363 6X1( k) 0k1)0.5x1( k ) 0.25x20.090 9x(k )3(k)03X(O)=(0

13、,0,0)TX1(1)00.37500.250 2.52.5X2(1)0.363 600 0.090 9 033X3(1)0.5 00.25003 3得到x(1)= ：，3,3)TX1( 2)00.37530.253 2.52.875X2(2)0.363 62.500.090 93 32.363 7X3(2)0.5 2.50.25 30 31.000 0得到X( 2)=,7 ,0)TX1( 3)0 0.3752.363 70.25 12.53.136 4X2(3)0.363 62.875 00.090 9 132.045 6X3(3)0.5 2.8750.252.363 7030.971 6得

14、到 X(3)= 4 , 6,6)T.12.计算均差列给出.Xkf(Xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151f(0,1,3,4,6)=15f(4, 1, 3)=6x=，x =.813. f(x)= 1x2，h=20.25 分点 x = , x = , x2 =, x =, X =，8函数值：f= 2 , f= 8 , f= 8 , f= 6 , f= 1 , f= 2 , f= 6 , f= 2 , f= 3 3f (x)dx1h-f ( xo )2f (X8 )2( f ( x 1 ) f ( X2 )f (

15、 X3 ) f ( X4 )f ( X5 ) f ( X6 ) f ( X7 ) (9 分)0.25= X 2+ 3+2 X 8+ 8+ 62+ 1+ 2+ 6+ 2)=X 5+2 X 3)= 114.设x为所求，即求 x2 - 115=0的正根.f(x)=x2 - 115 因为 f (x)=2 x , f (x)=2 , f(10) f (10)=(100- 115) X 20取 X0 = 11 有迭代公式f ( Xk )Xk2 115 Xk 115Xk+1 =xk -= Xk(k=0,1,2,)f ( Xk )2Xk2 2Xk1 11115 _ qX =32 2 1110.727 3X2=

16、2115210.727 33 10.723 8x =2115=82 10.723 8x* 8四、证明题(此题10分)15.在子区间x,x 上，对微分方程两边关于X积分，得k+1 kxk 1y(xk+1)- y(xk)= xkf ( x, y(x)dx用求积梯形公式，有hy(xk+1) y(x k)= - f ( x k , y( x k )f ( Xk1, y( Xk 1 )2将 y(Xk),y(Xk+1)用 yk,yk+1 替代，得到y(x) y =yk+1k+1 kh+f(x ,y)+f( X ,y )( k=0,1,21 ,n 1)k kk+1 k+1数值分析期末试题一、填空题(2102

17、0分)152(1)设 A210，那么 A133822 X15x 2102.5(2)对于方程组，Jacobi迭代法的迭代矩阵是B J10x 14x 232 50Q *1 r(3) 3 x 的相对误差约是X的相对误差的倍。X Xf ( X )(4)求方程 X f ( X )根的牛顿迭代公式是n 1 n-Xnn1f ( X n )(5)设 f ( x) x 3 x 1 ,那么差商 f 0,1,2,3 L o(6 )设n n矩阵G的特征值是 1 , 2 , n，那么矩阵G的谱半径(G ) max i 。1 i n：1 2(7) A，那么条件数Co nd ( A)90 1(8) 为了提高数值计算精度，当

18、正数x充分大时，应将ln( x x 21)改写为|n( x x 2 1)(9) n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n 1次。1 3(10 )拟合三点(X1 , f ( X1 )， ( x 2 , f ( x 2 )， ( x 3 , f ( x 3 )的水平直线是 yf ( X i )。3 i 12x证明:10 分)证明：方程组 X11使用Jacobi迭代法求解不收敛性。JacobiX1迭代法的迭代矩阵为0.50.50.50.5的特征多项式为0.50.50.5(21.25)的特征值为 11.25i厂1.25i，故(Bj )/1.25 1,因而迭代法不收敛性。三、(10分)定义内积试

19、在H1Spa n 1, x解:(f , g)中寻求对于f ( x)dx 1 , ( 11xdx1f ( x ) g( x )dx:Jf x的最正确平方逼近元素x 2 dx1P( x ) ox dx 2，1 L法方程1122C0311C12235412解得C0C1。所求的最正确平方逼近兀素为151512p( x)4x , 0 x 1y( x)0.40860.39167 x 0.0857 x0.00833 x1515四、10分给定数据表x-2-1012y试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据解:y( x ) c 0ci x C2X2C3 x 31248501001111A1000,AtA01003

20、410 0340111103401301248AT y ( 2.9,4.2,7,14.4) T法方程At Ac At y的解为C00.4086 , C10.391675C20.0857 , C30.00833得到三次多项式误差平方和为30.000194五.10分依据如下函数值表x0124f (x)19233建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f 2.2，并在假设f 4 x 1下，估计计算误差。解:先计算插值基函数l 0 ( x) ( x 1)( x 2)( x 4)(01)(0 2)( 04)l 1 ( x ) ( x 0)( x2)( x 4)(10)(1 2)(14)l 2

21、 ( x) ( x 0)( x 1)( x 4)(2 0)( 2 1)(2 4)l 3 ( x) ( x 0)( x 1)( x 2) (4 0)( 4 1)(4 2)所求Lagrange插值多项式 为1 x 32 x 2 -8 x33丄x31 x24X248123L 3 ( x ) f ( xi )l i ( x ) l 0 ( x ) 9l 1 ( x) 23l 2 ( x ) 3l 3 ( x )11 x 345X 21 x 1 从而i 0442f (2.2) L 3 (2.2)25.0683 。据误差公式R3 ( x )f (4)( ) ( x X0 )( x x 1 4!估计:IR3

22、( x )1 (2.2 0)(2.2 1)(2.24!六.10分用矩阵的直接三角分解法解方程组1 0 20 1 01240 1 0解设1 0 2 0 10101211ll12433132ll01034142由矩阵乘法可求出Uij 和 1ij1l211ll3132l41l42)(x x 2 )( xX 3 )及假设f ( 4 ) ( x )1得误差12)(2.24)0.95040.03964!0 X151 x 233 x 3173 X471020uuu222324uu13334ul 431441011121l 431010 1解下三角方程组有 y15 ， y23 , y3得原方程组的解为七.(10分)试用Simpson6， y440u222u23u330u24u34u44y1y2y3y4。再解上三角方程组X1公式计算积分的近似值,并估计截断误差。解：12 e x dx1f ( 4)max1 x 217截断误差为(22 e x dx1(e614e52.0263(112 36X 8X 7 X 624)e xx 5(4) (1)198.431)52880(4 )max f ( x)10.06890八.10分用Newto