泰勒公式的证明及其应用2

1、泰勒公式的证明及其应用XXX (XX学校 XX院 09级 XX专业 2班)摘 要：泰勒公式是数学分析中的一部分重要内容。本文论述了泰勒公式的基本内容，并着重从7个方面介绍了泰勒公式在数学分析和实际生活中的一些应用：利用泰勒公式证明恒等式和不等式，求极限和中值点的极限，还有应用在函数方程中，除此外，还可用泰勒公式求极值，研究函数图形的局部形态，从而更加清楚地认识泰勒公式的重要性关键词：泰勒公式；极限；极值；中值点；函数；应用引言泰勒主要是从有限差分出发，得到格里戈里牛顿插值公式，然后令初始变量为零，项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式随着后人的不断研究与完善，形成今天实用的泰勒公式现代也有很多

2、期刊和教材对这部分内容进行了介绍，对近似计算上的应用介绍也较全面，较系统，但在其它领域的应用则显简单，不系统，不全面，为了方便以后的学习，有必要对此部分内容进行归纳总结，而泰勒公式是一个多项式的拟合问题，而多项式是一种简单函数，它的研究对计算机编程计算极为方便1 Taylor公式 首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，可以设想用一个的次多项式在附近去逼近，即令 （11）从几何上看，这表示不满足在附近用一条直线（曲线在点的切线）去代替,而是想用一条次抛物线去替代它由此猜想在点附近这两条曲线可能会拟合的更好些，那么系数如何确定呢？假设本身就是一个次多项式，显然，要用一个次多项式去替代它，最好莫

3、过它自身了，因此应当有 于是得：求一次导数可得： 又求一次导数可得：这样进行下去可得： 因此当是一个次多项式时，它就可以表成： （12） 即附近的点处的函数值可以通过点的函数值和各级导数去计算通过这个特殊的情形，得到一个启示，对于一般的函数，只要它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数，称为泰勒系，因而次多项式的次泰勒多项式就是它本身2 泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点及处函数及阶导数值：，以及用这些值表示动点处的函数值，本文研究泰勒公式的具体应用，比如证明中值公式，求极限等中的应用2.1 应用Taylor公式证明等式例1 设在上三

4、次可导，试证：，使得 证明 （利用待定系数法） 设为使下列式子成立的实数： （21）这时，问题归为证明，使得： 令，则根据罗尔定理，使得，即： 这是关于的方程，注意到在点处的泰勒公式：其中，比较可得原命题成立例2 设在上有二阶导数，试证：，使得 （22）证明 记，则在处泰勒公式展开式为： （23）对（23）式两端同时取上的积分，注意右端第二项积分为0，对第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：，使得 因此原命题成立从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式，以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明，证明等式后

5、我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面通过两个例子来说明一下22 应用Taylor公式证明不等式例3 设在上二次可微，试证：，证明 取，将在处展开 其中以乘此式两端，然后个不等式相加，注意 得： 例4 设在上有二阶导数，当时，试证：当时， 证明 在处的泰勒展开式为： 其中将分别换为可得： （24） （25）所以（24）式减（25） 从而 由上述两个例子可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式例3说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例4说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学校中，要会灵活应用

6、，但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件2.3 应用Taylor公式求极限例5 设函数在上二次连续可微，如果存在，且在上有界，试证： 证明 要证明，即要证：，当时利用公式， （26）即 （27）记，因有界，所以，使得 ， 故由（27）知 （28），首先可取充分小，使得，然后将固定，因，所以，当时 从而由（28）式即得：，即 例6 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程 （1）； （2） 解 （1）首先设所求的渐近线为，并令，则有： 从中解出：。所以有渐近线：（2）设，则有 从中解出：，所以有渐近线：从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，

7、因而，在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐近线上述两个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例5是求无穷远处的极限，第二个例子是利用极限来求函数的渐近线，而求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目用洛毕达法则或其它方法很难求出，或者比较复杂，所以，可以用泰勒公式来解决2.4 应用Taylor公式求中值点的极限 例7 设 （1）在内是阶连续可微函数，此处；（2）当时，有，但是；（3）当时，有 （29）其中，证明： 证明 要求出的极限必须设法解出，因此将（29）式左边的及右端的在处展开，注意条件（2），知使得 ， （210） ， （211）于是（211）式变为 ，从而 因，

8、利用的连续性，由此可得 这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件，以后只要遇到相关的题目就可以简单应用2.5 应用Taylor公式求极值定理1 设在附近有阶连续导数，且 ，（1） 如果为偶数，则不是的极值点（2） 如果为奇数，则是的严格极值点，且当时，是的严格极小值点；当时，是的严格极大值点证明 将在点处作Taylor展开，即 于是 由于 故中，与同号（1）如果为偶数，则由在附近变号知，也变号，故不是的极值点（2）如果为奇数，则为偶数，于是，在附近不变号，故与同号 若，则，为的严格极小值点若，则，为的严格极大值点例8 试求函数的极值解 设，由于，因此是函数的三个稳定点，的二阶导数为 ，由

9、此得，及。所以在时取得极小值求三阶导数 ： 有因，则为偶数，由定理1知在不取极值再求的四阶导数： ，有，因为，则为奇数，由定理1知在处取得极大值 综上所述，为极大值，为极小值 由上面的例题可知，定理1也是判断极值的充分条件。2.6 应用Taylor公式研究函数图形的局部形态定理2 设为任一非空集合，函数在处阶可导，且满足条件： （1）为偶数，如果，则曲线在点的附近位于曲线过此点的切线的上（下）方 （2）为奇数，则曲线在点的附近位于该点切线的两侧，此时称曲线在点处与该点的切线横截相交证明 因为在处阶可导，且，所以在的开领域内的阶公式为 于是 由于 由此可见：，有与同号（1）当为偶数，如果，则 因

10、此，在点附近，曲线位于切线的下方（2）当为奇数，这时若，则 ， ，由此知，在的右侧，曲线位于切线的上（下）方；而在的左侧，曲线位于切线的下（上）因此，曲线在点处与该点的切线横截相交2.7 应用Taylor公式研究函数表达式例9 设在定义域内有连续三阶导数，且满足方程： （与无关） （212）试证：是一次或二次函数。证明 要证是一次或二次函数，就是要证或因此要将（212）式对求导，注意与无关，有 （213）从而 （214）令，对（213）式两边取极限得：，即 若，由此知，为一次函数；若，则（213）式变成：此式两端同时对求导，减去，除以，然后取极限，即得，即为二次函数 实际上在一定条件下证明某函

11、数的问题，称之为归零问题，因此上例实际上也是，的归零问题参考文献1 吴文俊世界著名科学家传记M 北京：科学出版社，19922 华东师范大学数学系数学分析（上）M高等教育出版社，20013 裴礼文数学分析中的典型问题与方法M高等教育出版社，20064 同济大学数学教研室高等数学M高等教育出版社，19935 杨万利数学分析名师导学M中国水利水电出版社，20056 刘玉涟，傅沛仁数学分析讲义M高等教育出版社，19927 陈纪修，徐惠平数学分析习题全解指南M高等教育出版社，20058 孙清华，孙昊数学分析内容、方法与技巧M华中科技大学出版社，20039 徐森林，薛春华数学分析（第一册）M清华大学出版社

12、，2005The Provetion and Application of Taylors FormulaLiao Xiaohui（Second Class of Grad 2009,major:Maths and Application Maths of College of Maths and Statistics, Chongqing Three Gorges University, 404000）Abstract Taylors formula is important knomledge in the mathematical analysis. This paper discuss

13、es some contents about the Taylors formula. In this paper,we discuss its applications in the mathematicalsis and reality life from 7 facets in general: we can use the Taylorsformula to prove the equation and the inequality, solve the limit and the value limit. There are some applications in the functional equations near interpolation, besides we may use it search the e