2013年全国中考数学试题分类汇编44：综合性问题

1、20132013 年全国中考数学试题分类汇编：综合性问题年全国中考数学试题分类汇编：综合性问题一选择题一选择题1 （2013 湖北省鄂州市，5，3 分）下列命题正确的个数是（）若代数式有意义，则 x 的取值范围为 x1 且 x0我市生态旅游初步形成规模，2012 年全年生态旅游收入为 302 600 000 元，保留三个有效数字用科学记数法表示为 3.03108元若反比例函数（m 为常数） ，当 x0 时，y 随 x 增大而增大，则一次函数 y=2x+m的图象一定不经过第一象限若函数的图象关于 y 轴对称，则函数称为偶函数，下列三个函数：y=3，y=2x+1，y=x2中偶函数的个数为 2 个A

2、1B2C3D4考点： 命题与定理分析： 根据有关的定理和定义作出判断即可得到答案解答：解：若代数式有意义，则 x 的取值范围为 x1 且 x0，原命题错误；我市生态旅游初步形成规模，2012 年全年生态旅游收入为 302 600 000 元，保留三个有效数字用科学记数法表示为 3.03108元正确若反比例函数（m 为常数）的增减性需要根据 m 的符号讨论，原命题错误；若函数的图象关于 y 轴对称，则函数称为偶函数，三个函数中只有 y=x2中偶函数，原命题错误，故选 C点评： 本题考查了命题与定理的知识，在判断 一个命题正误的时候可以举出反例21 （2013 山东临沂山东临沂，11，3 分分）如

3、图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2在 x 轴上，点B1，B2在 y 轴上，其坐标分别为 A1（1，0） ，A2（2，0） ，B1（0，1） ，B2（0，2） ，分别以 A1，A2，B1，B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）OxyB1A1A2B2A34B13C23D12【答案】 ：D【解析】有OA1B1，QA2B2，QA1B2，QA2B1，等腰三角形有两个，所以概率是12。【方法指导】首先找出一共有几种情况，然后找出符合条件的个数，即可得出事件的概率。3 （2013 山东临沂山东临沂，14，3 分分）如图，正方形 ABCD 中，AB8cm，对角线 AC，

4、BD相交于点 O，点 E，F 分别从 B，C 两点同时出发，以 1cm/s 的速度沿 BC，CD 运动，到点 C，D 时停止运动设运动时间为 t(s)，OEF 的面积为 S(cm2)，则 S(cm2)与 t(s)的函数关系可用图象表示为（）ABCDEOFOOOOt/st/st/st/sS/cm2S/cm2S/cm2S/cm284161616168884448888ABCD【答案】 ：B4（2013 山东德州山东德州，11，3 分分）函数 y=x2+bx+c 与 y=x 的图象如图所示，有以上结论：b24c0b+c+1=03b+c+6=0当 1x3 时， x2+(b1)x+c0。 其中正确的个数

5、是A、1B、2C、3D、4【答案】B【解析】抛物线与 x 轴没有交点，b24c0，于是错误；当 x=1 时，抛物线与直线交点坐标为（1，1）满足函数 y=x2+bx+c，即 b+c+1=1，错误；（3，3）在函数 y=x2+bx+c 图象上，3b+c+9=3，即 3b+c+6=0，所以正确；观察图象可知，当 1xx2+bx+c，即 x2+(b1)x+c1, 过点 Q 作 QE直线 l ,垂足为 E，BPQ 为等腰直角三角形，PB=PQ，PEQ=PDB，EPQ=DBP，PEQBDP，QE=PD，PE=BD，1当 P 的坐标为（m，m-12）时，mx =m-12，m=0m=12x22m-12= m

6、1,x=12x=1与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件；2当 P 的坐标为（m，1- m2）时，xm=m-12m=29m=12x221- m2= m1,x=56x=1与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件；3当 P 的坐标为（m，2m2）时，mx =2m2m=92m=12x22(2m2) = m1,x=52x=1与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件；当 P 的坐标为（m，22m）时，x m = 2m2m=518m=12x22(22m) = m1x=76x=1与 x1 矛盾,此时点 Q 不满足题设条件；综上所述，不存在满足条件的点 Q。11.（2013 四川内江四川内江，27，1

7、2 分分）如图，在等边ABC 中，AB=3，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 DEBC，将ADE 沿 DE 翻折，与梯形 BCED 重叠的部分记作图形 L（1）求ABC 的面积；（2）设 AD=x，图形 L 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式；（3）已知图形 L 的顶点均在O 上，当图形 L 的面积最大时，求O 的面积考点：相似形综合题分析：（1）作 AHBC 于 H，根据勾股定理就可以求出 AH，由三角形的面积公式就可以求出其值；（2）如图 1，当 0 x1.5 时，由三角形的面积公式就可以表示出 y 与 x 之间的函数关系式，如图 2，当 1.5x3 时，重叠部分的面积为梯

8、形 DMNE 的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；（3） 如图 4， 根据 （2） 的结论可以求出 y 的最大值从而求出 x 的值， 作 FODE 于 O，连接 MO，ME，求得DME=90，就可以求出O 的直径，由圆的面积公式就可以求出其值解答：解： （1）如图 3，作 AHBC 于 H，AHB=90ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=3AHB=90，BH=BC=在 RtABC 中，由勾股定理，得AH=SABC=；（2）如图 1，当 0 x1.5 时，y=SADE作 AGDE 于 G，AGD=90，DAG=30，DG=x，AG=x，y=x2，a=0，开口向上，在对称轴的右侧 y

9、随 x 的增大而增大，x=1.5 时，y最大=，如图 2，当 1.5x3 时，作 MGDE 于 G，AD=x，BD=DM=3x，DG=（3x） ，MF=MN=2x3，MG=（3x） ，y=，=；（3） ，如图 4，y=；y=（x24x），y=（x2）2+，a=0，开口向下，x=2 时，y最大=，y 最大时，x=2，DE=2，BD=DM=1作 FODE 于 O，连接 MO，MEDO=OE=1，DM=DOMDO=60，MDO 是等边三角形，DMO=DOM=60，MO=DO=1MO=OE，MOE=120，OME=30，DME=90，DE 是直径，SO=12=点评：本题考查了等边三角形的面积公式的运用

10、，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键12. （2013 四川内江四川内江，28，12 分分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0） （x1x2）两点，与 y 轴交于点 C，x1，x2是方程 x2+4x5=0 的两根（1）若抛物线的顶点为 D，求 SABC：SACD的值；（2）若ADC=90，求二次函数的解析式考点：二次函数综合题分析：（1）首先解一元二次方程，求出点 A、点 B 的坐标，得到含有字母 a 的抛物线的

11、交点式；然后分别用含字母 a 的代数式表示出ABC 与ACD 的面积，最后得出结论；（2）在 RtACD 中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数 a，得出抛物线的解析式解答：解： （1）解方程 x2+4x5=0，得 x=5 或 x=1，由于 x1x2，则有 x1=5，x2=1，A（5，0） ，B（1，0） 抛物线的解析式为：y=a（x+5） （x1） （a0） ，对称轴为直线 x=2，顶点 D 的坐标为（2，9a） ，令 x=0，得 y=5a，C 点的坐标为（0，5a） 依题意画出图形，如右图所示，则 OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点 D 作 DEy 轴于点 E，则 D

12、E=2，OE=9a，CE=OEOC=4aSACD=S梯形ADEOSCDESAOC=（DE+OA）OEDECEOAOC=（2+5）9a24a55a=15a，而 SABC=ABOC=65a=15a，SABC：SACD=15a：15a=1；（2）如解答图所示，在 RtDCE 中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在 RtAOC 中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴 x=2 与 x 轴交于点 F，则 AF=3，在 RtADF 中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2ADC=90，ACD 为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即

13、（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，a0，a=，抛物线的解析式为：y=（x+5） （x1）=x2+x点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错注意第（1）问中求ACD 面积的方法13.（2013 四四川遂宁川遂宁，24，10 分）分）如图，在O 中，直径 ABCD，垂足为 E，点 M 在 OC上，AM 的延长线交O 于点 G，交过 C 的直线于 F，1=2，连结 CB 与 DG 交于点 N（1）求证：CF 是O 的切线；（2）求证：ACMDCN

14、；（3）若点 M 是 CO 的中点，O 的半径为 4，cosBOC=，求 BN 的长考点： 圆的综合题分析： （1）根据切线的判定定理得出1+BCO=90，即可得出答案；（2）利用已知得出3=2，4=D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；（3）根据已知得出 OE 的长，进而利用勾股定理得出 EC，AC，BC 的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出 NB 的长即可解答： （1）证明：BCO 中，BO=CO，B=BCO，在 RtBCE 中，2+B=90，又1=2，1+BCO=90，即FCO=90，CF 是O 的切线；（2）证明：AB 是O 直径，ACB=FCO=90，ACBBCO=

15、FCOBCO，即3=1，3=2，4=D，ACMDCN；（3）解：O 的半径为 4，即 AO=CO=BO=4，在 RtCOE 中，cosBOC=，OE=COcosBOC=4=1，由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：CE=，AC=2，BC=2，AB 是O 直径，ABCD，由垂径定理得：CD=2CE=2，ACMDCN，=，点 M 是 CO 的中点，CM=AO=4=2，CN=，BN=BCCN=2=点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出ACMDCN 是解题关键14.（2013 四四川遂宁川遂宁，25，12 分分）如图，抛物线 y=x2+b

16、x+c 与 x 轴交于点 A（2，0） ，交y 轴于点 B（0， ） 直线 y=kx过点 A 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点是 D（1）求抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=kx的解析式；（2）设点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与点 A、D 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线， 交直线 AD 于点 M， 作 DEy 轴于点 E 探究： 是否存在这样的点 P， 使四边形 PMEC是平行四边形？若存在请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作 PNAD 于点 N，设PMN 的周长为 l，点 P 的横坐标为 x，求l 与 x 的函数关系式

17、，并求出 l 的最大值考点： 二次函数综合题分析：（1）将 A，B 两点分别代入 y=x2+bx+c 进而求出解析式即可；（2）首先假设出 P，M 点的坐标，进而得出 PM 的长，将两函数联立得出 D 点坐标，进而得出 CE 的长，利用平行四边形的性质得出 PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出 DC 的长，进而根据PMNCDE，得出两三角形周长之比，求出 l 与 x 的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可解答：解： （1）y=x2+bx+c 经过点 A（2，0）和 B（0， ）由此得，解得抛物线的解析式是 y=x2x+，直线 y=kx经过点 A（2，0）2k=0，解得

18、：k=，直线的解析式是 y=x，（2）设 P 的坐标是（x，x2x+） ，则 M 的坐标是（x， x）PM=（x2x+）（x）=x2x+4，解方程得：，点 D 在第三象限，则点 D 的坐标是（8，7） ，由 y=x得点 C 的坐标是（0，） ，CE=（7）=6，由于 PMy 轴，要使四边形 PMEC 是平行四边形，必有 PM=CE，即x2x+=6解这个方程得：x1=2，x2=4，符合8x2，当 x=2 时，y=（2）2（2）+=3，当 x=4 时，y=（4）2（4）+=，因此，直线 AD 上方的抛物线上存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行四边形，点P 的坐标是（2，3）和（4， ） ；

19、（3）在 RtCDE 中，DE=8，CE=6由勾股定理得：DC=CDE 的周长是 24，PMy 轴，PMN=DCE，PNM=DEC，PMNCDE，=，即=，化简整理得：l 与 x 的函数关系式是：l=x2x+，l=x2x+=（x+3）2+15，0，l 有最大值，当 x=3 时，l 的最大值是 15点评： 此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出 PM=CE 进而得出等式是解题关键15 （2013 贵州省黔西南州，26，16 分）如图，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的

20、函数解析式（2）设点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 AO 为边的四边形 AODE 是平行四边形，求点 D 的坐标（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P，M，A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题专题： 综合题分析： （1）由于抛物线经过 A（2，0） ，B（3，3）及原点 O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点 D 的坐标；（3）分两种情况讨论，AMPBOC，PMABOC，根据相似三角形对应边

21、的比相等可以求出点 P 的坐标解答： 解： （1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，将点 A（2，0） ，B（3，3） ，O（0，0） ，代入可得：，解得：故函数解析式为：y=x2+2x（2）当 AO 为平行四边形的边时，DEAO，DE=AO，由 A（2，0）知：DE=AO=2，若 D 在对称轴直线 x=1 左侧，则 D 横坐标为3，代入抛物线解析式得 D1（3，3） ，若 D 在对称轴直线 x=1 右侧，则 D 横坐标为 1，代入抛物线解析式得 D2（1，3） 综上可得点 D 的坐标为： （3，3）或（1，3） （3）存在如图：B（3，3） ，C（1，1） ，根据勾股定理得

22、：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2，BOC 是直角三角形，假设存在点 P，使以 P，M，A 为顶点的 三角形与BOC 相似，设 P（x，y） ，由题意知 x0，y0，且 y=x2+2x，若AMPBOC，则=，即 x+2=3（x2+2x） ，得：x1=13，x2=2（舍去） 当 x=13时，y=59，即 P（13，59） ，若PMABOC，则=，即：x2+2x=3（x+2） ，得：x1=3，x2=2（舍去）当 x=3 时，y=15，即 P（3，15） 故符合条件的点 P 有两个，分别是 P（13，59）或（3，15） 点评： 本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定

23、系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点 D 和点 P 的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大16 （2013 贵州省六盘水，25，16 分）已知在 RtOAB 中，OAB=90，BOA=30，OA=，若以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内，将 RtOAB 沿 OB 折叠后，点 A 落在第一象限内的点 C 处（1）求经过点 O，C，A 三点的抛物线的解析式（2）求抛物线的对称轴与线段 OB 交点 D 的坐标（3）线段 OB 与抛物线交与点 E，点 P 为线段 OE 上一动点（点 P 不与点 O，点 E

24、 重合） ，过 P 点作 y 轴的平行线，交抛物线于点 M，问：在线段 OE 上是否存在这样的点 P，使得PD=CM？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）在 RtAOB 中，根据 AO 的长和BOA 的度数，可求得 OB 的长，根据折叠的性质即可得到 OA=OC， 且BOC=BOA=30， 过C 作 CDx 轴于 D， 即可根据COD的度数和 OC 的长求得 CD、OD 的值，从而求出点 C、A 的坐标，将 A、C、O 的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式（2）求出直线 BO 的解析式，进

25、而利用 x=求出 y 的值，即可得出 D 点坐标；（3）根据（1）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即 C 点） ，设直线 MP 与x 轴的交点为 N，且 PN=t，在 RtOPN 中，根据PON 的度数，易得 PN、ON 的长，即可得到点 P 的坐标，然后根据点 P 的横坐标和抛物线的解析式可求得 M 点的纵坐标，过 M 作 MFCD（即抛物线对称轴）于 F，过 P 作 PQCD 于 Q，若 PD=CM，那么 CF=QD，根据 C、M、P、D 四点纵坐标，易求得 CF、QD 的长，联立两式即可求出此时 t 的值，从而求得点 P 的坐标解答： 解： （1）过点 C 作 CHx 轴，垂足为

26、H；在 RtOAB 中，OAB=90，BOA=30，OA=，OB=4，AB=2；由折叠的性质知：COB=30，OC=AO=2，COH=60，OH=，CH=3；C 点坐标为（，3） O 点坐标为： （0，0） ，抛物线解析式为 y=ax2+bx（a0） ，图象经过 C（，3） 、A（2，0）两点，解得；此抛物线的函数关系式为：y=x2+2x（2）AO=2，AB=2，B 点坐标为： （2，2） ，设直线 BO 的解析式为：y=kx，则 2=2k，解得：k=，y=x，y=x2+2x 的对称轴为直线 x=，将两函数联立得出：y=1，抛物线的对称轴与线段 OB 交点 D 的坐标为： （，1） ；（3）存

27、在y=x2+2x 的顶点坐标为（，3） ，即为点 C，MPx 轴，垂足为 N，设 PN=t；BOA=30，ON=t，P（t，t） ；作 PQCD，垂足为 Q，MFCD，垂足为 F；把 x=t 代入 y=x2+2x，得 y=3t2+6t，M（t，3t2+6t） ，F（，3t2+6t） ，同理：Q（，t） ，D（，1） ；要使 PD=CM，只需 CF=QD，即 3（3t2+6t）=t1，解得 t=，t=1（舍） ，P 点坐标为（， ） ，存在满足条件的 P 点，使得 PD=CM，此时 P 点坐标为（， ） 点评： 此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定等重要知识点，表示出

28、 P 点坐标利用 CF=QD 求出是解题关键17（2013 河 南 省 ， 23， 11 分） 如图， 抛物线2yxbxc 与直线122yx交于,C D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为7(3,)2。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以, ,O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。（3）若存在点P，使45PCF，请直接写出相应的点P的坐标【解答】 （1）直线122yx经过点C,(0,2)C抛物线2yxbxc 经过点(0,2)C，D7(3,)2227273322cbbcc 抛物线的

29、解析式为2722yxx （2）点P的横坐标为m且在抛物线上271( ,2),( ,2)22P mmmF mmPFCO，当PFCO时，以, ,O C P F为顶点的四边形是平行四边形1当03m时，22712(2)322PFmmmmm 232mm，解得：121,2mm即当1m或2时，四边形OCPF是平行四边形2当3m时，2217(2)(2)322PFmmmmm 232mm，解得：12317317,22mm（舍去）即当13172m时，四边形OCFP是平行四边形（3）如图，当点P在CD上方且45PCF时，作,PMCD CNPF,则PMFCNF，212PMCNmMFFNm2PMCMCF555555222

30、PFFMCFCNCNm又23PFmm 2532mmm解得：112m ，20m （舍去）1 7( , )2 2P。同理可以求得：另外一点为23 13(,)6 18P18 （2013 黑 龙 江 省 哈 尔 滨 市 ，24）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为 AB(单位：米)。现以 AB 所在直线为 x 轴以抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为 O已知 AB=8 米。设抛物线解析式为 y=ax24(1)求 a 的值；(2)点 C(一 1，m)是抛物线上一点，点 C 关于原点 0 的对称点为点 D，连接 CD、BC、BD，求 ABCD 的面积考点：二次函数综合题。分析

31、： （1）首先得出 B 点的坐标，进而利用待定系数法求出 a 继而得二次函数解析式（2）首先得出 C 点的坐标，再由对称性得 D 点的坐标，由 SBCD= SBOD+ SBOC求出解答：(1)解AB=8由抛物线的对称性可知 0B=4B(4，0)0=16a4a=14(2)解：过点 C 作 CEAB 于 E，过点 D 作 DFAB 于 Fa=142144yx令 x=一 1m=14(一 1)24=154C(1，154)点 C 关于原点对称点为 DD(1，154)CE=DF=154SBCD= SBOD+ SBOC= =12OBDF+12OBCE=124154+124154=15BCD 的面积为 l5

32、平方米19 （2013 河 北 省 ，26，14 分）一透明的敞口正方体容器ABCD ABCD 装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（CBE = ，如图171所示） 探究 如图171，液面刚好过棱CD，并与棱BB 交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图 172 所示解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是_，BQ的长是_dm；（2）求液体的体积； （参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ高AB）（3）求的度数.(注：sin49cos4134，tan3734)拓展 在图 171 的基础上，以棱 AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图 173

33、或图 174 是其正面示意图.若液面与棱 CC 或 CB 交于点 P，设 PC = x，BQ = y.分别就图 173 和图 174 求 y 与 x 的函数关系式，并写出相应的的范围.温馨提示：下页还有题！延伸 在图 174 的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计） ，得到图 175，隔板高 NM = 1 dm，BM = CM，NMBC.继续向右缓慢旋转，当 = 60时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到 4 dm3.解析：探究探究 （1）CQBE3 2 分（2）（dm3）4 分（3）在 RtBCQ 中，tanBCQ=BCQ=376 分拓展拓展 当容器向左

34、旋转时，如图 3,0377 分液体体积不变， 9 分当容器向右旋转时，如图 4，同理得，10 分当液面恰好到达容器口沿，即点 Q 与点 B重合时，如图 5.由 BB=4，且，得=3由 tan=，得=37，=53此时 375312 分【注：本问的范围中，“”为“”不影响得分】延伸延伸 当=60时，如图 6 所示，设 FNEB，EB过点 G 作 GH于点 H在 Rt中，GH=MB=2，=30，=MG=BH=4（dm3）溢出液体可以达到 4dm3.14 分20 （2013 黑 龙 江 省 哈 尔 滨 市 ，27）如图，在平面直角坐标系中，点 0 为坐标原点，A 点的坐标为(3，0)，以 0A 为边作

35、等边三角形 OAB，点 B 在第一象限，过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C 动点 P 从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动，动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动，P,Q 两点同时出发，速度均为 1 个单位秒。设运动时间为 t 秒(1)求线段 BC 的长；(2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E，过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。设线段 EF的长为 m，求 m 与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围：(3)在(2)的条件下，将BEF 绕点 B 逆时针旋转得到BE1F1,使点 E 的对应点 E1落在线段 AB 上，点 F 的对应点是 F

36、1，E1F1交 x 轴于点 G，连接 PF、QG，当 t 为何值时，2BQPF=33QG?考点： 等边三角形判定与性质、 相似三角形判定与性质、 直角三角形的判定、 三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程分析： （1）由AOB 为等边三角形得ACB=OBC=300，由此 CO=OB=AB=OA=3， 在 RTABC 中， AC 为 6 ， 从而 BC=3 3（2） 过点 Q 作 QN0B交 x 轴于点 N，先证AQN 为等边三角形，从而 NQ=NA=AQ=3t，NON=3 (3t)=tPN=t+t=2t，再由POEPNQ 后 对应边成比例计算得3122OEt再由 EF=BE 易得出m 与

37、t 之间的函数关系式(3)先证AEG 为等边三角形，再证QGA=900通过两边成比例夹角相等得FCPBCA 再用含 t 的式子表示 BQ、 、 PF、 QG 通过解方程求出解答：(1)解：如图 lAOB 为等边三角形BAC=AOB=60。BCAB ABC=900ACB=300OBC=300ACB=OBCCO=OB=AB=OA=3AC=6BC=32AC=3 3(2)解：如图 l 过点 Q 作 QN0B 交 x 轴于点 NQNA=BOA=600=QANQN=QAAQN 为等边三角形NQ=NA=AQ=3tNON=3 (3t)=tPN=t+t=2tOEQNPOEPNQOEPOQNPN132OEt312

38、2OEtEFx 轴BFE=BCO=FBE=300EF=BEm=BE=OBOE1322t(0t22613所以抛物线的对称轴与C 相外离第（2）题图第（3）题图(3)分别过点 C 和 A 作1CPAC 于点 C，交抛物线于点 P，作CQAC 于点 C，交抛物线于点 Q.由于 OC=OA=5，ACO=CMP=45，MC=CP设 OM=t，则 PM=CM=5t，P 点的坐标为（t，5t） ，于是2565ttt 解得 t=2，t=5(舍去)P 点的坐标为（2，3）同理可求得 Q（7，12）综上所述 P 的坐标为（2，3）或（7，12）【难点突破】本题的第（3）的难点之一是直角三角形的不确定性，只要分两种

39、情形来讨论即可，即当以 C 为直角顶点和以 A 为直角顶点不探究；难点之二就是利用三等角的基本图形，这样的基本图形中有全等或相似。38(2013 四川成都，28，12 分)在平面直角坐标系中，已知抛物线 y12x2bxc(b，c 为常数)的顶点为 P，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0，1)，C 的坐标为(4，3)，直角顶点 B 在第四象限(1)如图，若该抛物线过 A，B 两点，求抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点 Qi)若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以 M，P，Q 三点为顶

40、点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标；ii)取 BC 的中点 N，连接 NP，BQ试探究PQNPBQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由xxOABNC第 28 题图xxOABNC备用图【思路分析】(1)先求出点 B 的坐标，然后把 A，B 的坐标代入抛物线的解析式，从而解方程即可；(2)解方程组求出点 Q 的坐标，计算出 PQ22，确定直线下方以 PQ 为边的等腰直角三角形的第三个顶点 M，利用平移的观点求出所有符合题意的点 M 的坐标(3)利用平移和轴对称等知识求出 NPBQ 的最小值，从而求出PQNPBQ的最大值【解】解：(1)依题意可知 B

41、 的坐标是(4，1)把 A(0，1)和 B(4，1)的坐标代入抛物线 y12x2bxc，求得2,1.bc ，抛物线的函数表达式为 y12x22x1(2)i)直线 AC 的解析式为 yx1于是可设点 P(m，m1)，且可设平移后抛物线的解析式为 y12(xm)2m1即 y12x2mx12m2m1解方程组21,1()1.2yxyxmm 得12,1;xmym222,3.xmym点 Q 的坐标为(m2，m3)由勾股定理得 PQ22(2)(1)(3)mmmm22若 PMQM，且PMQ90，则 PM2(x1)(12x22x1)2即 x22x40解得 x115，x215P1(15，5)，P2(15，5)PM

42、2，将点 P 向下铅直平移 2 个单位即得点 M 的坐标，M1(15，52)，M2(15，52)；若 PQMQ，且PMQ45，则 PM4(x1)(12x22x1)4即 x22x80解得 x14，x22P1(4，3)，P2(2，3)PM4，将点 P 向下铅直平移 4 个单位即得点 M 的坐标，M3(4，1)，M2(2，7)；若 PQPM，且PMQ45，此时求得的结果与情形相同综上所述，点 M 的坐标为(15，52)或(15，52)或(4，1)或(2，7)ii)如图 7将点 N(4，1)沿射线 CA 平移 22个单位得点 N1(2，1)，易知点 N1(关于直线 AC 对称的点 N2的坐标为(0，1

43、)，连结 BN2，BN2与直线 AC 的交点即是点 Q，将点 Q 沿射线 AC 平移 22个单位得到点 P，连结 PN此时 NPBQ 的值最小最小值BN2222425PQNPBQ有最大值，最大值2 22 5105xyNBPQN1N211CA图 7【方法指导】第(2)问要用分类讨论的思想和平移变换的方法第(3)问是动点问题，最值可通过平移变换和轴对称变换求出39 （2013 浙江台州，23，12 分）如图 1，已知直线 l：2xy与 y 轴交于点 A，抛物线kxy2) 1(经过点 A，其顶点为 B，另一抛物线hhxy2)(2（h1）的顶点为 D，两抛物线相交于点 C，（1）求点 B 的坐标，并说

44、明点 D 在直线 l 上的理由；（2）设交点 C 的横坐标为 m交点 C 的纵坐标可以表示为：或，由此请进一步探究 m 关于 h 的函数关系式；如图 2，若ACD=90，求 m 的值MNECDABD0 xyABC0 xy第 23 题【思路分析】 （1） 由2xy与 y 轴交于点 A， 易得 A （0,2） ， 又由抛物线kxy2) 1(经过点 A（0,2） ，可以将 A 点横、纵坐标代入二次函数解析式，可求出 k 的值，从而确定顶点 B 的坐标；由于 D 点是hhxy2)(2的顶点，易得 D（h，2h） ，如要判断点 D在直线 l 上，需要将 D 点的坐标，代入直线解析式中验证。（2）1 由于

45、点 C 是两抛物线的交点，可将 C 点的横坐标 m 分别代入两个抛物线解析式，从而求出两种不同表示的 C 点纵坐标；欲探究 m 关于 h 的函数关系式，需找到 m 和 h 的等量关系，由于两种不同表示方法表示的都是 C 点纵坐标，二者相等列等式，再变形为函数关系式。2有ACD=90这一特殊条件，再作 x 轴、y 轴的垂线，从而构造相似三角形，利用相似三角形的对应边的比相等，列出关于 m 的方程，从而求出 m 的值。【解】 （1）由题意可知 A（0，2） ，又因为抛物线kxy2) 1(经过点 A，所以有k2) 10(2，解得1k，所以抛物线解析式为1) 1(2 xy，从而得出点 B 的坐标为（1

46、，1） ；因为点 D 是抛物线hhxy2)(2（h1）的顶点，所以点 D 的坐标为（h，2h） ，将（h，2h）代入2xy中，左右两边相等，所以点 D 在直线 l 上（2）交点 C 的纵坐标可以表示为：1) 1(2m或hhm2)(2由题意知：1) 1(2m=hhm2)(2，整理得：02)21 (2mhmh，解得，mh2或1h，h12hm 过点 C 作 CMy 轴， 垂足为点 M， 过点 D 作 DEy 轴， 垂足为点 E， 过点 C 作 CNDE，垂足为点 N，则四边形 CMEN 是矩形，MCN=90，又ACD=90MCA=DCNACMDCNDNAMCNCM由题意可知 CM=m，AM=mm22

47、，CN=hmm 22，DN=mh从而有mhmmhmmm2222，由得mh2，0122 mm解得，21m，又点 C 在第一象限内，21m【方法指导】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识点，本题对学生的综合解题能力要求偏高。对于二次函数， 我们需要了解顶点式和一般式两种常见形式， 能够熟练的说出它的开口方向、 顶点、对称轴等常用知识点。40 （2013 四川南充四川南充，22，8 分分）如图，二次函数332bbxxy的图象与x轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，交y轴于点 C，且经过点（2b，1522 bb） （1

48、）求这条抛物线的解析式；（2）M 过 A，B，C 三点，交y轴于另一点 D求点 M 的坐标；（3）连接 AM，DM，将AMD 绕点 M 顺时针旋转，两边 MA，MD 与x轴，y轴分别交于点 E，F若为DMF 等腰三角形，求点 E 的坐标【答案】 ：解： （1）把点（2b，1522 bb）代入解析式，得33)2()2(15222bbbbbb解得2b抛物线解析式为322xxy（2）由0322 xx，得3x或1xA(3，0)，B(1，0)，C(0，3)抛物线的对称轴是直线1x圆心 M 在直线1x上，设 M(1，n)，作 MGx轴于 G，MHy轴于 H，连接 MC，MBMH=1，BG=2MB=MC，2

49、222CHMHMGBG22)3(14nn解得1n，点 M(1，1)（3）如图，由 M(1，1)，得 MG=MHMA=MD，RtAMGRtDMH, 1=2由旋转可知3=4AMEDMF若DMF 为等腰三角形，则AME 为等腰三角形设 E(x，0)AME 为等腰三角形，分三种情况：AE=AM=5，则35 x, E(35 ，0)M 在 AB 的垂直平分线上，MA=ME=MB，E(1，0)点 E 在 AM 的垂直平分线上，则 AE=MEAE=3x，2222)1(1xEGMGME22)1(1)3(xx得47xE(47，0)所求点 E 的坐标为(35 ，0)，(1，0)，(47，0)【解析】 （1）利用待定

50、系数法求二次函数解析式；（2）先让二次函数 y=0，求出 A、B 两点坐标，又因为M 过 A，B 两点，所以 MA=MB,则 M 在 AB 的垂直平分线上，则 M 在抛物线的对称轴上，因此确定了 M 点的横坐标. 设M(1，n)，作 MGx轴于 G，MHy轴于 H，连接 MC，MB，又 C 也在M 上，所以MC=MB，再利用勾股定理列方程，即可求出 M 点纵坐标；（3）根据（2）知 MG=MH，又 MA=MD，利用 HL 可得 RtAMGRtDMH，再利用全等三角形对应角相等即旋转的性质可得AMEDMF，进而将DMF 转化为AME，所以当DMF 为等腰三角形时，AME 也必为等腰三角形，这样问

51、题就好解决了，再利用分类讨论思想分三种情况解决即可.【方法指导】 本题主要考查了利用待定系数法确定二次函数解析式， 线段垂直平分线的性质及其逆定理的运用，勾股定理的运用，圆当中的相关概念，转化思想，分类讨论思想的运用等知识点，综合性强，难度大.(2)中 M 点的横坐标的确定及辅助线的作法是解决此问题的关键， （3）中将DMF 转化为AME 尤为重要，是问题的突破口.41 （2013 江西南昌，22，8 分）如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P（4，2）是O 外一点，连接 AP，直线 PB 与O 相切于点 B，交x 轴于点 C（1）证明 PA

52、是O 的切线；（2）求点 B 的坐标；（3）求直线 AB 的解析式【思路分析【思路分析】 （1） 点 A 在圆上，要证 PA 是圆的切线，只要证 PAOA（OAP=90）即可，由 A、P 两点纵坐标相等可得 APx 轴，所以有OAP+AOC=180得OAP=90； （2） 要求点 B 的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点 B 到 x 轴、y 轴的距离，自然想到构造RtOBD，由 PB 又是O 的切线，得 RtOAPOBP，从而得OPC 为等腰三角形，在RtPCE 中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于 CE 的方程可求出 CE、OC 的长，OBC的三边的长知道了，就可求出高 B

53、D,再求 OD 即可求得点 B 的坐标； （3）已知点 A、点 B 的坐标用待定系数法可求出直线 AB 的解析式解解（1）证明：依题意可知，A（0，2）A（0，2） ，P（4，2） ，APx 轴，OAP=90，且点 A 在O 上，PA 是O 的切线；（2）解法一：连接 OP，OB，作 PEx 轴于点 E，BDx 轴于点 D，PB 切O 于点 B，OBP=90，即OBP=PEC又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC（或证 RtOAPOBP，再得到 OC=PC 也可）设 OC=PC=x，则有 OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在 RtPCE 中，PC2=CE2+PE2，x2=(

54、4x)2+22，解得 x=25，BC=CE=425=23，21OBBC=21OCBD，即21223=2125BD，BD=56OD=22BDOB =25364=58，由点 B 在第四象限可知 B（58，56） ；解法二：连接 OP，OB，作 PEx 轴于点 E，BDy 轴于点 D，PB 切O 于点 B，OBP=90即OBP=PEC又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC（或证 RtOAPOBP，再得到 OC=PC 也可）设 OC=PC=x，则有 OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在 RtPCE 中，PC2=CE2PE2,x2=(4x)2+22，解得 x=25，BC=CE=425

55、=23，BDx 轴，COB=OBD，又OBC=BDO=90，OBCBDO， BDOB=ODCB=BOOC，即BD2=BD23=225，BD=58，OD=56，由点 B 在第四象限可知 B（58，56） ；（3）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，由 A（0，2） ，B（58，56） ，可得5658, 2bkb；解得, 2, 2kb直线 AB 的解析式为 y=2x+2【方法指导方法指导】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理， 若是相似则用比例式求， 要掌握一些求线段长的常用思路和方法.42、 （2013 深圳深圳，22，9 分分）如图

56、6，在直角坐标系中，过点(0,4)A的圆的圆心坐标为C（2，0） ，点B为第一象限圆弧上一点， 且BCAC，抛物线212yxbxc 过B、C两点，与x轴的另一交点为D。（1）点B的坐标为；抛物线的解析式为；（2）如图 6，求证：BDAC；（3） 如图 6， 点Q为线段BC上一点， 且5AQ ， 直线AQ交C于点P,试求AP的长【答案【答案】 （1）(6,2)B，219722yxx （2）如图 6，过点B作BMx轴于点M令2197022xx，解得122,7xx，则(7,0)D由于(6,2)B，由（1）知AOCCMB 5,2,1,4CDBMMDCM则5BD ，2 5BC 于是22220,5,25B

57、CBDCD222BDCDBC，因而CBD为直角三角形，且90CBDBCBD又BCACBDAC（3）连接AB、BP图 6M图 6图 6图 6图 6M图 61452APBACBACBC45CBA，则APBCBA在ABQ和APB中，PABBAQ ABQAPB故ABAQAPAB即2ABAQAP由于22240ABAC405 AP 则8AP 【解析【解析】 （1）求点B的坐标，过点B作BMx轴于点M，易证AOCCMB ，则4,2CMOABMOC， 即可求出(6,2)B。 又C（2， 0） ， 将点,B C的坐标代入212yxbxc ，可得1862220bcbc ，则927bc 故219722yxx 为所求

58、（2）要证明BDAC，只需证明BCBD，即只需证明90CBD由于易求,BC BD CD的长，根据勾股定理的逆定理，可轻松判定CBD为直角三角形，且90CBD，问题得解。（3）考虑到AQ与AP的位置关系，可构造含有这两边且有一条公共边的两个三角形，据此可连接AB、BP，于是易证ABQAPB，有2ABAQAP。由于ACB是等腰三角形，因而易求AB，则可顺利求出AP的长。【方法指导【方法指导】本题主要考查图形与坐标、三角形全等的判定及性质、平行线的判定、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定及性质，圆周角定理及等腰直角三角形的性质等知识点。考查时仍以常见的最基本的相似图形为依托，相似三角的判定也是运用

59、相似判定中最简单的一个定理，计算量不大，突出体现了“依纲靠本”、“多思少算”的出题理念。43. (2013 山东烟台山东烟台，26,12 分分)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形二次函数cbxax2y的图像经过点 AB，x 轴分别交于点 E,F 且点 E 的坐标为（0 ,32） ，以 OC 为直径作半圆，圆心为 D.（1）求二次函数的解析式；（2）求证，直线 BE 是D 的切线；（3）若直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P，M 是线段 CB 上的一个动点（点 M 与点B，C 不重合） ，过点 M 作 MNBE 交 x 轴于点 N，连结 PMPN设 CM 的长为 t，PMN的面积为 S求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围.S 是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由【思路分析】 （1）根据题中所给条件可以判定出 A 点的坐标为（0,2） ，B（2,2）以及点 E（0 ,32） ，采用待定系数法，列出方程组，即可求出二次函数解析式.（2）过点 D 作 DGBE 于点 G，分别求出 ED、EC、BC、BE 的长度，然后通过证明EGDECB 得出 DG