数学物理方法习题应用矢量代数方法证明下列恒等式123

1、数学物理方法习题第一章：应用矢量代数方法证明以下恒等式1、=3I2、' ； =03、A B=)AB(討 A)B Ac _B)2 1厂-"4、r5、LC A=o第二章：1、以下各式在复平面上的意义是什么1z zo =2Z _i 兀y0：arg：4 Re1 =22z i 4 ；、z2、把以下复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。i; 1 r-3; e1 13、计算数值a和b为实常数，x为实变数/丄.、 i a 乙 S ibn zsin a( + i b ) e1W4、函数z将z平面的以下曲线变为 W平面上的什么曲线?2 21x y =42y =x5、解析函数f z的实部ux,

2、 y或虚部：x,y，求解析函数。(门 u=exsin y; u =x2 - y2 xy, f (0) = 0; 口二浮，f(1) = 0 ；(2)=,-x .'x2y2 , f (0 =0)6、等势线族的方程为 第三章：2 2x - y二常数，求复势。1、计算环路积分:2、证明:sinnzJdz-1.dz.(5).n®2n!sin z , dz兀2(匕)3z 1.z抬RdZ其中I是含有 =0的闭合曲线。3、估计积分值,2+dz(-21 z第四章：1、泰勒展开Z 1(1) Inz 在 Zo =i ( 2)e1"在 Zo =u( 3)函数 z 1 在 z =12、( 1

3、)(2)f (z)=f(z)1z(z T)在区域0 ：； z ：: 1展成洛朗级数。1(z -3)(z -4)按要求展开为泰勒级数或洛朗级数:z = 0为中心展开;在z = 0的邻域展开；在奇点的去心邻域中展开；以奇点为中心展开。3、确定以下函数的奇点和奇点性质co s第五章: 1、计算留数Z2(1) (z -1)(z 1)在 z1，：点。ez -(2) sin3z，在 z =0点；31z cos (3) Z - 2在孤立奇点和无穷远点(不是非孤立奇点)ze4 1 z在孤立奇点和无穷远点不是非孤立奇点； 2、计算围道积分1也"十:一22口z-1z-2dz; l : z2|23、计算实

4、变函数的定积分2 二 dx(1) 0 2 cos x ( 2)2：sin2xdx (a .b .0)(3)a bcosx2 二cosxdx0 1 - 2 ； cosx 亠：.2(名 <1)4、计算实变函数的定积分(1)2 X 1 ,4 dx -X11(2)5、计算实变函数的定积分(1):cosmx01 X4(m 0)cosx2I 2222 dx(2)0 (x a )(x b )( 3).2 :sin x , 0厂dx0 x第八早:1、在Xo二0的邻域上求解2、在Xo二0的邻域上求解(1 - x2 )y - &y6y= 03、在X0二0的邻域上求解y -2y = 0第七章:1、长为

5、l的均匀弦，两端X = 0和x =丨固定，弦中张力为T。在X = h点以横向力F0拉弦，到达稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。2、一均匀细棒长l，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当电梯速度到达- 0时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么?第八章:1、 长为丨的均匀弦，两端 x = 0和x =丨固定，弦中张力为 T。在距一端为 怡的一点以 力Fo把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。2、一均匀细棒长丨，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当 电梯速度到达- 0时突然停止，秋节竿的振动。3、求解薄膜限定浓度的扩散问题薄膜厚度为丨，杂质从

6、两面进入薄膜，设单位外表积下杂质总量为：'Jo，此外不再有杂质进入薄膜。在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片外表已有的杂质向硅片内部扩散， 但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。4、在矩形区域0 ： x ： a,。： y ： b上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件nxUxm =Ay(b y); uxq =0； U yo =Bsin，u 丫主=0a5、 细圆环，半径为：0，初始温度分布为fC：)，"是以环心为极点的极角，环表 面绝热，求解环内的温度变化。6、求解绕圆柱的水流问题。在远离圆柱出水流是均匀的，流速为''0，圆柱半径为a。7、 半圆形薄板，半

7、径为 ：'0，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为u0， 求稳定状态下的板上温度分布。8、一均匀细棒长丨，一端固定，另一端在纵向力F(t) =F0s int的长期作用下，求解杆的稳恒振动。9、用冲量定理法求解UxxTUy = (x)=0 Ux# =0Ut -a2Uxx - -bUxI彳 Ux_q=°Ux_L=°| 一 一10、用冲量定理法求解ut丄=®(x)(°VX<I)b为常数第十章：1、 用一层不导电的物质把半径为r0的导体球壳分隔为两个半球壳，并分别充电到和 2 ,计算电势分布。2、 一空心圆球区域，内半径为r1，外半径为2,

8、内球面上有恒定电势 Uo,外球面上有 电势保持为U1 cos'd, 5,5均为常数，试求内外球壳之间、空心球区域中的电势分布。3、在本来均强的静电场 Eo中，放置半径为0的导体球，使求解球外的静电场。4、 将 9, ：(1 3co)si n rcos按照求函数 Y，m(J ：)展开。5、 设有一均匀球体，在球面上温度为(1 3co)si co：，试在稳定状态下球球内的温度分布。6、求证：O0COSX 二 j°(x)2、(-)mJ2m(x)mToQsinx=2' (-)mJ2m1(x)m =07、试证平面波能用柱面波展开，即eikcos：=星 k) 2 (ih (k )

9、 conn丑其中e为平面波的振幅因子。8、计算积分(反复利用递推关系)4x J1 (x)dx9、半径为a，高位h的圆柱体，其下底和侧面保持零度，上底温度分布为 求解柱体内各点的温度分布。10、有均匀圆柱，半径为 a，高位h，柱侧面绝热，上下底温度分别保持为f和f2"，求柱内稳定的温度分布。数学物理方法习题答案:第二章:1、1a与b的连线的垂直平分线;2、3、(2)左半平面x : 0,但是除去圆匚e2 ,cos( 2) i sin(二.2)；e -二2 么二； J (二 6 12 二 3 )1 z b_b1 / b(e e )sin a i (e -e2 214 变为W平面上半径为 平

10、分二、四象限的直线。4、 125、(1)以 z0为圆心，2为半径的圆。(x+1)2+y2=2及其内部；圆(x %)+yi 二2e 3 , 2 cos( 3)二 si n ( 3为,e cos 1 i si n 1 5co4ssi n 1 02cos 3 sin-)cos a1_ay. . b(e-ey ) co se 212的圆。二 116iez+iCz(1-%)-il nz ,._<p2s in,*2选取极坐标(2)6、C In z Df (z) =、2z第三章:一 Hi(1)2n z£$ z e f(5-.设n!1什znez_ d-2兀i卜Un! 丁 匕(2 )、1、2、z

11、为参变数, J-n.iie第四章:1、 1(2)(3)(3 )、0和n)(°)(n)4、兀 i5、6兀in! n! d nz0n!z0n唱)2n!(z_i)2 . (z -i)2i3z-1 z-13-III2i2e(1 z z22!-(1-(1 i)k(z-1)kz-1 <42.2、(1)n-v zn Jf(z)(2)y 1ftz k _： ：3_ 1z -4 z -3CO 4k p 1 k"TTzk卫4z 3时J ( 1 k(k 1 zk -43 :： Z :： 4 时0 :z - 3 ：1 时<(z-3)k0 :z3 v1 0 c z4 c13L)zk:1

12、时同的结果，而O0'(_ )k1k9z-3 /时,z- 4);0心(z-3)k ,z-4 / 时,oO、(-)kk1(z-4)k3、(1 )两个奇点z"，z = ：所以，z=1为f(z)的二阶极点。z二' 为f (z)的三阶极点。k.z =",k=0,±1,±2,川(2)奇点为：4为f(z) 阶极点;Z =：:为f (z)的本1Re sf(1) = -1Resf(：) =0 Resf ( 1=)1、( 1)441Resf (0(2)2143Resf(2) Resf(：) - 0Resf (2) =Cj(3)2411Resf (-1)二一R

13、esf(：)工Resf(-1) =(4)eej2k 二2、( 1)z = 3 和 zk = e 5(k =°，1,2川1)为函数的单极点性奇点。第五章:Resf(3)二1242Resf ( )= = .-0143ResfL)WResf(3) ResfCOResf(zJ =0k =0QO' Resf(zk -ResfCO Resf(3)=k -01242(z-3)Z5-12131-z 2二i Resf (2) =2二 i3、(1)(3)2兀e2(1 一 ；)(1)(2厂 2 ；2a3(1)(2)cos(m . 2) sin (m ；2)、-2-94(el b e"%a

14、)二.2(a2 b2)2(3) 第八早：y(x)去皿)酗x31 4 6y°(x) =1x3!6!1、242，5 7 XLy'x)二x xx I4!7!2、y(x)二 a°y°(x) Qyx)口 (x3k(3k)!2 518 * x x (3k 1)!十川yo( x)= 1.(-)62 !x . (1)6x8il|k (2 k 3卅25) "( 1K 6 8x (24)k2x 1)!%(x) =Xck 23、第七章：(k 2)(k 1),k =1,2l|c<y(x)二 c cos x 01、二 F°(l -h)x, T°l

15、(在0, h 上)二 F°h(l -x),'T0l2、0xJ第八章；(在h,l 上)1、初始位移u(x,t)2、3、4、F°(l x°)x. T l (0 ： x ： X。) =2ut 异 F°X0(l -x)汀 l(X。： X ： l)J- 1 n: x0n二 xn: at2' psin sincos一二 T nm n lll1 1閃 1(n +)兀 x (n +)兀 at2、 sin -cos_： a n£ (n1 )2l24k2 -2a2_ l2't =02F°lu(x,t) = 2 0l2u(x,t)

16、0(1 ' 2elk¥t2k 二 x、con ) l 2n 1 丄8Ab2芒曲=咋一" sin x3-shGb/a)a 二.吓n 1)3sh心二 abBsf(b-y)/a十-sinyb5、6、2-n 2a2ta厂u =0 u( ；t)(An cos n：亠 Bn sinn )e 0n J0a2r- 0COS- 0 cos, p2兀为任意值。泛定方程为7、8、Ut貪:右p2k1sin(2k 1)a-°sin-xsi ntYS cos( l / a) aadU(x,t) nen=0cos(n )二:2A( 1)n| Ix +-L-n=0(n)二211 444(

17、n ) -：4a42I412 2 2(n )二 a22 sint cos tcos2A( -1)nJ 1n=0 (n) :22 In 下 0 (x)cos 竺葺tI24a2QO10 u(x,t)八:n第十章：球函数:1、球内:球外:U(D2、1 二:-e 12(n +_)4 兀 4a422尬+(n弓二2 xdx(n 丄)二2xI"t (n cos2Inen £b27xi0 (x)ebxLe2a2.n 二sin xIn 二sin xdxI宁心:1 -.»、(_)k =0(4(护飞心k(4k 3)(2k 1忖)2k2 旳(2 k 1)(2 k 2)! rr2 -u0r

18、(uo弋严ar2 r2 r1 r5553u(r, 丁)二一E0r cos寸 Eocos寸 r5、定解问题：uJ =(1 +3cosi)sin 日 cos®4、f日，®=再Y，1©®丫日严+厝冷©®丫刑 2u = 0, r : ar1r 21u(r,8理)=-cos毋R (cos8) +(-) cos碎P2(cos8)aar3r2cos : sin2cos sin 2v)a2a2柱函数:6、提示:7、提示:x(q)ix利用 e2 t 禾口 e 二 cosx i sinxee"w：二ne ee2 tJn(x)tnm和n _，设 t = ieicos ;：= 利用'、2u =0,：: a,Z0 . z . h：-2u(,z) =2a2、(Xm)_4m =1(xm)sh(如 h)a10、定解问题2'、u =0,： a,0 ： z h.:u=0,Uz£ = f1( ?) UcPz z