高中数学专题讲座数列

1、高中数学专题讲座 数列数列，一直是安徽省高考中的重点内容之一。自实行自主命题以来， 我省数学文理科试卷均考“一小一大”两个题目。 “一小”即一道选择题或填空题，“一大”即一道解答题。分值为18分左右。在命题思想上，体现“能力立意”的创新精神，在命题形式上，体现“稳 中求变，稳中求进”。一.考点一：等差数列、等比数列1.重点知识归纳等差数列(AP.)等比数列(GP.)定义an 1 an d (d 为常数，n N )an 1 / an q ( q 为常数，q 0 , an 0 ,n N )通项公式ana1 (n 1)dn 1anaq中项公式a,A,b成AP. A a b A2A a bc G b

2、a,G,b成 GP.a G_ 2_G ab (ab 0)an是 AP.2an an 1 an 1(n 2, n N )2bn是 GP.bnbnbn 1(bn0, n 2, n N )前n项和Sn"a、an)na1 1n(n 1)d当 q 1 时，sn " qn)物 anq1 q1 q当 q 1 时，Sn na1性质(1)单调性：当d 0时，an递增，当d 0时，an为常数歹U,当d 0时，%递减 an am (n m) d(3)若 m n st (m,n,s,t N )则 am an as at(1 )单调性：当a1 0,q 1或a1 0,0 q 1 时，an递增；当a1

3、0,q 1 或 a1 0,0 q 1 时，an递减；当q 1 ,烝为常数列；当q 0,an 为摆动数列(2) an amqn m(3)若 m n s t (m,n,s,t N )则 am an as at5)P若an是等差数列ak,ak m, ak 2m,也是等差数列（k, m N）若an , bn是 AP ,则qbn也是AP。（p, q为常数）（6）若Sn是等差数列an的前n项（4 ）若an是等比数列ak ,ak m, ak 2m,也是等比数列，一1(k,m N )； an , , an| an |也是等比数列(5)若2门 , bn均为是 GP,贝Umanbn与man也是GP。（ m 0为常

4、数） bn（6）若Sn是等比数列an的前n项和，且Sn 0,则 Sm,S2m S成等比数列。和，则 Sm,S2m Sm, S3m $2m,，也成等差数列。2.思想方法总结anpn q (p, q（1）函数思想。等差数列的通项公式形如：等差数列的通项公式形如:2为常数），当p 0时，an是n的一次函数。等差数列的前n项和公式形如：Sn An Bn,（A、B为常数），当A 0时，Sn是n的二次函数。等比数列的前 n项和与指数函数有关。在解决有关最值或取值范围等问题时，可考虑构造函数。（2）基本量与方程思想。等差数列的基本量是首项与公差；等比数列的基本量是首项与公比。在通项公式与求和公式中，涉及五个

5、量a1、an、Sn、n、d （或q）,知道其中三个，可求剩余二个，这就是“知三求二”的方程思想。（3）整体思维。当已知条件较少时，求解问题可使用等差数列与等比数列的性质，或者将a1 与d （或a1与q）的关系视为一个整体代入求解。（4）转化与化归思想。非等差数列与等比数列问题可转化为等差（比）数列。注意：（1）证明一个数列是等差（比）数列，只能用定义或广义的中项公式。（2）使用等比数列前n项求和公式时，要注意 q 1, q 1两种情形。3.典型例题展示例1（10全国）如果等差数列an中，a3a4a512,那么aa?.a7（）A. 14B. 21C. 28D. 35例2例3例4A. 4B. 5(

6、14皖)数列an是等差数列,(12辽宁)已知等比数列anC.若 a11 , a3 3 一2为递增数列，且a5D.a5 5构成公比为aio, 2(anan 2 )q的等比数歹U,5an i,则数列(12皖)公比为2等比数列an的各项都是正数，且a3ali 16JUa5()an 1的通项公式an例5(13新课标全国2)等差数列an的前n项和为Sn,已知S0,S1525,则nSn的最小值为例6设数列an是首项为的等比数-是等差数列，则12a a22 a2a32 a20121)的值为 a2013)A.2013B.2014C .3018D.3019二考点二.数列的通项与求和1.求数列通项的方法(1)已知

7、数列的前n项，求数列的一个通项公式，用观察归纳法。如求数列11,102,1003,10004,，的一个通项公式；求数列 8,88,888,8888,，的一个通项公(2)对等差数列，等比数列，用公式求通项公式。(3)已知递推公式求通项公式，可采取化为等差数列，等比数列的方法求。主要掌握以下几种模式。递推公式形如an 1 an f (n)的数列an,用累加法求an ;递推公式形如an 1an f (n)的数列烝,用累乘法求an ；递推公式形如an 1pan q(p 1, p 0,q 0)的数列an,可将递推公式化为an 1p(an -q-), (an -q-)是等比数列。1 p1 p1例如：已知数

8、列an中，a1 - , an 4an 1 1(n 2),则 an 对形如an 1AanBan A(A0,B 10)的递推公式，可化为1an-,是等差数Aan列。对形如an 1Aa 一一 .-(A 0,B 0,C A),可化为Ban C1 C B an ,再构造形如an 1A Aan 1A an，一一 1)的等比数列一 。an2.数列求和方法公式法：对等差数列或等比数列。倒序相加：当数列an满足ak an 一4使用。分组求和：通项公式形如% bj ,数列an、bn是等差或等比数列。错位相减法：通项公式形如an bn,数列an、 bn中一个是等差数列，一个是等比数列裂项相消法：将通项公式裂成两项(

9、或几项)，求和时能相互抵消。如：an-(1 n(n k) k n；ann1k .1nk亦)；an11(- (2n 1)(2n 1)2 2n! (n1)! n!n并项求和：通项公式形如an ( 1)f(n)型。例如:Sn 1002 992 982 97222.21(100 99)(98 97)(21) 5050公式是an =3 .已知an与Sn的关系，求an的方法。S n 1(2)已知an与依据：an。包括三种类型：(1)已知Sn f (n),求an ；n S S 1n 2nnSn的关系，求an； (3)已知Sn的递推式，求an。4 .归纳、 猜想、证明的方法求通项与和。(理科)5 .典例展示(

10、A)例1 (08江西)在数列an中，a1 2,an1 an lnB. 2 n 1 ln n C. 2nln nD.1 n In n例2 (1) (13全国新课标)若数列an的前n项和为2Sn= 3 an1-,则数列 an的通项 33Sn (n 1),则 a6()(2)(11四川)数列%的前n项和为Sn,若4 1, an 14455.A. 3 4B. 3 41C. 4 D. 41例3 (12全国)已知数列卬中，a, 1,前n项和& -*。(1)求 a2, a3;(2)求an的通项公式。例 4 (14 加又)数列 an 满足 a1 1,nan 1 (n 1)an n(n 1),n N .(

11、1)证明：数列 an是等差数列； n(2)设bn 3n廊,求数列bn的前n项和Sn.bn例5 (14浙江理)已知数列an和bn满足a1a2an22n N .若an为等比数列，且a1 2, b3 6 b2.(1)求 an 与 bn；一一 11(2)设cn n N ，记数列cn的刖n项和为Sn.求Sn ； anbn2 2a例6已知数列an的首项a1 一，且an1 -(n N )3 an 1(1)求 an ；(2)求数列 - 的前n项和Sn. an三 考点三、数列的综合应用1 .数列与三角函数的综合。11年安徽高考理科第18题(文21题)，12年安徽高考文 科第21题等。例1 (14陕西) ABC的

12、内角A, B, C所对的边分别为a, b, C.(1)若 a, b, c成等差数列，证明： sin A sin C 2sin A C ；(2)若a, b, c成等比数列，求cosB的最小值.【解析】 证明：(1)Qa,b, c成等差数列a c 2b由正弦定理得sin A sin C 2sin BQsin B sin (A C) sin(A C)sin A sin C 2sin A C(2) Q a, b, c成等比数列b2 2ac22、2由余弦定理得cos B a一c 2ac22a c ac2ac2ac ac2ac（当且仅当a c时等号成立）rr _1即 cosB 一21所以cosB的最小值为

13、122.数列与函数、导数。如 13年安徽文科高考第19题，理科第20题。例2 （14四川）设等差数列an的公差为d，点（an,bn）在函数f（x） 2x的图象上（1）若现 2,点（%，4）在函数f（x）的图象上，求数列%的前n项和S;1若a 1,函数f（x）的图象在点（a2,b2）处的切线在x轴上的截距为2 ，求ln 2数列电的前n项和Tn。 bn【解析】（1）点（an,bn）在函数f（x） 2x的图象上，所以bna2 n,又等差数列%的公差为d所以b1 1 bn2an 12an2an 1 a n2d因为点（,4）在函数f（x）的图象上，所以4b72db8 4 d 2b7又 a12,所以 Sn

14、 na1 n(n-1d2n n2 n n2 3n2(2)由 f(x)2xf (x) 2xln2函数f(x)的图象在点 信2力2)处的切线方程为y b2 (2a2ln2)(x a2) 111所以切线在x轴上的截距为a2 ,，从而a2 2 ,，故a22ln 2ln 2 In 2从而ani2n宝学123n2 22232n111122223241T123L n2 n2223242n 11 n ,1 n ,- 1 - 12n 2n 12n2n 1n 22n 1故Tn23.数列与不等式、函数。如安徽高考12年理科21题,14年理科21题。例3 (13年广东)设数列an的前n项和为Sn.已知d 2Sn1 2

15、a1 1, an 1n nn3(i )求a2的值；(n )求数列an的通项公式;、一，1117(m)证明：对一切正整数n ,有''L 7aa2an4【解析】(I )依题意，2s1,2 ca2 1 一,又 §a1331,所以a24;1322(n)当 n 2 时，2Sn nan 1 - n n - n 33-/1,32Sn 1 n 1 ann 13两式相减得2an nan 1n 1 an3n23n 12n 1整理得n 1 an nan 1 n n 1 ,即n 1an 1,又也电1n 21故数列an是首项为 曳1，公差为1的等差数列 n1所以电 1 n 11n(出)当n 1

16、时，1 1 al一.2n ,所以ann .7.4112 时，,a1a2, c ,11当 n 3 时，一2- ann111,此时n 1 naia213214211111L42334 一，1综上，对一切正整数n,有，an4.数列与解析几何。如10年安徽高考文科 21题。例4若Sn和Tn分别表示数列an及bn前n项之和，对任意正整数n, an=2(n+1),Tn- 3Sn=4n.(1)求数列bn的通项公式；(2)在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为bn,且与曲线y=X2有且仅有一个交点，与 y轴1父于点 Dn,记 dn=一|Dn+1Dn| (2n+7),求 dn；3【解析】(1)an=2(n+1), . an是等差数列，a1= 4, Sn= "曳 = n23n,Tn=3Sn+4n= 3n25n,当 n=1 时，b1=T1 = 8;当 n>2 时，bn=Tn-Tn-1= - 3n2- 5n- 1 3(n*1) 5(n1) =6n 2,而 b1 符合此式，故 bn= - 6n 2 (n N ).(2)设ln的方程为2y xy=bnx+m,由y bnx消去y得：x2 bnxm=0, 二直线ln与曲线 m只有一个交点，A一 2b2b2=0,即 bn +4 m =0, m= 二，贝U Dn 0, 一441dn=- |Dn+1Dn| 31 (2n+7)=3b214(2n+7