江苏省金湖二中高一数学竞赛试题2011514

1、江苏省金湖二中高一数学竞赛试题2011-5-14本试卷共160分，考试时间120分钟。注意事项1、 答题前，考生先将自己的姓名、学号填写清楚。2、 答题时务必按照题号顺序在答题纸各题的指定答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上、试卷上答题无效。3、 答题时一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸规定位置1已知数列，的一个通项公式是 .2已知 .3函数的定义域是 .4在等差数列中，已知，则它的前项和 .5若x、yR+, x+4y=20,则xy的最大值为 6的值是 .7在等比数列中，已知，则公比 . 8已知则

2、.9已知点A（1，3）和B（-1，1）在直线的两侧，则的取值范围是 . 10设等比数列an共有3n项，它的前n项的和为10，前2n项之和为30，则该等比数列前3n项的和等于_.11在ABC中,A、B、C成等差数列,且b=,则ABC的外接圆半径R= 12已知数列的前n项和，某三角形三边之比为，则该三角形最大角的大小是 .13对于函数成立的所有常数M中,我们把M的最大值叫做的下确界,则对于不全为0, 的下确界是 .14已知数列中，则的最小值为 .2、 解答题：本大题共6小题，共90分，请把解答写在答题卷规定的答题框内，解答应写 出文字说明，证明过程或演算步骤15（本题满分14分）已知集合A=，B=

3、， （1）当时，求（2）若，求实数的取值范围。16（本题满分14分）ABC的三个内角A、B、C对边分别是a, b, c，且，又ABC的面积为. 求（1）角C；（2）a+b的值 17（本题满分14分）已知等差数列的前项和为，且，求数列的通项公式；求证：18（本题满分16分）已知向量，且.（1）求及；（2）求函数-的最小值。19（本题满分16分）某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.（1）写出y与x之间的函数

4、关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； (ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由. 20. （本题满分16分）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值。（2）设常数，求函数的最大值和最小值；（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由。 金湖二中高一数学竞赛试题参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请

5、把答案写在答题纸规定位置1 ； 2 ； 3 ； 4 120 ； 5 25 ； 6 ； 7 ； 8 ； 9. ； 10. 70 ；11 1 ； 12 ； 13 ； 14 6二、解答题：本大题共6小题，共90分，请把解答写在答题卷规定的答题框内，解答应写 出文字说明，证明过程或演算步骤15 解（1）：， 7分（2）， 所以 或 则或即实数的取值范围为。 14分16解（1）由 得即5分又， 7分（2） 10分又而 12分 14分17解设等差数列的公差为，由，得， 2分即，得， 4分又，得，解得：， 6分所以， 8分由， 10分得： 14分18.解(1) 5分 10分(2)由(1) 得设,则所以当时的

6、最小值为. 16分19解 （1） =.3分 （2）解不等式 0,得 x.xN， 3 x 17. 故从第3年工厂开始盈利. 6分（3）(i) 40当且仅当时，即x=7时，等号成立.到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.10分(ii)y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，当x=10时，ymax=102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 14分从年平均盈利来看，第一种处理方案为好。 16分20.解：(1) 由已知得=4, b=4. 3分 (2) c1,4, 1,2,于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.f(1)f(2)=,当1c2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；当2c4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c. 8分(3)设0<x1<x2,g(x2)g(x1)=. 当<x1<x2时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在,+)上是增函数； 当0<x1<x2<时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在(0, 上是减函数. 当n是奇数时,g(x)是奇函数,函数g(x) 在(,上是增函数, 在,0)上是减函数. 当n是偶数时, g(x)