极坐标与参数方程的主要知识点

1、极坐标与参数方程的主要知识点1、极坐标与直角坐标系的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为式成立：Xy2、直线的参数方程：X (y y°) k(xy 一.，、一_2223、圆的参数方程：(x a) (y b) r(x, y),极坐标(，)，由下图可知下面的关系2或 tansinXo) (xcos、 y y0x x0xo)tsin cos可编辑x4、椭圆的参数方程：中心在坐标原点焦点在X轴上：y5、双曲线的参数方程:xy2,2ab2x6、抛物线的参考方程：y22px(p0)：(0) 的作用(0)y7、设点p(x,y)事平面直角坐标系中的任意一点，在变换下，点p(x,y)对应到点p

2、9;(x',y'),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。相关公式:1、点P(Xo,yo)到直线L:AxByC0(A2B20）的距离公式:2、sin()sin()2、辅助角公式:asin常用:sinsin,A2B2sinsincoscoscoscossinsinbcoscos3coscos3、两点间的距离公式:a2b2?sin(2sin(-)32sin(一)6Pi(x,yi),Pzd,y)P1P24(X1X2)2(y1y2)2)(其中tanb)a在极坐标系中，点AB=例2.例3.例4.极坐标与参数方程学案A和点B的极坐标分别为已知直线的极坐标方程为？sin(已知曲线

3、Ci,Ci的极坐标方程为cos3,Ci与Ci的交点的极坐标为把下列的参数方程化为普通方程:x(1)y-sin22sin(为参数)cos(2,)和(3,0),O为极点，则3求点A(2,7)到这条直线的距离。44cos(0,0(2)2sons(为参数)x(3)乌2(t为参数)(4)4k1k：(k为参数)4k21k2例5.已知点P(x,y)是圆x2y26x4y120的动点，求:(1) x2y2的最值；(2) xy的最值；(3)求点P到直线xy10的距离d的最值。x4costx8cos例6.已知曲线Ci：(t为参数)，C2:(为参数)；y3sinty3sin(1) 化Ci,C2的方程为普通方程，并分别

4、说明他们表示什么曲线；(2) 若C1上的点P对应的参数为t,Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线2x32tC3:2t。为参数)距离的最小值。x4cos例7.(本题10分)在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(为参数).以坐y3sin标原点为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中.曲线C2的极坐标方程为sin(-)5&.(1)分别把曲线G与C2化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线.(2)在曲线G上求一点Q,使点Q到曲线Q的距离最小，并求出最小距离.例8.已知曲线C的极坐标方程为4sin ,以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,x直线l的参数方程为2t,(t

5、为参数)，求直线l被曲线C截得的线段的长度例9.（2013年全国二卷）选彳4-4:坐标系与参数方程fx=2cost已知动点P,Q都在曲线C：ly=25int（t为参数）上，对应参数分别为t=a与t=2a（0<a<2兀）M为PQ的中点。（I） 求M的轨迹的参数方程：（II） 将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.例10.（2013年全国一卷）选修44:坐标系与参数方程已知曲线Ci的参数方程为x45cost（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为y=5+5sint极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin（I）把Ci的参数方程化为极坐标方程

6、；（II）求Ci与C2交点的极坐标（p>0,0<0<2兀）例11. （2013年全国北京卷） 在极坐标系中,点（2,一）到直线psin上2的距离等于6一抛物线的参数方程抛物线的标准方程的形式有四种，故对应参数方程也有四种形式.下面仅介绍x22py(p0)及y22Px(p0)两种情形.(1)对于抛物线x22py(p0),其参数方程为x2Pt；设抛物线x22pyy2pt，上动点P坐标为(2pt,2pt2),O为抛物线的顶点，显然6mt,即t的2Pt几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率.2(2)同理，以可抛物线y22px(p0),其参数方程为x2Pt，设抛物线y2pt,x22p

7、y上动点P坐标为(2pt：2pt),。为抛物线的顶点，可得3至1t工，t的几何意义是过抛物线的顶点O的动弦OP的斜2ptt6率的倒数.OB ,求线段AB中例12.已知AB为抛物线x24y上两点，且OA点的轨迹方程.解析：设koAt,OBOAkoB1,据t的几何意义，可得A(4t,4t2),B士？.tt2x设线段中点P(x, y),则y4t4t2,4t22 t21t2消去参数t得P点的轨迹方程为x22(y4).【解析】解：解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2y24y0,即 x? (y 2)24,它表示以（0,2）为圆心，2为半径圆,4分直线方程I的普通方程为y晶x1,8分1圆C的圆心到直线I的距离d,10分214分故直线I被曲线C截得的线段长度为25（孑4行.可编辑【解析】.'j!3rwww.zxxK.conn/ttxPL(I)依题意有P(2cosb,20no),fi(2cos2aT2sin2a),因此M(cwa+cos2a,Sina+sin2a).U的轨迹的参数方程为卜