电磁场理论课件chap

1、第六章时变电磁场李卫海whli提纲 一 方第二节矢量磁位和标量电位第三节时变场中位函数的解第四节齐次波动方程的解第五节坡印亭定理第六节唯一性定理与辐射条件第七节广义方2中国科学技术大学· 电磁场理论一方3中国科学技术大学· 电磁场理论一、方程与位移电流在静态场中ÑgD = rf在时变场中ÑgD = rfrrrÑ´ r¶BE = 0Ñ´ E = - ¶t电磁感应rrÑgB =0ÑgB =0rÑ´ rrr¶DH = JfÑ´ H

2、= Jf +¶trÑr¶rf= -ÑgJf= 0gJf¶tr()r¶ö¶ ÑgDrræ rr¶r+D ÷ = 0Ñg(Ñ´ H) = 0ÑgJ+= ÑgJ+= Ñgç Jè f ¶tfff¶t¶tø4中国科学技术大学· 电磁场理论方：r¶BÑ´ E = - ¶trrr+ ¶DÑ´

3、 H = Jf¶trÑgD = rfrÑgB =0rÑg= - ¶rfJf¶trr¶D =e¶E + ¶P位移电流密度：0¶t¶t¶t 位移电流说明“变化的电场产生磁场”中国科学技术大学· 电磁场理论5r¶rBÑ´ E = -¶tr的方程。散度方程可在一定rÑ´ r¶DH = Jf+条件下由方程导出。¶trÑg16个未知分量，提供7个约D = rf束方程。剩余9个约束方程由本构

4、关系提供。rÑgB =0rÑg= - ¶rfJf¶t6中国科学技术大学· 电磁场理论本构关系描述介质的场结构关系线性各向同性介质：rrrrrrD = eEB = mHJ = sE线性各向异性介质：rrD = e%E线性双各向同性介质：rrrD = eE + hH线性双各向r异性r 介质r ：D = e%E + h% H7中国科学技术大学· 电磁场理论边条n一般介质：nDs2Dh切向电场1-nrrrròvdv = òsÑ´ En ´ E ds =n ´ E2Ds -n 

5、0; E1Dsr¶rr öæ¶Ds Dh - ¶B1Ds Dh2B2Bò=-dv = -ç÷ø¶t¶t¶t2v èæ ¶rrrröB2 + ¶B1 ÷ Dhn ´(E- E ) = -ç=021¶t¶t2Dh®0èø8中国科学技术大学· 电磁场理论 法向电场rrrr()()()òòÑ× D dv =

6、D×ds »n× DDs - n× DDs21vs= òv rf dv = rfs Dsrr()n × D- D= r21fs 切向磁场rrrr()()()()òòÑ´ H dv =´ H ds »n´ HDs - n´ HDns21vsr¶ör¶r¶æ ræ rD2 ö DsDhæ rD1 ö DsDhr=ç J +D ÷dv = ç

7、Jò+ ç Jè+ J Ds÷ø÷øff 2f 1fs¶t¶t¶t22vèøèr¶rrræ rrörrD2 + ¶D1 ÷ Dh + Jn ´ H- H= ç J+ J+=J21f 2f 1¶t¶tfsfs2Dh®0èø9中国科学技术大学· 电磁场理论法向磁场rrrr()()()òòÑgB dv =Bgds&

8、#187; ngBDs - ngBDs21vs= òv 0dv = 0rr()ng B - B= 021总结：rr()n ´ E- E= 021rr(- D= rng D21fsrrr()n ´ H- H= J21fsrr- B1= 0ng B210中国科学技术大学· 电磁场理论介质1是理r 想r导体： ，J = sE ，电流有限，因此E为零，D为零r¶r Ñ´ E = -B ，没有时变磁场（注意，可能有恒定磁场）¶t= rfs= 0= 0= JfsngD2rn ´ E2rngB2rrn ´ H

9、211中国科学技术大学· 电磁场理论场量对称性 物理上：rrrrE « BD « H 数学上：rrrrE « HD « B场源不对称12中国科学技术大学· 电磁场理论二、电磁场两种平衡静态平衡¶¶t= 0动态平衡¶¶t¹ 0周期性平衡叶工具à电磁场：随时间Re(ejwt )变化13中国科学技术大学· 电磁场理论1、场的复数表示 标量场rrrA( r, t ) = Am ( r )cos(wt + j( r )= ReA& ( r )ejwt rrrA&

10、; ( r ) = A( r )ejj( r复振幅mr( r )A振幅m14中国科学技术大学· 电磁场理论对时间微分运算¶A = -wAsin (wt + j) = RejwA& ejwt m¶tjwA&jj= jwAme运周相AB = 1TT1ABdt =ABcos(j)ò- jmmAB20= 1 ReA& B& * = 1 ReA& *B& 2215中国科学技术大学· 电磁场理论 矢量场A = Ax x + Ay y + Az zcos (t + jy ) y + Azm cos (cos (

11、) x + Aymz ) z= Axmt +t +xr&= A&x + A&y + A&zAxyz若x= y= z= 0r&rA = A0 ejj= Ax + Ay + AzA0xmymzmrAr&rA0可定义代表矢量场的大小的振幅=A16中国科学技术大学· 电磁场理论若x= y= ，z= 0r&rjjAt= At 0 erAt0 = Axm x + Aym yr代表矢量场r&rAt 0可定义的大小的振幅=AtAt周期相关性运算rrr&r& *r& *r&11AgB=ReAgBReA gB

12、22=rrr&r& *r& *r&1212AB =ReABReAB17中国科学技术大学· 电磁场理论2、场的方r¶rr&r&BÑ´ E = -Ñ´ E = - jwB¶trÑ´ rr&r&r&¶DH = Jf+Ñ´ H = Jf+ jwD¶tr&ÑgrÑgD = rD = r&ffr&ÑgrÑg= 0= 0BBrÑgr&a

13、mp;Ñg= - ¶rf= -jwr&JfJff¶t18中国科学技术大学· 电磁场理论场（0）中理想导体边界条件r&r&rJfsE&fsr&r&r&r&= 0E = 0D = 0Bfr&r&r&B = 0H = 0Jf = 0r&r&r&r&r&J = sEÞE = 0ÞD = 0Þr= ÑgD =0&fr&r&r&r&r&r&r&a

14、mp;1ÞH = B = 0B =Ñ´ E = 0ÞJ= Ñ´ H - jwD = 0-jwmf19中国科学技术大学· 电磁场理论线性各向同性导电介质内部r&Ñ×= - jwr&Jfr&()s &D&= Ñ× s= sÑ ×= e rfEer& f= 020中国科学技术大学· 电磁场理论二矢量磁位和标量电位21中国科学技术大学· 电磁场理论矢量磁位和r标量电位的定义 矢量磁位ArrrÑgB

15、 = 0定义 B = Ñ´ A标量电位Fr¶æ ¶ r örr¶-(Ñ´ A) = -Ñ´çBA ÷Ñ´ E = -¶t¶tè ¶tørræ r¶A ör¶AÑ´ç E +÷ = 0E += -ÑF定义¶t¶tèø场的矢量磁位和标量电位表示rr¶AB = &#

16、209;´ AE = -ÑF -¶t22中国科学技术大学· 电磁场理论规范不变性矢量磁位不唯一，具有任意性rrrÑ´(A + Ñy) = Ñ´ A = B对应的磁场是唯一的，称为规范不变性标量电位不唯一，具有任意性F¢ = F - ¶y¶t对应的电场是唯一的，称为规范不变性规范不变性：位函数的不唯一不改变场的唯一规范：使矢量磁位和标量电位在该规范下唯一中国科学技术大学· 电磁场理论23矢量磁位和标量电位满足的方程r¶¶trì()

17、9; F +ÑgA= -2feïrírrr¶2A - ÑæÑgA + me ¶F ö = -mJïÑ2A - meç÷ïf¶t2¶tèøî 四个待定分量，四个方程 每个方程均包含四个分量à不易求解24中国科学技术大学· 电磁场理论r1rÑg=Ñg= rfEDeer¶öæA ÷= Ñgç -ÑF -&

18、#232;¶tørÑ´ rrrr ù1m1m()1 é()=Ñ´ B=Ñ´ Ñ´ A=Ñ ÑgA - Ñ Aû2Hëmr¶rr örrræ+ e ¶E = J+ e ¶ ç -ÑF - ¶A ÷+ D = J= Jfff¶t¶t¶t è¶tø25中国科学技术大学· 电磁

19、场理论洛仑兹规范r¶¶trì()Ñ F +ÑgA= -2feïrírrræö¶2A - ÑçÑgA + me ¶F ÷ = -mJïÑ2A - meïîf¶t2è¶t ør= 0 Þ Ñg= -me ¶FA¶tìr¶2FïÑ F - me= -f 2ï¶t2er

20、7;ïïîrr¶2A2A - Jf¶t226中国科学技术大学· 电磁场理论在场中洛仑兹规范r&&ÑgA = -jwmeFr&Ñg1F&= -Ajwmew¹0矢量磁位和标量电位满足的方程+ w2meF& = - r& fìÑ2F&ïeír&r&r&ï2Ñ A+ w meA = -mJ2îf27中国科学技术大学· 电磁场理论第三节时变场中位函数的解28

21、中国科学技术大学· 电磁场理论定义c011c =c= 3´108 m / s0eem err00r有限空间中的场源r、J，在无限大空间(、)中产生的位函数满足：ì¶2Fre1ïÑ F- = -2ï¶tr22círr¶2A1ïÑ2A -= -mJïî¶t2c229中国科学技术大学· 电磁场理论一、标量函数r r¢G ( r, r , tì1 ¶2G = -( )d(r - r¢)Ñ G -

22、2ïq trr¶t2íc2ïî无限远处没有场源Gr代表位于 ¢ 处带电量为q(t)的点电荷产生的标量位。re30中国科学技术大学· 电磁场理论1、简化情况：求 G0 = Gr¢=0rær ör1()=qt -G0r, tç÷4prècø2、一般情况：æR ör r¢1()=qt -G r, r , tç÷4pRècør - r¢R =rr31中国科学技术大学· 电磁场

23、理论求解函数 G0 = Gr¢=0r解：由于源在原点，函数应当是球对称的，即与和无关设y (r, t )G0= G0 (r, t ) =函数方程r代入1 ¶2 G = -r - r¢Ñ2G -t dqrr¶t2c232中国科学技术大学· 电磁场理论ryræö = Ñ × æ -ör+ 1 ÑÑ G = Ñ × Ñ2ç÷ç÷r3èøèrø+ 1 &#

24、209;2rrr= -æÑ ×örrr-×Ñ-×Ñç÷r3r3r3èør1 æ ¶2y2 ¶y ör1= -4pd( r )y - 2(r ×Ñy) +ç÷r ¶rr è ¶r22rø1 æ ¶2y2 ¶y ö¶yr1= -4pd( r )y - 2r2+rç÷¶ryr¶

25、;¶r2rèø1 ¶2r( )= -4pd r y +r ¶r21 ¶2yr-4pd( r )y +- Ñ G = 02r ¶r233中国科学技术大学· 电磁场理论1 ¶2 y1 ¶2 yr1r-4pd ( r ) y += -q (t ) d ( r )-¶r2¶t2c2rr（a）考虑r>0的情况¶2y =¶2y1，即D'Alembert方程方程简化为¶r2¶t2c2通解可写为y (r, t ) = f 

26、30; t - r ö + g æ t + r öçc ÷çc ÷èøèø来自过去的波来自未来的波，舍去y (r, t ) = f æ t - r öçc ÷èø34中国科学技术大学· 电磁场理论1 ¶2 y1 1 ¶2 yrr-4pd ( r ) y += -q (t ) d ( r )-¶r2¶t2c2rr（b）考虑包含r=0的情况r ö1 ¶21 1

27、¶2æær öær ör( )-4pd r ft -+-f ç t - c ÷ftç÷ç÷r ¶cr ¶t222ècørècøèø= -4pd(r)æ- r ö + 1 f ¢¢æ t - r ö 11 f ¢¢æ t - r ö1-r f ç tc ÷ç÷&

28、#231;c ÷2c2rccrèøèøèøæ- r ö= -4pd(r)r f ç tc ÷èø= -q(t)d(r)r35中国科学技术大学· 电磁场理论rf ç t - r ö = q (t) d (r)æ4pd (r)rc ÷èø在r=0处取一个小球，对方程两侧取体q (t )4pf (t ) = q (t )f (t ) =Þ4pq æ t - r ö1G= G

29、(r, t ) =çc ÷004prèø36中国科学技术大学· 电磁场理论二、位函数的解ì¶2 FrerJ1ïÑ F -2ï2¶tr2cíïïîr¶2 A12 A -= -¶t2¶2Gc2ær ö1Ñ2G -c2=ç t - c ÷¶t2èør æ r¢ræ r¢R öR ö&#

30、231; r , t - c ÷J ç r , tc ÷rm1 èø dv¢R èø dv¢RòòF =A =4pe4pvv37中国科学技术大学· 电磁场理论三、场的位函数及准静态近似1、场的位函数r(r¢(r¢)(r¢)(r¢)rcos(wt + P rr¢r , t ) = r( )«r = rjP r&re场源：场点：ræ r¢mmR ör¢r¢

31、7; = rm ( r )cos(wt - kR + P( r )ç r , t -«re- jkR&èc øk = w = 2p称为电磁场的相移常数lcr&r- jkRm- jkR= 1 ò redv¢&Jedv¢ RA&òF&=4pe4pRvv38中国科学技术大学· 电磁场理论2、准静态近似r&rr& e- jkR- jkRm1Jedv¢ RA&F&òòdv¢=4pe4pRvv若kR<

32、<2，则有r&rr&m1 J dv¢ RA&F&òdv¢ò=4pe4pRvvkR = 2pÛR = lf： 1KHz： 300km1MHz300m1GHz30cm10GHz3cm39中国科学技术大学· 电磁场理论四齐次波动方程的解40中国科学技术大学· 电磁场理论在不存在场源的空间中，ì¶2 F1ïÑ F- = 02ï¶tr22cír¶2 A1ïÑ2 A -= 0ïî&

33、#182;t2c2 直接求解矢量波动方程（） 将矢量波动方程分解为标量波动方程 直角坐标系中，rrrAr()()()Ñ A = xÑ A+ yÑ+ z Ñ A= xÑ2 A+ yÑ2 A+ zÑ2 A2222xyzxyz r圆柱坐标系中，(Ñ2 A) = Ñ2 A纵分量法zz41中国科学技术大学· 电磁场理论求解场标量波动方程Ñ2 y- 1 ¶ y =20¶t2c2Ñ2 y + k2 y = 0k2= w2me直角坐标系y = f (x) g (y) h

34、(z)ì d2f+ kx f = 02ïdx2ïïd2g +k g =kx + k+ k= k> 02222z20ídy2yyïïd2hï+ k h =20zî2dz42中国科学技术大学· 电磁场理论特征函数（以h z 为例）： kz2=0（线性）Az + B kz2>0（震荡型）A exp - jkz zA cos kz zBsin kz zorBexpjkz z kz2<0（型或 衰减型）A exp (-jkz z) + Bexp( jkz z)43中国科学技术大学

35、3; 电磁场理论方向（以z方向为例）相移常数与正z方向exp (- jkz z) ® (wt - kz z)假设电磁波在t时刻z处达到某相位，在t+时刻将在z+处达到该相位负z方向exp (+ jkz z) ® (wt + kz z)假设电磁波在t时刻z处达到某相位，在t+时刻将在z-处达到该相位44中国科学技术大学· 电磁场理论纵分量法 先求出Ez和Hz的表达式 再由Ez和Hz计算其它四个分量 以场为例- ¶E& y- ¶H&ì¶E& z¶H&= - jwmH&= jweE

36、&yzï ¶yxx¶z¶E& z¶y¶zïìÑ´ r&r&E = -jwmHïï¶E& x¶H&¶H&í&&- j-r&r&xzHyjEyíïîÑ´ H = jweEï ¶z¶x¶z¶xï¶E& y¶H&-

37、 ¶E& x- ¶H&= -jwmH&= jweE&yï ¶xxzz¶y¶x¶yïî45中国科学技术大学· 电磁场理论沿正z或负z方向或衰减，即各分量都有¶= m jkz¶z可得ìE&¶E& z+ wm ¶H&¶H&- we ¶E& z= - j æ ±kö= - j æ ±köH&zz&

38、#239;ç÷ç÷xzxz¶x¶y¶x¶yk2k2ïtèøtèøí¶E&¶H&¶H&¶E&-j æö-j æöïE&H&=ç ±k z - wmz ÷=ç ±k z + wez ÷ïyzyz¶y¶x¶y¶xk2k

39、2tèøtèøî= k2 + k2 = k2 - k2k2txyz46中国科学技术大学· 电磁场理论ì¶E& z¶H&E&= - jwmH&H&= jweE&± jk± jkzzyxzyxï ¶y¶yí¶E&¶H&ïm jkE&= -jwmH&H&= jweE&-z -z m jkïîzxyzxy

40、82;x¶xæ ¶E& zö - ¶H&1E&= jweE&± jkzm jk-jwm ç ¶y÷zzyy¶xèøæ ¶E& zö + jwm ¶H&=E&E&± jk2zm jkç÷zzyy¶y1¶xèø¶E& z+ jwm ¶H&æ m jköE

41、&=zç÷yzw2em - k2¶y¶xz èø¶E& z¶H&æ ±kö- j=-zç÷zw2em - k2¶y¶xz èø47中国科学技术大学· 电磁场理论横电模与横磁模横电模（TE模/H模）横磁模（TM模/E模）Ez= 0Hz¹ 0Ez¹ 0Hz= 0= -jwm ¶H&= m jkz¶E& zìE&ìE

42、&zïïx¶yxk2¶xk2ïïïïttjwm ¶H&m jk¶E&ïE&ïE&ï= z ¶x zz yyk2¶yk2ïttíí¶H&jwe ¶E& z= m jkzïH&ïH&=zïïïïx¶xxk2¶yk2tt¶H&= - j

43、we ¶E& zïH&ïH&= m jkzzïïyy¶yk2¶xk2îîtt48中国科学技术大学· 电磁场理论例：矩形波导中的电磁场仅考虑正向传输的场忽略管壁厚度ybax49中国科学技术大学· 电磁场理论TE模= -jwm ¶H&= m jkz¶H&ìE&H&zzïxx¶y¶xk2k2ïttíjwm ¶H&m jk¶H&am

44、p;ïE&H&= z ¶x zz ïyy¶yk2k2îttæ mpæ npööH&= H0 cos ç- jk zx ÷ cos çy÷ezzèaøèbøìnpæ mpæ npööïE& x= Ex 0- jk zcosçx ÷sin çy÷ezïbèaøè

45、bøTEmn模ím、n不同零mpæ mpæ npööïE&e- jkz z= Esinxcosyç÷ç÷ïyy0aèaøèbøî50中国科学技术大学· 电磁场理论BJ-22中TE10模表面电场幅度行波表面磁场幅度内部磁场矢量51中国科学技术大学· 电磁场理论ìnpæ mpæ npmpæ mpæ npöööö&#

46、239;E& xïïH&- jk z- jk z= Ex 0= Hx 0cosçx ÷sin çy÷esin çx ÷cosçy÷ezzxbèaøèbøöanpèaøèbøömpæ mpæ npæ mpæ npööíE& yïïH&= Ey0- jk z= Hy0- jk zs

47、in çx ÷cosçy÷ecosçx ÷sin çy÷ezzyaèaøèbøbèaøèbøæ mpæ npööïE& zH&- jk z= 0= H0 cos çx ÷ cos çy÷ezzèaøèbøîTE1052中国科学技术大学· 电磁场理论ìnpæ

48、; mpæ npmpæ mpæ npööööïE& xïïH&- jk z- jk z= Ex 0= Hx 0cosçx ÷sin çy÷esin çx ÷cosçy÷ezzxbèaøèbøöanpèaøèbøömpæ mpæ npæ mpæ npö&#

49、246;íE& yïïH&= Ey0- jk z= Hy0- jk zsin çx ÷cosçy÷ecosçx ÷sin çy÷ezzyaèaøèbøbèaøèbøæ mpæ npööïE& zH&- jk z= 0= H0 cos çx ÷ cos çy÷ezzèaø

50、;èbøîTE10TE20中国科学技术大学· 电磁场理论53ìnpæ mpæ npmpæ mpæ npööööïE& xH&- jk z- jk z= Ex 0= Hx 0cosçx ÷sin çy÷esin çx ÷cosçy÷ezzxbèaøèbøöanpèaøèbø&

51、#246;ïïmpæ mpæ npæ mpæ npööíE& yïïH&= Ey0- jk z= Hy0- jk zsin çx ÷cosçy÷ecosçx ÷sin çy÷ezzyaèaøèbøbèaøèbøæ mpæ npööïE& zH&=

52、0= H0 cos ç- jk zx ÷ cos çy÷ezzèaøèbøîTE21TE1154中国科学技术大学· 电磁场理论TM模= m jkz¶E& zjwe ¶E& zìE&H&=ïxx¶x¶yk2k2ïttím jk¶E&-jwe ¶E&ïE&H&= zz z ¶xïyy¶yk2k2&#

53、238;ttæ mpæ npööE& z- jk z= E0 sin çx ÷sin çy÷ezèaøæ npèbøìmpæ mpööïE& x- jk z= Ex 0cosçx ÷sin çy÷ezïanpèaøèbøTMmn模m、n都不为零íæ mpæ npöö

54、;ïE&= E- jkz zinxç÷ç÷ïyy0bèaøèbøî55中国科学技术大学· 电磁场理论ìmpæ mpæ npnpæ mpæ npööööïE& xH&- jk z- jk z= Ex 0= Hx 0cosçx ÷sin çy÷esin çx ÷cosçy÷ezz

55、xanpèaøèbøbèaøèbøïïæ mpæ npmpæ mpæ npööööíE& yïïH&- jk- jk z= Ey0z= Hy0sin çx ÷cosçy÷ecosçx ÷sin çy÷ezzybèaøèbøaèaø&#

56、232;bøæ mpæ npööïE& zH&- jk z= E0 sin ç= 0x ÷sin çy÷ezzèaøèbøîTM11TM2156中国科学技术大学· 电磁场理论纵向特征值是多少？= k2 - k2 - k2k2zxyæ 2p ö2æ mp ö2æ np ö2= ç- ç- ç÷÷÷l

57、32;øèaøèbø传输模：场/波沿正z或负z轴方向em jkz z> 0k2z消失模：场/波在正z或负z轴方向指数衰减emGz z< 0G2= -k2k2zz57中国科学技术大学· 电磁场理论截止频率：æ 2p ö2æ mp ö2æ np ö2=-= 0k2ç÷ç÷ç÷zlèøèaøèaø2l=截止波长cæ m ö2

58、0; n ö2ç a ÷ + ç b ÷èøèøæ m ö2æ n ö2ç a ÷ + ç b ÷c=èøèø 2cf=截止频率clc当f > fc， < c时，模式TEmn和TMmn存在58中国科学技术大学· 电磁场理论kzTE10f主模：TE10，截止波长2a次高模：TE20和/或TE01,截止波长a或2b（较大者）59中国科学技术大学· 电磁场理论例

59、：导体谐振腔中的电磁场不妨设c a byxcbaz60中国科学技术大学· 电磁场理论TE模-jwm ¶H&¶2H&ì &1&=k2ïExzHxz¶y¶x¶zk2ïttíjwm ¶H&¶2H&1ïE&H&= z ¶x z ¶y¶zïyyk2k2îtt= H cos æ mpæ npæ lp z öö

60、6;H&x ÷ cos çy÷sin çç÷z0èaøèbøècø61中国科学技术大学· 电磁场理论ìE&np cosæ mpæ npæ lp z ööö= Ex ÷sin çy÷sin çç÷ïïxx 0èaøèøèøïE&

61、mp sin æ mpæ npæ lp z ööö= Ex ÷cosçy÷sin çïç÷yy0ïaèaøèbøècøímp lpæ mpæ npæ lpöööïH&= Hsinxcosy coszç÷ç÷ç÷ïïxx 0ac

62、32;aøèbøècønp lp cos æ mpæ npæ lp z öööïH&= Hx ÷ sin çy÷ cos çç÷ïyy0bcèaøèbøècøîTEmn模，m、n、中至少两项不为零62中国科学技术大学· 电磁场理论TM模¶2E&zjwe ¶E& zì &

63、;1&=k2=ïExHx¶x¶z¶yk2ïttí¶2E&-jwe ¶E&1ïE&H&= z ¶y¶z z ¶xïyyk2k2îtt= E sin æ mpæ npæ lp z öööE&x ÷sin çy÷sin çç÷z0èaøèbøècø63中国科学技术大学· 电磁场理论ìE&mp lp cosæ mpæ npæ lp z ööö= Ex ÷sin çy÷ cos çïç÷xx 0acèaøèbøècøïïE&np lp sin æ mpæ npæ lp