第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习

1、学习资料第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数) 一、行列式已知 Apxq, Bq"，则 |Ip+AB| = |I q + BA|证明一： 参照课本 194 页，例 4.3.证明二： 利用 AB 和 BA 有相同的非零特征值的性质；从而Ip+AB ， I q+BA 中不等于 1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于 1。行列式是特征值的乘积，因此 |Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值(不等于 1)的乘积，所以二者相等。二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算

2、都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。nn定义： tr(A) aii i ， etrA=exp(trA) i1i1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x HAx) tr(Axx H ),x 为向量； nn6. tr(A) i,tr(A k)ik ;i1i1从 Schur 定理 (或 Jordan 标准形)和( 4) 证明；7. A 0,则tr(A) 0,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则t

3、r(A) tr(B),且等号成 立的充要条件是A=B ( A B i (A) i(B) ) ；9. 对于n阶方阵A,若存在正整数k,使得Ak=0, 则 tr(A)=0 (从 Schur 定理或 Jordan 标准形证明) 。若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A HB)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个 mn 维列向量的内积， 利用 Cauchy-schwarz 不等式 x,y2w x,x. y,y得定理：对任意两个m x n复矩阵A和B|tr(A HB)|2< tr(AHA) . tr(BHB)仅供学习与参考学习资料这里等号成立的充要条件是

4、A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时0gtr(AB)| 用r(A 2)Jtr(B 2)定理：设A和B为两个n阶Hermite阵，且AAO, B>05则0< tr(AB) i(B)tr(A) < tr(A). tr(B)处B)表示B的最大特征值。证明：tr(AB)= tr(A 1/2BA1/2) >Q 又因为A1/2 1(B)I-BA 1/2>Q 所以方(B)tr(A) 5A1/2BA1/2,得tr(AB)= tr(A 1/2BA1/2)雷(B) A)= B) tr(A) wtrA) . tr(B)推论：设A为Hermite矩阵，且A&g

5、t;0,则tr(A)tr(A -1pn另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考 矩阵论中不等式。三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的 它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩 阵秩的一些性质和不等式。定义：矩阵 A 的秩定义为它的行(或列)向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为 rank(A)性质 ：1. rank(AB) min(rank(A),rank(B) ；2. rank(AB) rank(A,B) rank(A)rank(B) ；3. rank(AA H ) rank(A H ) rank(A) ；4. rank(A) rank(XA) ran

6、k(AY) rank(XAY) ，其中 X 列满秩， Y 行满秩(消去法则) 。定理(Sylvester):设A和B分别为m<n和nXl矩阵，则rank(A) rank(B) n rank(AB) min(rank(A),rank(B)Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的矩阵论中不等式 ，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。四、相对特征根定义 ：设 A 和 B 均为 P 阶实对称阵， B>0 ，方程|A-入q=0的根称为A相对于B的特征根。性质：|A-入耳=0等价于|B-1/2AB-1/2-刖=0( 因为B>0 ，

7、所以B1/2>0)注：求 A相对于 B的特征根问题转化为求 B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因 B-1/2ABT/2是实对称阵，所以特征根为实数。定义：使(A-4B)li=0的非零向量li称为对应于X 的A相对于B的特征向量。性质： 设l是相对于人的A B-1的特征向量，则A B-1l= N 或A (B-1l)=汨(B-1l)B-1l为对应入的A相对于B的特征向量(转化为求A B-1的特征向量问题)。 设l是相对于入的B-皿AB-1/2的特征向量，则B-1/2AB -1/2l= N可得A (B-1/2l)=汨(B-1/2l)则B-1/2l为对应入的A相对于B的特征向

8、量 (转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题)五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的 一种度量。先讨论向量范数。1.向量范数定义：设V为数域F上的线性空间， 若对于V的任一向量x,对应一个实值函数|x| ,并满仅供学习与参考学习资料足以下三个条件:(1)非负性|x| 0,等号当且仅当x=0时成立;(2)齐次性 | x| | | |x|,k,x V;(3)三角不等式卜 y| |x| |y|,x, y V。则称x为V中向量x的范数，简称为 向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间例1. xn2i 1证明:Cn,它可表示成12就是一种范数,称为欧氏范数

9、或2-范数。仅供学习与参考120(ii)齐次性(i)非负性当且仅当 i 0 i 1,2,L ,n 时，即 x = 0 时，|x|l2 = 0(iii)三角不等式y 12 L n , i CTx y 1122 L n nx y|l22ReX 丫2 X|l y2 2 i i i 1冈b帆2 2卜I2 IM2 2冈2闻2根据H?lder不等式:aibii 1n /p n，1qd dpq/ 11aibi ) p,q 1, 1,ai,b i 0i 1i 1p qn12i 1i 1i 1llx y( IM2 1y2.常用的向量范数（设向量为X 12 L nT）1范数：凶18-范数：p-范数：MLni.i

10、1max i ；1 i n2-范数：|x|2 xHx /2；(p>1, p=1, 2,，x,)；椭圆范数（2-范数的推广）：x AxHAx A 为 Hermite 正定阵.n12加权范数：|x|w wil2,i 1当 A W diag w1 w2 L wn , wi 0证明：冈p显然满足非负性和齐次性 p(iii) y i 2 lp 1PP yipy|pnii 1nii 1n pii 1p 1ii1px y|lp 1i ii inp 1i iii 1P 1P应用H?lder不等式n i i 1ni i 1p i1pn1pp -ii 1即 llx yllp llxllp llyllp3.向

11、量范数的等价性定理 设| |、| |为cn的两种向量范数，则必定存在正数 m、M,使得 m|x| |x| M|x , (m、M 与 x 无关)，称此为向量范数的等价性。同时有5国mxn注：(1)对某一向量X而言，如果它的某一种范数 小(或大)，那么它的其它范数也小(或大)。(2)不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向 量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个 mX n阶矩阵可以看成一个 mn维向量，所以Cm n中任何 一种向量范数都可以认为是 mxn阶矩阵的矩阵范 数。1.矩阵范数定义：设Cm n表示数域C上全体m n 阶矩阵的集合。若对于

12、Cm n中任一矩阵A,均对应一 个实值函数|a|,并满足以下四个条件：(1)非负性：Ml 0，等号当且仅当A=0时成立;(2)齐次性：II All I Ml, C;(3)三角不等式：IIA b| |a| |b|,a,b Cmn,则称 |a II为广义矩阵范数；(4)相容性：|ab"a|b|,则称A为矩阵范数。F-范数:5.常用的矩阵范数(1) Frobenius 范数(F-范数)F,trace(A H A)矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要 考虑矩阵范数与向量范数的协调性。定义：如果矩阵范数|网|和向量范数|x|满足I Ax II |a| |x|则称这两种范数是相容的。给一种

13、向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范 数与之相容。(2)诱导范数设ACC/n, xC Cn, |x|为x的某种向量范数，记1Ali max|1Axi则|A|是矩阵A的且与|x相容的矩阵范数，也称之为A的诱导范数或算子范数。(3) p-范数:Allp max xAaij m n,x为所有可能的向量，x 1Alpmax | Ax IIxp 1p1, |Ax|aij j 1可以证明下列矩阵范数都是诱导范数:(D同1nmax1 j n i 1aaij列（和）范数;2 max' i（AHA）谱范数;AHA的最大特征值称为AHA的谱半径。当A是Hermite矩阵时,a|12 max i(A)是 a

14、 的谱半径。注：谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。AH 2冈2；AHA 2(3) |A|(IWInmax1 i m . j 1aaij行（和）范数max1 i n12)定理矩阵A的任意一种范数|a|是A的元素的连续函数；矩阵A的任意两种范数是等价的。定理 设Awcn><n, xecn,则|a|f和帆2是相容的即I网2网F网2证明：由于 |Ax|211Ali2 |x|2 |A|F |x|2成立。定理设aw cn><n,则|a|f是西不变的，即对于任意 西矩阵u,ve cnxn,有IIaIIf IuavIf证明：|UAV |F 'tr(UAV) H(UAV)Jt

15、rV HAHUHUAVv"trV HAHAVJtrA HAVV H Jtr(A HA) |a|f定义 设A C CnXn, A的所有不同特征值组成的集合 称为A的谱；特征值的模的最大值称为 A的谱半径, 记为p(A)。定理p(A)不大于A的任何一种诱导范数，即p(a)<IIa|证明：设人是A的任意特征值，x是相应的特征向量，即Ax=衣则I 斗 I|X|= |Ax|w|A| |x|,|x|产0即|*w|A|试证：设A是n阶方阵，|A|是诱导范数，当|A|<1 时，I-A可逆，且有|(I-A)-1| -幽|尸证明：若I-A不可逆，则齐次线性方程组(I-A)x=0有非零解x,即

16、x=Ax ,因而有|x|=|Ax| *|糊<|刈但这是不可能的，故I-A可逆。于是 (I-A) -1= (I-A)+A (I-A) -1=I+A (I-A) -1因此 |(I-A)-1|W |I+|A(I-A) -1|=1+|A(I-A) -1|司+|A| . | (I-A)-1|即证|(I-A)-1| w-OA|)-1补充证明|I|=1:由相容性可知：IIAII . |A-1|>|AA-1|=|I|x| |lx | |l |x|11| 1对于诱导范数（|A| max|Ax IN -I max lx 1 o|x| 1六、条件数条件数对研究方程的性态起着重要的作用定义：设矩阵A是可逆

17、方阵，称IIA| . 为矩 阵A的条件数，记为cond(A) ,即cond(A)= |A| . |A'1|性质:(1) cond(A)分并且A的条件数与所取的诱导范 数的类型有关。因 cond(A)= |A| . |A-1| >|A>|I|=1(2) cond(kA)= cond(A)=cond(A -1)?这里 k 为任 意非零常数。当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：condi(A)= |A|i . |A-1|icond0°(A)= |A| |A-1|cond2(A)= |A|2 . |A-1|2=J- ?其中n 分别为aha的特征值的模的最大值和最小

18、值。谱条件数特别地，如果A为可逆的Hermite矩阵，则有icond2(A)=n这里1, n分别为A的特征值的模的最大值和最小值。如果A为西阵,则cond2(A)= 1例 求矩阵A的条件数condi(A), cond-(A)152A 21038 2解：11A|1=max6;14;4=14;|Ak=max8;3;13=14;26211A 1-484413 23 11故|A-1|1=17/4;|A-1k=47/4;cond1(A)= 11A|1 . |A-1|1=14X 17/4=259/2;cond-(A)= 11A卜. |A-1卜=611/4。例 设线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆。讨 论当b有误差Sb时，解的相对误差 汶的大小。解：因矩阵A可逆，所以Ax=b有唯一解x=A-1b, 设解的误差为e