换元放缩思路综合分析

1、换元放缩思路综合分析    摘要：本文将换元与放缩两种思路结合应用求解相关问题，在分类认识的基础上，通过与常规思路的对比，提炼出适合学生认识这一类问题的基本方法，并给出了详尽的讨论与基本的应对模式。 关健词：换元放缩分类对比应对策略         换元与放缩是高中数学中两个重要的解题方法与技巧，融含着深刻的逻辑推理与数学转化思想。理解这两种方法的本质与强化这两种思维的应用，能够使知识低层次不断分化，高层次重新组合，形成科学高效的思维，促使创新能力的发展。

2、换元与放缩两种思路的结合应用， 更会使许多问题的求解变得简捷高效，更加有利于培养思维的灵活性、发散性、独创性，形成深刻的洞察力。         本文集锦了一些两种方法结合应用的题目，在分类认识的基础上，通过与常规思路的对比，以达到启迪思维的妙用。         一、换元放缩在含参方程中的应用         例1、

3、若关于x的方程16x+（4+a）·4x+4=0有解，则实数a取值范围是（）。          A、（-，-4）B、（-，48-4）         C、（-8，-4D、（-，-8          解法一：常规思路。       

4、;  令t=4x（t0），原方程可化为t2+（4+a）t+4=0。         由题意知此方程需要有正根，所以0且两根之和为正数，则可得不等式组：         （a+4）2-160         -（a+4）>0       

5、;  从而易得：a-8。         解法二：换元放缩思路。         令t=4x（t0），原方程可化为t2+（4+a）t+4=0。         移项并两边同除以t（t>0），则可知：         

6、;（4+a）=-t-        -4         从而易得：a-8。         点评：第一种方法是换元与一元二次根的判别式结合求解，是换元转换后首先想到的基本思路。第二种换元转换后采用方程形式的等效转换，得到了有效形式后采用放缩得到了结果。显然第二种方法求解过程简捷高效，有利于思维深层次的训练。换元后将复杂方程转换为一元二次

7、方程是解题的基础，应用换元自变量的定义域使方程转化为可放缩的形式是解题的关键，利用不等式的性质放缩后得到结果是解题的技巧。         二、换元放缩在不等式中的应用         例2、已知a、b、c、dR，求证：ac+bd（a2+b2）（c2+d2）          解法一：常规思路。  

8、       （a2+b2）（c2+d2）(ac+bd)2=（bc+ad）20          （a2+b2）（c2+d2）(ac+bd)2         （a2+b2）（c2+d2）|ac+bd|ac+bd         即：ac+bd（a2

9、+b2）（c2+d2）         解法二：换元放缩思路。         设：，（r1、r2均为变量），则：         ac+bd=r1r2cosacos+r1r2sinasin=r1r2cos（a-）|r1r2|        

10、0; |r1r2|=|r1|r2|=a2+b2·c2+d2=（a2+b2）（c2+d2）         即：ac+bd（a2+b2）（c2+d2）         点评：第一种应用的是差值比较与放缩法直接得到了结果。第二种采用三角换元的方式，利用三角函数的值域进行放缩得到了结果。从形式上看，第一种解法比第二种解法思维直接，解题过程简单，但第一种解法需要多次转换，思维歧点较多；第二种采用三角转换后

11、，歧点较少，开辟直接到达结果的目的。利用三角换元是解题的        基础，利用三角函数的值域进行放缩是解题的关键，利用三角函数的性质使三角形式转换为原不等式是解题的技巧。         三、换元放缩在含参不等式中的应用         例3、已知xR时，32x-（k+1）·3x+2>0。则k的取值范围是（）。

12、0;        A、（-，-1）B、（-，22-1）         C、（-1，22-1）D、（-22-，22-1）          解法一：常规思路。         设t=3x（t>0），则原不等式可转化为：t2-（k+1

13、）t+2>0。         对应方程t2-（k+1）t+2=0的=（k+1）2-8=k2+2k-7         （1）当-22-1<k<22-1时，<0，方程t2-（k+1）t+2=0无实根，不等式t2-（k+1）t+2>0恒成立。  因此当 k（-22-1，22-1），不等式32x-（k+1）·3x+2>0是成立的。 &#

14、160;       （2）当k-22-1或k22-1时，0，方程t2-（k+1）t+2=0有实数根。设此方程两个实根为t1、t2，且t1t2，要使得t>0时不等式t2-（k+1）t+2>0成立，则方程t2-（k+1）t+2=0的大根t20。         t1·t2=2>0         t20 

15、0;       又t1+t2=k+1<0         即：k<-1         结合分析条件k-22-1或k22可知：k（-，-22-1；         即当k（-，-22-1时，32x-（k+1）·3x+2>0是成立的

16、。        &        nbsp;只要满足（1）或（2）结果，32x-（k+1）·3x+2>0均成立，因此k取值范围是（-，22-1）。          解法二：换元放缩思路。         令3x=t（t&g

17、t;0），则原式可转换为：t2-（k+1）t+2>0。         移项并两边同除以t（t>0），则可知：k+1<t+。         而又不等式的性质可知：t+22          所以：k+1<22       &

18、#160;  即：k<22-1         所以k取值范围是（-，22-1）。         点评：第一种方法是换元与二次函数的性质结合求解，根据函数的开口向上，利用根与系数的关系，就可讨论t>0使不等式成立的条件，是换元转换后首先想到的基本思路。第二种方法是换元转换后将不等式等效转换，得到了有效形式后采用放缩得到了结果。通过对比，第二种方法思维过程简单，省时灵活，将参数特性充分

19、显示在不等式中，使这个辅元，转换了角色，变成了主元，得到了讨论。换元后将复杂方程转换为一元二次不等式是解题的基础，应用等效转换的形式将辅元参数转换为主元是解题的关键，利用不等式的性质放缩后得到结果是解题的技巧。         四、换元放缩在函数中的应用         例4、函数y=的值域是_。         解法一：常规思

20、路。         令t=x+40          则原函数可转换为：y=          近而可看作以y为参数的方程，即：yt2-t+y=0          此方程有非负实根的充要条件是：（1）y=0

21、时，代入方程，即可得t=0，满足题意。                 （2）y0时，根据方程有大于零的实根，两根之和等于一次项系数的相反数，得不等式组：         =1-4y20         t1+t2=>0  

22、       解得：y（0，          综合（1）、（2），y（0，。         解法二：换元放缩思路。         令t=x+40        &#

23、160; 则原函数可转换为：y=          又从函数的表达式可知：y0          所以y0，。         点评：第一种方法采用换元将函数转换成含参方程，使得函数变成了参数，利用一元二次方程根的判别来求解函数的值域。第二种方法换元后，利用换元后自变量的定义域直接对函数形式转换，采用放缩形式得到结果。第二种方法求解思路简单，求解过程明了，彰显了数学思维的简捷美。换元转换是解题的基础，形式转换是解题的关键，应用放缩是解题的技巧。 &#