南昌大学第五届05、06级数学专业类试题及答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上序号： 姓名： _ 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2008年9月21日 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分2110121012101213 100得分注: 本卷共九页, 八道大题, 考试时间为8:3011:30.一、计算题(每题7分，共21分) 得分评阅人 1、；2、求维空间中半径为的球体的体积，即求维球体的体积；3、求。 南昌大学第五届高等数学竞赛（数学专业类2005、2006级）试卷二、证明题（10分）得分评阅人 设在a,b上连续，且对每个a,b，有界，则a,b中必存在一个小区间使在其上一致有界。三、证明题（12分）得分评阅人 设集合S=。证明：(

2、1) 集合S没有最大数和最小数；(2) 集合S在Q内没有上确界与下确界。四、证明题（10分）得分评阅人 给定平面上的一个三角形，求证在任意方向上都存在一条直线，能将三角形分成面积相等的两部分。五、证明题（12分）得分评阅人 设是定义在有界实数集E上的实函数，对于E中的任一收敛数列，也是一收敛数列，求证在E上一致连续。六、计算题（10分）得分评阅人 假设函数在区间a,b可微，但不是常数，且有=0，则在a,b中至少存在一点，使得。七、证明题（12分）得分评阅人 设。已知时，有，且。求证级数的收敛半径为1。八、计算题（13分）得分评阅人 计算 南昌大学第五届高等数学竞赛（数学专业类2005、2006

3、级）试卷答案和评分细则一、1因为 = =-1 所以 2.设球体的体积为，则令，即可将原积分化为单位上的积分，得，其中表示时维球体的体积。 于是 = = =(令) =2 =。由，可得=。因此，。 3，单调递减，且关于一直趋于0，的部分和一致有界，由狄立克莱判别法，在一致收敛。 所以，=。 二、证明：反证，假设区间a,b中不存在小区间使在其上一致有界，记区间a,b为。则，存在自然数及，使|>。 现在取，则存自然数及，使|>1。由于在区间连续，存在，使得，有|>1。现在取，则存自然数及，使|>2。由于在区间连续，存在，使得，有|>2，.,这样可得到区间序列以及自然数序列

4、，使得：(1)，(2)，。 所以存在，使得，这和条件：对每个a,b，有界矛盾。所以，区间a,b中存在小区间使在其上一致有界。三、证明：(1)反证：假设为最大数，则。显然，。 由于。所以当充分大时，。于是， 而且，故。所以由上面的不等式可知：。这与为最大数矛盾。所以中没有最大数。同理，中没有最小数。 (2)反证：假设在中有上确界，设为，则。由上确界的定义可知：。 由(1)的证明可知：不成立。因此，。由于，因此，其中为互质的整数。于是，。可知，为3的倍数，设。于是。可知，也为3的倍数。这与为互质的整数矛盾。故不成立，即在中没有上确界。同理，在中没有下确界。 四、证明：设三角形的面积为，设为任一给定

5、的方向，将三角形放置于矩形中，并且使。以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，以表示平行于轴且在轴上的截距为的直线截三角形左边所得到的面积。由于，所以为一个连续函数。 设，且设。则易知：。由介值定理，存在，使得。于是，过且平行于轴的直线即为所求。 五、证明：反证：假设在E上不一致连续。则，：，使得。现在取，则存在：，使得。而E为有界数列，所以存在一个收敛的子列。不妨，设。则由可知：。 所以，都是收敛的数列。将数列记为，则数列为收敛的数列，故为收敛的数列，但是，。这和为收敛的数列矛盾。所以在E上一致连续。 六、证明：用表示在a,b上的上确界，则>0，并且 ，。 其中。下面证明上面两个不等式的等号不能恒成立。事实上，若，且。则函数在的左、右导数分别为：，。由>0，可推得不存在。这和条件矛盾。 因为在区间a,b连续，且上面的两个不等式不能恒成立，因此，即。 由确界的定义可知：在a,b中至少存在一点，使得. 七、证明：设分别为级数的收敛半径。由于当时，可知当时，级数发散。故。 又，所以当充分大时，。因此，于是当取值使级数收敛，必使级数也收敛。故。 而=+， 由知=1，即=1。此说明。所以。 八、解：令=。则=。所以=(+) =- (*) 对于固定的，由(-)=+=()<0,可知为