极限教学的处理技巧

1、极限教学的处理技巧极限是微积分理论的基础，也是人类认知无限的工具。因此，搞好极限理论的教学尤其重要，本文就多年的教学中积累的经验谈一些自己的体会。 数列极限语言定义的引入设有一数列，我们通常说当趋于无穷大时以为极限是指：当无限增大时，与一个固定的常数无限接近。但这种定性的描述并不能揭示极限的本质（内涵），因此它并不能作为极限的定义。为此，必须引入能刻画极限本质的定量化的定义。为了学生更清晰的弄清楚极限语言定义来历及确切的含义，我们可以直接对学生脑子已有的极限的定性描述加以分析可知：所谓“与常数无限接近，实质上就是可以无限小，而可以无限小亦即可以小于任何一个事先给定的正数；但又并不是一开始就可以

2、小于任何一个事先给定的正数的。那可以小于任何一个事先给定的正数的前提是什么呢？上述定性的描述中说得清楚，前提就是无限增大时，也就是当充分大之后，换句话说就是当大到比某个正整数还要大之后。也就是说：所谓以为极限是指：对于任何一个事先给定的正数，当大到比某个正整数还要大之后，可以小于这个正数。这样，我们通过上述分析，可以很自然而又清晰地得到数列极限的定义：“设为一数列，为一个固定的常数。若对于任何一个事先给定的正数，都存在正整数，使得当时，有成立，则称数列以为极限（或数列收敛于）。并记作：得到极限的定义之后，很多人自然想到立即用极限的定义去求极限。但通过对极限的定义分析可以发现，数列极限的定义是非

3、构造性的定义，换句话说，极限定义中的并不能通过给定的数列通过我们已经熟知的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等等）计算等到。因此，教师不能在此时举求极限的例子而错误的引导学生。那么，我们如何解决数列极限的求法呢？事实上，通过分析我们以前所学的所有数学概念（运算），即使是很简单的构造性的概念（运算），如果人们仅以定义去计算，问题也会变的十分烦琐。比如乘法运算，如果由定义去计算，有，这是十分简单的，但如果要我们用定义去计算两个很大的数的乘法就行不通了。那么，人们又是如何解决任意两个数之间的乘法运算的呢？分析发现，数学在解决这类问题时的方法都是一致的：先通过定义证明一些常用的公式，再建立起该类运算性质

4、及运算法则,然后就可以运用这些基本的运算公式及运算法则解决这类问题的计算了。类似的，我们要解决极限问题的计算，也要遵循这样的规则。也就是我们先要根据极限的定义证明一些常用的极限公式，再建立起极限的性质及运算法则。这样极限的计算问题也就迎刃而解了。为此，在引入极限的定义后，可先用定义证明一些常用的极限公式(仅列部分数列极限公式)：1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 (后证) 如何用定义证明极限由极限的定义分析可知要证，只要对，我们都存在正整数（不一定要求是正整数），使得当时，有即可。那么我们对，如何去找到满足上述条件的呢？由于这样的（如果存在的话）不是唯一的，而定义又只要求存在这样的数即可

5、，所以我们不一定去找满足条件的最小的事实上，对，要找这样的，我们只需直接去解不等式。解的过程可能出现以下两种情况：10） 如果解的结果为某个数（关于的表达式），则这个数就是我们要找的数。公式得证。如果解的结果为某个数（关于的表达式），则数列不以为极限。这种情况当然不会让我们证明20）如果不等式比较繁琐，从中不易解出上面的结果，则我们可将表达式作适当的放大，比如让，然后再从中能解出某个数（关于的表达式），则这个数也可作为我们要找的数。这个过程的难点就在将作适当的放大，那么何谓适当放大呢？事实上，只要有，放大就是适当的！由此可见，极限的证明步骤几乎是模版化的格式。以下就是证明的格式模版： 证明极限

6、：证：对，要使 这里是解的过程，得结果某个数（关于的表达式）；或当比较繁琐不易解得，则在这里将作适当的放大，使，然后从中解得某个数取某个数（关于的表达式）或某个数（关于的表达式），则当时，有成立，所以 函数极限定义的处理方法在解决了数列极限的上述问题后，函数极限都可以做类似的处理。这里只谈谈函数极限定义的归一化处理方法。对函数极限而言，自变量的变化过程有，等方式，而函数值的变化趋势有，等方式，因此函数极限分种不同的情况引入了定义。但我们只要对上述定义作质的分析可知，只要我们与有限点一样引入的邻域（去心邻域）登记号（概念）后,种函数极限的定义便可做归一化的处理，并且学生能从这归一化的定义中清晰的

7、理解极限的本质。点的邻域：点的左邻域：点的右邻域：点的去心邻域：点的左去心邻域：点的右去心邻域：的邻域（也称为的去心邻域）：的邻域（也称为的去心邻域）：的邻域（也称为的去心邻域）：在引入了上述记号后，我们用记号表示，中的某一种情况，而用常数，中的某一种情况，则极限式的定义如下。定义：设在的某去心邻域内有定义，若对任意的的邻域，总存在的去心邻域，使得当，有。则称当时，以为极限，记为（定义中的与为任意的正数，这里加*表示主要是为了强调当代表有限的常数时刻画的是任意小的正数，而当代表的是，（或，）时刻画的是任意达的正数，而事实上与只要为任意的正数即可）由该定义可以看到，所谓时，以为极限就是指当与充分

8、接近（落在的充分小的去心邻域）时，与无限接近（落在充分小邻域内），这样学生便能更加清晰地理解极限定义的本质：就是当自变量在某点作“微小”的变化时，函数值也在某个值附近作“微小”的变化。从而对极限理论有更深刻和清晰地认识。同时，当我们把极限的定义作了这样的归一化处理后，以后许多关于极限的性质及运算法则的证明也都可以做归一化的描述和归一化的证明。本文仅举一例说明这种归一化的描述和归一化的证明方法。比如，对于复合函数的极限运算法则，几乎所有课本上都是类似这样叙述的：设函数是由与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，又，则然后书中会有注解说明在该定理中，把换成或而把换成，可得类似的

9、定理。而事实上，当我们有了上述关于各类极限趋势的归一化处理后，所有这些类似的定理（甚至可包含更多的情形）都可以归一化的叙述成这样的定理：设函数是由与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当时，有，又，则其中，该定理中表示，中的某一种情况，而表示常数，中的某一种情况，表示常数，中的某一种情况，这样该定理就能描述复合函数的极限运算法则的96种情形，或者，如果要求复合函数的极限存在的话，也能描述24种不同的情形。（事实上对或，显然有，所以对这几种情形当时，有可省略）该定理中的归一化证明如下：证 ，由于，所以，当，有又由于，所以对上述，当，有。由假设当时，有，取，这两个去心邻域中较小的那个记

10、为，则当时，从而：当时，有即：。证毕。 如何利用两个重要的极限公式求极限在完成了极限的定义、极限公式的证明、极限的性质、极限的运算法则等方面的教学后，我们自然要回到开始的问题，那就是如何秋熟列（函数）的极限呢？对于一般的极限，里利用我们提到的那些常用的极限公式再运用极限的运算法则一般都很容易求得结果。但对一些、等未定式的极限（此时学生还未学到洛必达法则）学生还往往不知如何入手。特别是在学完两个重要的极限公式后，学生往往不知如何应用。下面我主要谈谈如何利用两个重要的极限公式求极限。41 如何利用解决某些型未定式的极限411 在求极限时，学生往往会问：那种类型的极限可用来求呢？一般来说，可以让学生

11、从以下两个方面来判断：10）如果所求的极限式子为型（或可化为型），20）在这个型式子的分子或分母中含有关于变量三角函数或反三角函数表达式，如果要求的极限式子同时满足以上两个条件，则这个极限可考虑用该公式来求。412 在得知所求的极限可考虑用该公式来求后，剩下的当然是怎样利用该公式来求极限呢？一般来说，就是将含有变量三角函数表达式的分子或分母通过各类三角变换（比如和差化积等）化成（或，如果极限过程为的话）与其他式子的乘积形式；或者就是将含有变量反三角函数表达式的分子或分母通过变量替换变成与其他式子的乘积形式(其中)即可。例1：例2：求42 如何利用解决型未定式的极限421那种类型的极限可用来求呢？一般来说，可以让学生从以下两个方面来判断：10）如果所求的极限式子为20）当时，为型，如果要求的极限式子同时满足以上两个条件，则这个极限可用该公式来求。422怎样利用该公式来求极限呢？一般来说，就是将表达式化成（其中）的形式，则当（常数）时，。例1： 由于所以，原式=例2： （其中为常数，）解：通过上面的分析，学生在遇到类似的求极限问题时，就不会感到措手无策了。我们再举一个在教学中学生每次都要问到的一个极限题为例，学生每次遇