高数点积叉积（课堂PPT）

1、目录 上页 下页 返回 结束 .11. 向量的两种表示方式（直观，坐标）2. 向量的两个要素（长度、方向）的表示3. 向量的线性运算（直观，坐标）复习复习 向量的表示及线性运算向量的表示及线性运算 -模与方向余弦4. 向量的平行的充要条件（直观，坐标）5. 向量在坐标轴上的投影及投影向量6. 向量的单位化目录 上页 下页 返回 结束 .2解解 因1. 设求向量在 x 轴上的投影、在 y 轴上的分向量13xa 在 y 轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为358,mijk247,nijk54pijk 43amnp 7ya jj及与a平行的单位向量.43amnp 4(358 )ijk3(247 )i

2、jk54ijk13715ijk与 平行的单位向量为a01371513715,.443443443443aijkaa .3解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .4.32,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 目录 上页 下页 返回 结束 .5*三、向量的混合积三、向量的混合积 第三节

3、一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积 数量积 向量积 *混合积 第八八章 目录 上页 下页 返回 结束 .61M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,sba目录 上页 下页 返回 结束 .7记作故abj rPb2. 性质性质为两个非零向量, 则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(b

4、a0,0ba,0 时当a上的投影为在 ab,0,时当同理bbacosba目录 上页 下页 返回 结束 .83. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(bababcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac目录 上页 下页 返回 结束 .9例例1. 证明三角形余弦定理cos2222abbac证证: 如图 . 则cos2222abbac,aBC,bACcBAABCa

5、bcbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,设目录 上页 下页 返回 结束 .104. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式 , 得 bacosba目录 上页 下页 返回 结束 .11)(MB, )(MA BM例例2. 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )

6、1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbba ba目录 上页 下页 返回 结束 .12为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解解:单位时间内流过的体积:APAA的夹角为且vvncosvcosvnv nn为单位向量Av目录 上页 下页 返回 结束 .13二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,

7、有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 目录 上页 下页 返回 结束 .141. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右图三角形面积abba21S目录 上页 下页 返回 结束 .152. 性质性质为非零向量, 则，0sin0或即aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运

8、算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明:sinabba目录 上页 下页 返回 结束 .16)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk目录 上页 下页 返回 结束 .17向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法k

9、jixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx目录 上页 下页 返回 结束 .18例例4. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 . 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三目录 上页 下页 返回 结束 .19*三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为

10、棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacba目录 上页 下页 返回 结束 .20zyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc目录 上页 下页 返回 结束 .213. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮

11、换对称性 :(可用三阶行列式推出)cbacba,ab cab cabcabc目录 上页 下页 返回 结束 .22例例5. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、),(zyxM四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.解解: A、B、 C、M 四点共面0ABCM1x2y0z111302展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程AM、AB、AC 三向量共面ACABAM0432zyx0即目录 上页 下页 返回 结束 .23内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(,

12、 ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba目录 上页 下页 返回 结束 .24混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba目录 上页 下页 返回 结束 .25思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,ba

13、ba及BabcAC目录 上页 下页 返回 结束 .26证证: 由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因ABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACBBabcAC目录 上页 下页 返回 结束 .27P289 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7，8，9第三节 作业作业目录 上页 下页 返回 结束 .2822343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目录 上页 下页 返回 结束

14、.2922343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目录 上页 下页 返回 结束 .3022343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目录 上页 下页 返回 结束 .3122343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaab

15、a2bb22cos2bbaa17ba目录 上页 下页 返回 结束 .3222200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目录 上页 下页 返回 结束 .3322200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解

16、：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目录 上页 下页 返回 结束 .3422200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目录 上页 下页 返回 结束 .3522200)2(211ABCD在顶点

17、为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目录 上页 下页 返回 结束 .3622200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有目录 上页 下页 返回 结束 .3722343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba目录 上页 下页 返回 结束 .3822343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：