高三数学一轮复习：基本初等函数

1、20092010学年度高三数学(人教版A版)第一轮复习资料第4讲基本初等函数一.【课标要求】1 .指数函数(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14c的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景；(2)理解有理指数哥的含义，通过具体实例了解实数指数哥的意义，掌握哥的运算。(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象， 探索并理解指数函数的单调性与特殊点；(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型2 .对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数；通过阅读材料，了解

2、对数的发现历史以及对简化运算的作用；(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的 概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3 .知道指数函数 y ax与对数函数y loga x互为反函数(a>0, awi)。4 .募函数1 一y= 1的图象，了解它们的变化情况 x(1) 了解哥函数的概念231(2)结合函数 y=x，y= x , y=x ,y=x2 , 二.【命题走向】指数函数、对数函数、哥函数是三类常见的重要函数， 在历年的高考题中都占据着重要 的地位。从近几年的高考形势来看

3、，对指数函数、对数函数、募函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。预测2010年对本节的考察是：1 .题型有两个选择题和一个解答题；2 .题目形式多以指数函数、对数函数、哥函数为载体的复合函数来考察函数的性质。 同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大口三.【要点精讲】1 .指数与对数运算(1)根式的概念：定义：若一个数的n次方等于a(n1,且n N ),则这个数称a的n次方根。即若xn a ,则x称a的n次方根n 1且n N ),1)当n为奇数时，a的

4、n次方根记作 此；2)当n为偶数时，负数 a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记性质：1)(1'a)na； 2)当n为奇数时，Vana；3)当n为偶数时，Va |a|a(a 0) o a(a 0)(2).哥的有关概念规定：1) an a a a(n n*; 2) a0 1(aJVn个0);3)(pQ, 4)n am(a0,m、n n 且 n 1)匕性质：1) ar as ar s(a 0, r、s Q)；2) (ar)s ars(a 0,r、sQ);r r,r3) (a b) a b (a 0,b 0,r Q)。(注)上述性质对r、s R均适用。(3).对数的概念定义：

5、如果a(a 0,且a 1)的b次哥等于N,就是ab N ,那么数b称以a为底N的对数，记作log a N b,其中a称对数的底，N称真数口1)以10为底的对数称常用对数，log 10 N记作lg N ;2)以无理数e(e 2.71828 )为底的对数称自然对数，loge N ,记作ln N ; 基本性质：1)真数N为正数(负数和零无对数)；2) loga1 0；3) log a a 1 ; 4)对数恒等式：alogaN N。运算性质：如果a 0,a 0,M0, N 0,则1) log a (MN ) log a M log a N ；M2) loga- loga M loga N ； N3)

6、log a M n n loga M (n R)-换底公式：loga N 10g m)(a 0,a 0,m 0,m 1, N 0),log ma1) log a b log b a 1； 2)logam bn log a b om2 .指数函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数y ax（a Q且a 1）称指数函数,1）函数的定义域为 R; 2）函数的值域为（Q ）；3）当0 a 1时函数为减函数，当 a 1时函数为增函数。函数图像：0 <n< 1 a> I1）指数函数的图象都经过点（0, 1）,且图象都在第一、二象限；1时,2）指数函数都以x轴为渐近线（当0 a 1时，图象

7、向左无限接近 x轴，当a 图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的a（a 0,且a 1）,函数y ax与y a x的图象关于y轴对称口函数值的变化特征：0 a 1a 1 x05t0 y 1 ,x 0时y 1,x 05t y 1,x 0时y 1 ,x 05t y 1 x 0Bt0y 1,（2）对数函数：定义：函数y logax（a 0,且a 1）称对数函数,1）函数的定义域为（0,）； 2）函数的值域为 R；3）当0 a 1时函数为减函数，当 a 1时函数为增函数；4）对数函数y log a x与指数函数 y ax（a 0,且a 1）互为反函数位函数图像：0<a< 1a> 1i）

8、对数函数的图象都经过点（0, i）,且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当0 a 1时，图象向上无限接近 y轴；当a 1时, 图象向下无限接近 y轴）；4）对于相同的a（a 0,且a 1）,函数y logax与y 10gl x的图象关于x轴对称。a函数值的变化特征:0 a 1a 1x 1时y 0,x 1时y 0,x 1时y 0 ,x 1时y 0 ,0 x1时y 0. x0日t0 y 1 .（3）备函数 1）掌握5个哥函数的图像特点2） a>0时，哥函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1,1）当募函数为偶函数过（-1,1）,当哥函数为

9、奇函数时过（-1,-1） 当a>0时过（0, 0）4）备函数一定不经过第四象限四.【典例解析】题型1 :指数运算2例 1.(1)计算：(33) 3(5-)0.58921J(0.008) 3 (0.02) 2 (0.32)2 0.06250.25 ；41（2）化简:a3 8a3b224b3 23 ab a3212_1初8 349 21000 3'- 4x2625 4解：(1)原式=(一)3 (一)2 ()3 <50 - ()4279810100004 714 21172-25 =( 一2) 2 ；935 210299(2)原式=(a3)2 a3 (2b3) (2b3)2111

10、a3(a3)3 (2b3)3112 1a3 2b3(a a3)211 1a(a2 a3)5111a3(a3 2b3)5 a6 -r12332a3 a a3 a 。a32b3 a6点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数哥的形式，然后利用分数指数募 的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数哥的形式保留；一般的进行指数募 运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数哥，化小数为分数运算，同时兼顾运算的 顺序。1122例2. (1)已知x2 x 2 3 ,求x3 x 3 2的值O 33x2 x 2 311解：x2 x 2 3,11 (x2 x ")2 9,x 2 x 1 9,x

11、 x 1 7 , (x x 1)2 49,3311又 x2 x 2 (x2 x 2) (x 1 x 1)3 (7 1) 18,x2 x 2347 218 33。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2:对数运算(2).(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)哥函数y f(x)的图象经过点(2,1),8''则满足f (x) = 27的x的值是 .J1答案a 3例3 .计算(1) (lg 2)2 lg2 lg50 lg25；(2) (1孙2 log9 2) (log 4 3 闻3)；,3、 lg 5 lg 8000 (lg 2 3)23)1 1l

12、g 600 lg 0.036 -lg 0.12 2解：(1)原式 (lg2)2 (1 lg5)lg 2 lg52(lg 2 lg51)lg 2 2lg5(1 1)lg2 2lg52(lg2 lg5)2；原式(场岩黑幽)(史里)(坨里)lg3 lg9 lg 4 lg8 lg3 2lg3 2lg 2 3lg 231g 2 51g 352lg 3 6lg 24 '(3)分子=lg5(3 3lg 2)3(lg 2)2 3lg5 3lg2(lg5 lg 2)3.分母二 (lg 63612) lg . lg6 21000 106，lg 4 ；100、3原式=一4点评：这是组很基本的对数运算的练习题

13、,虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧-d3a b c 0例4.设a、b、c为正数，且满足a2 b2c2(1)求证：10g2(1 bc) 10g2(1 ac) abb c(2)右 10g4(1 ) 1, 10g8(a b c)aa b c a b证明：(1)左边 10g2 10g2ab1;2,一，求a、b、c的值。3a10g2(一22222, (a b) c , a 2ab b c10g2 10g2abab-22,2ab c c10g2zab10g2 2 1;.一 .b cb c解：(2)由10g4

14、(1)1得1 4, aa由 log8(a bc) 2得a b c 83 43由得b由得c 3ab,代入 a2 b2 c2 得 2a(4a 3b) 0,a 0,4a 3b 0由、解得a 6, b 8,从而c 10。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指数、对数方程例5.(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数f(x)2x 1TEW a函数.(1)(2)求a, b的值;若对任意的t R,不等式f(t22t) f(2t2k) 0恒成立，求k的取值范围.(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f (0)r 10

15、,即 20,解得b从而有f(x)2x 1 一.又由ff(1)知a121 a221(2)解法一：由(1)知 f(x)2x 1 2由上式易知f (x)在R上为减函数，又因 f(x)2x是奇函数，从而不等式_2_ _ 22f (t 2t) f (2t k) 0 等价于 f(t因f(x)是R上的减函数，由上式推得 t22t)2t-_ 2f(2t k)2t2k.2f( 2t2k).即对一切tR有3t2 2tk 0,从而12k0,解得k解法二：由(1)知f(x)又由题设条件得2产2t2x 12x 1 2, 22t2 k 12产2t即(22t2 k 1整理得23t2t22)( 2t2t k 1 ,2t21)

16、因底数上式对一切222 k 12(2t2 2t 12)( 22>1,故 3t2 2t2t2 k1) 00t R均成立，从而判别式4 12k0,解得k例6. (2008广东理7)A. a 3【解析】f '(x) 3ax eB.ax ae若函数在R有大于零的极值点，则(1C. aD.3x R上有大于零的极值点,3即 f '(x) 3aeax 0 有13,，八ln( 一)，由x 0我们 aa正根。当有f'(x) 3 aeax 0成立时，显然有a 0,此时x马上就能得到参数 a的范围为a 3 点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对 数

17、因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4:指数函数的概念与性质则f (f (2)的值为 2.例7.设f (x)2ex1, x< 2, ,/ 2/、log3(x 1)，A. 0B. 1C. 2D. 3解：C; f (2)log3(22 1) 1,0 1f(f(2) 2e点评：利用指数函数、对数函数的概念,1 , 例 8.已知 f (log ax) x x (a求解函数的值0，且a 1)试求函数f(x)的单调区间。xa , (xC R)。解：令 log a x t ,则 x=a,，te r。 所以 f (t) a a t 即 f (x) ax因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数

18、，故只需讨论f(x)在0+ 8)上的单调性。任取x1x2 ,且使0xx2 贝 uf(x2)x2(a(ax1x2 )f(x1)a x2) (ax1ax2 )(1 ax1ax1 x2(1)当 a>1 时，由0 x1x2 ,有 0 a即f(x)在0, +8上单调递增。ax1x21,所以 f(x2) f(xi) 0(2 )当 0<a<1 时，由0 x1x2 ,有ax1a x2J ?ax1 x21 ,所以f(x2) f(x1)0,即 f(x)在0, +8上单调递增。是f(x)的单调区间。综合所述，0, +8是f(x)的单调增区间，(8, 0)点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至

19、是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分a 1,0 a 1两种情况来处理。题型5:指数函数的图像与应用例9.若函数y(-1)1 x| m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(A. m< 1B. 1 w m<0解：y1 x 1x(2)2* 1(x(x1)1)画图象可知一1Wm<0。D. 0<m< 1答案为Bo点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是 a 1,0,a 1两种情况下函数y ax的图像特征。例10.设函数f(x) 2|x1|x1|，求使f(x) 2jEx的取值范围。3一解：由于y 2x是增函数，f(x) 2点 等价

20、于|x 1| |x 1| -1)当x 1时，|x 1| |x 1| 2,式恒成立；一 一 332)当1 x 1时1x 1| |x 11加式化为 2，即；4 x 1；3)当x 1时，|x 1| |x 1|2 ,式无解；综上x的取值范围是 3。4点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理 - 题型6:对数函数的概念与性质例11. (1)函数y 、：'log2x 2的定义域是()A. (3,)B. 3,)C. (4,)D. 4,)A. ( 4,0)(0,4)C. (-2,-1) (1, 2)B. (-4,-1

21、)(1, 4)D. (-4,-2)(2, 4)解：(1) D (2) Bo点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。例12. (2009广东三校一模)设函数 f x 1 x (2006 湖北)设 f(x)= lg|x ,则 f (1)f (1)的定义域为( 2ln 1 x .(1)求f x的单调区间；一. 1(2)右当x - 1,e 1时,(其中e 2.718 )不等式f x m恒成立，求实数m的 e取值范围；(3)试讨论关于x的方程：f x x2 x a在区间0,2上的根的个数.1 2x x 2

22、解 (1)函数的定义域为1, f x 2x12x x 2 . 1 分由f x0得x 0;2分由 f x 0得 1 x 0,则增区间为0,减区间为 1,0 .(2)令 f x2x x 2x 10,得x_10,由知f x在1,0上递减，在0,e 1上 e递增,12_2_1_-22, fe 1 e 2,且 e 222,ee12_, ,2x - 1,e 1时，f x的最大值为e 2,故m e 2时，不等式f x me恒成立.9分方程fx x2x a,即 x 1 2ln 1x a.记g xx 1 2ln 1x ,则,2 x 1,g x1.由gx 0得 x1；由 g x 0 得 1 x 1 .1 x x

23、1所以g(x)在0,1上递减，在1 , 2上递增.而 g(0)=1 , g(1)=2-2ln2 , g(2)=3-2ln3 ,g(0) >g(2) >g(1)10分所以，当a>1时，方程无解；当3-2ln3 vaW1时，方程有一个解，当2-2ln2 vawaw3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；当a2-2ln2时，方程无解.13字上所述，a (1,) (,2 21n 2)时，方程无解;a (3 21n3,1或a=2-2ln2时，方程有唯一解;14分a (2 2 ln 2,3 21n 3时，方程有两个不等的解例13.当a>1时，函数y=log

24、ax和y=(1 a)x的图象只可能是()解：当a>1时，函数y=logax的图象只能在 A和C中选，又a>1时，y=(1 a)x为减函数。答案：B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例14.设A、B是函数y= 10g2x图象上两点,其横坐标分别为函数y= 1og2x图象交于点 G与直线AB交于点D。(1)求点D的坐标；(2)当 ABC的面积大于1时，求实数a的取值范围口二是把握图像的性质，根a和a+4,直线1: x=a+2与解：(1)易知 D 为线段 AB 的中点,因 A(a, 10g2a ), B(a+4

25、, 1og2(a+4),所以由中点公式得D(a+2, 1og2 a(a4) )o(a 2)2(2) SlABC=S梯形 AA' CC +S 梯形 CC B B- S梯形 AA' B B=.二 10g2 a(a 4)其中A' ,B' C为A,B,C在x轴上的射影。由 Saabc= 1og2-(a_2) >1,得 0< a<2<2 2。a(a 4)点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。题型8:指数函数、对数函数综合问题例15.在xOy平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(

26、an,bn)，对每个自然数 n点Pn a 一位于函数y=2000( )x(0<a<1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的 10等腰三角形。(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数 n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(nC N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列Cn前多少项的和最大？试说明理由.解：(1)由题意知:11 a nan=n+- ,. bn=2000( ) 2a 、(2) .函数 y=2000(-)x(0<a<10)递减，10，对每

27、个自然数 n,有bn>bn+1>bn+2。则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即言说)-1>0,解得 a<- 5(1+ 22.)或 a>5( V5 1)。，5(痣一1)<a<10。(3).5(V5 1)<a<10,a=77 n ;bn=2000( ) 2。数列 bn是一个递减的正数数列，对每个自然数 n> 2,Bn=bnBn 1o于是当 bn> 1 时，Bn<Bn 1,当 bn<1 时，BnBn 1,因此数列 Bn的最大项的项数 n满足不等式bn > 1

28、且bn+1 <1 ,1由 bn=2000(n)2>1 得:nw 20。n=20。点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。例16.已知函数f(x) loga(ax 五)(a 0,a 1为常数)(1)求函数f(x)的定义域;(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性1d(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。解：(1)由 ax Vx 0得 Jx ax,. a>0, x>0，f(x)的定义域是x(4a(2)若 a=2,贝U f (x)。log 2(2x.x)、几1设x1x2一

29、 ，则4(2x1Xi)(2x2x2)2(Xix2)(Xix2)(,XiX2)2(Xi,x2)1 0f (Xi)f (X2)故f (x)为增函数。(3)设 x1x22则aJX7ajx21a(axiXi)(ax?X2)a(xx?)(为x?)(为X2)a(xx2) 1ax1俨ax2jx2f(x)是增函数， . f(xi)> f(x2)即 loga(axi 历 loga(ax? ) 联立、知a>1,a C (1, +8)。点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可-题型9:课标创新题例17.对于在区间 m,

30、 n上有意义的两个函数 f(x)与g(x),如果对任意的x m,n ,均有f (x) g(x) 1 ,则称f(x)与g(x)在m, n上是接近的，否则称f(x)与g(x)在m,n上是非1，一接近的，现有两个函数f1(x) loga(x 3a)与f2(x) loga(a 0, a 1),给定区x a间 a 2, a 3。(1)若i(x)与f2(x)在给定区间a 2,a 3上都有意义，求a的取值范围；(2)讨论f(x)与f2(x)在给定区间 a 2,a 3上是否是接近的。1，斛：(1)两个函数 f1(x) log a (x 3a)与 f 乂x) log a(a 0, a 1)在给tex a区间a

31、2,a 3有意义，因为函数 y x 3a给定区间a 2,a 3上单调递增，函数在1 y 给定区间a 2, a 3上恒为正数，x aa 0故有意义当且仅当a 10 a 1 ;(a 2) 3a 0(2)构造函数 F (x)f1(x) f2 (x) loga (x a)(x 3a),对于函数t (x a)(x 3a)来讲，显然其在(，2a上单调递减，在2a,)上单调递增。且y log at在其定义域内一定是减函数 口由于 0 a 1 ,得 0 2a 2 a 2所以原函数在区间a 2,a 3内单调递减，只需保证|F(a 2)| |loga4(1 a)| 1|F(a 3)| | log a 3(3 2a) | 11 a 4(1 a)a13(3 2a) a，-957 一一 一当0 a 时，f（x）与f2（x）在区间a 2,a 3上是接近的;12,9. 57.,、一，当a 时，G（x）与f2（x）在区间a 2,a 3上是非接近的12点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式