研一学习材料钱志鹏高等传热学第6讲

1、高等传热学高等传热学第六讲第六讲 对流换热对流换热 convective heat transfer平板绕流层流边界层简化方程平板绕流层流边界层简化方程22220yTayTvxTuyuyuvxuuyvxu 具体问题特点具体问题特点物理模型的简化物理模型的简化五、边界层微分方程组之求解五、边界层微分方程组之求解A. 冯卡门积分方程法（尺度上推方法）冯卡门积分方程法（尺度上推方法）微小单元尺度微小单元尺度断面尺度断面尺度NS方程方程集总方程集总方程Upscaling Process 1.1.边界层厚度边界层厚度定义为速度达到外流速度定义为速度达到外流速度99%的厚度。的厚度。对平板层流边界层对平板

2、层流边界层xxxRe)( 2.位移厚度位移厚度 * 质量流量亏损厚度质量流量亏损厚度 由于实际物体的存在由于实际物体的存在,流体速度在流体速度在其表面为零其表面为零, 造成了质量流量亏损造成了质量流量亏损, 折算成相应的厚度折算成相应的厚度* 0*)1(dyUu 0*)(1dyyuUU3. 动量厚度动量厚度将由于无滑移条件将由于无滑移条件, 造成速度重造成速度重新分布新分布, 边界层内动量流量也相边界层内动量流量也相应亏损应亏损, 折算成外流速度相应的折算成外流速度相应的厚度厚度 0)1(dyUuUu 02)(dyuUuUAdyUyuUAdyyuAdyyuA)(:)(:)(:0200 的的动动

3、量量流流量量运运动动时时面面的的质质量量流流量量以以面面流流出出的的动动量量流流量量面面流流出出的的质质量量流流量量冯卡门动量积分法冯卡门动量积分法作用在控作用在控制容积上制容积上的力的力 pddxddxxpppFdx 0)(简化可得：简化可得：dxdxxpFx0 p)( ddxxpp dp dx0 d A 0udydxudyxudy)(00 m 上表面质上表面质量流量量流量dxudyxudydxudyxudym)()(0000 02dyudxxdyudyu )(0202 dxxudyU )(0 动量动量流量流量dxxudyUUm )(0 是是流入上端面的动量流量流入上端面的动量流量 inou

4、txvmvmF控制体动量方程：控制体动量方程：对控制体列动量方程对控制体列动量方程：)()()(002dxxudyUdxxdyudxdxdpx dxudydUdxdyuddxdpx 002)()()(如果来流速度如果来流速度U是常量是常量p(x)=Constant与与边边界界上上那那一一点点相相同同压压力力边边界界层层内内某某一一截截面面上上的的常常数数对对于于边边界界层层外外势势流流 pU2:2 0)(dyuUudxdx 00)(:, 0dyuUudxFxxx距距离离内内总总阻阻力力 202)1(UdyUuUuUFx 断面单元尺度断面单元尺度集总方程集总方程dx 0)(dyuUudxdx22

5、220yTayTvxTuyuyuvxuuyvxu 微小单元尺度微小单元尺度NS方程方程对经典的现代诠释对经典的现代诠释000022 yuyyuyUuyuy yfyfUux )()(:有有相相同同的的形形式式值值的的速速度度分分布布假假定定边边界界层层内内不不同同 yUu0223:3如如果果速速度度分分布布满满足足)(139. 0)223)(2231()()1(210332)(02xUdxUdyUuUuUFxx 距离起始点距离起始点 x 处的剪切应力为处的剪切应力为)(0 x dxxdFx)(0 dxdUdxxdUdxdFxx 220139. 0)(139. 0)( 因为剪切应力同样可表达为因为

6、剪切应力同样可表达为: : UfUyuxy23)()(000 两者应当相等两者应当相等:UvxxCxCUxdxUdUdxdUx65. 4)(:0, 0,06 .2178.10:23139. 0)(220 因因此此可可得得则则时时因因为为整整理理可可得得引入当地雷诺数引入当地雷诺数:vUxx Re21Re65. 465. 4)( xxUvxx xUxvUxUx330322. 0322. 0)(23)( 代入下式代入下式: :因此作用长度为因此作用长度为L的平板一侧的单宽阻力是的平板一侧的单宽阻力是: LLUdxxF030644. 0)( 阻力阻力阻力可以用阻力系数阻力可以用阻力系数CD乘以和平板

7、单宽面积乘以和平板单宽面积A=L1表示表示:LUCD22 阻力阻力可推得可推得: :xDDULCLULUCRe328. 1328. 1644. 0232 此为层流边界层阻力系数表达式此为层流边界层阻力系数表达式B.湍流边界层湍流边界层71)()(: yUuf 速度分布速度分布51512Re074. 0Re037. 0 LDLCLUF 速速度度分分布布如如果果满满足足对对数数58.2)Re(lg455.0LDC 二、边界层能量积分方程的建立二、边界层能量积分方程的建立 对整个容积上利用能量守恒关系：对整个容积上利用能量守恒关系： outin从从1-4界面上进入的能量为：界面上进入的能量为：xyT

8、yd0 t0 xy1234dxt在在1-2界面上流入的能量：界面上流入的能量： tyuTc 0d在在3-4界面上流出的能量：界面上流出的能量： xyuTxcyuTcttd)d(d00 在在2-3界面上流入的能量：界面上流入的能量：xyuxcTt)dd(0 因此能量积分方程为：因此能量积分方程为： tyTTuxyTay 00)d(0 xy1234dxt二、能量积分方程式的求解二、能量积分方程式的求解 tyTTuxyTay 00)d(sTT tyuxyay 00)d( tyyUuxUya00)d1(同样假设边界层无量纲过余温度分布为三次方多项式同样假设边界层无量纲过余温度分布为三次方多项式32)(

9、)(tttydycyba ssTTTT 令：令：边界层内温度分布形式为：边界层内温度分布形式为：3)(2123ttyy 利用边界条件：利用边界条件：0 sssTT:0 y022 y :ty 0 y 32)()(tttydycyba 代入能量积分方程代入能量积分方程2803203281203812034343)y(414321434923)y()(21)(231)(21)(23)y)d(1 (342343434222t33634333420t3300t0 xUxUdyyyyyyxUdyyyyxUUuxUyatttttttttttttttttttyttt 3)(21231ttyy 32123 yy

10、uudxhLhLx 01 LxwwxxdxqLTThqTThq0)()(可推得：可推得：3/1Pr1025. 11 t2/1Re64. 4/ xx 进一步计算表面换热系数进一步计算表面换热系数 , 0 xywxyTTTh , 0 xywxyTTTh , 0 xyxyh ssTTTT 3)(2123ttyy 所以：所以：t1 23 xh3/1Pr1025. 11 t2/1Re64. 4/ xx 3/12/1PrRe332. 0 xxNu 3/12/1PrRe664. 0 hlNu2. 主要求解结果主要求解结果边界层中的速度分布：边界层中的速度分布： 32123 yyuu无量纲温度分布：无量纲温度

11、分布：321231 ttwyyTTTT 离开前缘处的流离开前缘处的流动边界层厚度的动边界层厚度的无量纲表达式：无量纲表达式： xxRe64. 4 局部努塞尔数局部努塞尔数 ：3/12/1PrRe332. 0 xxxxhNu 平均努赛尔数：平均努赛尔数： 3/12/1PrRe664. 0 hlNuB. 布拉修斯布拉修斯(Blasius)精确解法精确解法)( yfUu 1x2x)(1x )(2x )()(2010 xyxy 当：当：)(),()(),(202101xvyxuxvyxuee 则有：则有：相似解的概念相似解的概念)( yfUu y0y0y UU)(1xve)(2xve(适用于每个断适用

12、于每个断面面)引入相似参数引入相似参数（使偏微分方程变成常微分方程）（使偏微分方程变成常微分方程）0 xy1uu1y 对任意截面上对任意截面上x方向的速度方向的速度进行分析，如果采用无量纲形进行分析，如果采用无量纲形式，则每个截面具有相同的分式，则每个截面具有相同的分布布: : )(xyuu 根据边界层动量方程式的数量及分析，可得：根据边界层动量方程式的数量及分析，可得：xxyxyRe)( 令：令：xxyRe 得：得： uu 是本问题的相似参数是本问题的相似参数利用流函数来表示无量纲速度利用流函数来表示无量纲速度 fxuyuyuuu11xuf 被称为无量纲流函数被称为无量纲流函数按照上面的分析

13、，可以将动量方程整理成按照上面的分析，可以将动量方程整理成 f 与与 的的关系。利用下面的关系关系。利用下面的关系xyu v ,xxyRe xuf xux Re得：得：)( /1)( fuxuxfxuyffyu xfxuxufxfxuxufxufxxv2)( /21/21)( xfuxu2)( xufuyu )( xufuyu )(22 22yuyuvxuu 33222yyxyxy 021 fff边界条件为边界条件为:022233 dfdfdfd0)0(0 fddf 1 ddf布拉修斯采用泰勒级数展开的方法求解了这个非线布拉修斯采用泰勒级数展开的方法求解了这个非线性方程：性方程： 332210

14、! 3! 2)( ccccf将上式取导数将上式取导数 342321! 44! 33! 22)( ccccf进一步利用边界条件求出各系数。且由结果可得进一步利用边界条件求出各系数。且由结果可得边界层厚度的变化边界层厚度的变化xxRe0 .5 根据壁面粘性剪应力计算公式得：根据壁面粘性剪应力计算公式得：xywufxuyuRe332.0)0(230 进一步得局部摩擦阻力系数计算式：进一步得局部摩擦阻力系数计算式：xwfxuCRe1664. 0212 二、温度场的求解（波尔豪森解）二、温度场的求解（波尔豪森解）22yTayTvxTu wTTy , 0 TTy ,引入无量纲过余温度引入无量纲过余温度 t

15、TtT22yayvxu 0 , 0 y1 , yxxyRe 与动量方程求解方法类似，引入相似参数与动量方程求解方法类似，引入相似参数)( 21 axxx )( xuyy )(22 xuyy 0)( Pr21)( f , 0 xywxyTTTh 接下来求解局部表面传热系数接下来求解局部表面传热系数xuyhxxyx , 0, 0dd 2/1, 0ReddxxxxxhNu 在在Pr=Pr=0.615范围内范围内3/1Pr332. 0)0( 3/12/1PrRe332. 0 xxNu xv yu uxuf/)( xuy / 022233 dfdfdfd0)0(0 fddf 1 ddf将速度用流函数表示

16、：将速度用流函数表示：将速度用流函数表示：将速度用流函数表示：基本思想基本思想：假设流动的假设流动的阻力特性阻力特性与与换热特性换热特性有一有一定的关系，依据这种关系就可以在已知阻力系数定的关系，依据这种关系就可以在已知阻力系数的情况下推算出与之对应的换热系数的情况下推算出与之对应的换热系数。二、比拟理论二、比拟理论 以流体外掠等温平板的湍流换热为例。以流体外掠等温平板的湍流换热为例。根据边界层的概念，忽略流动方向的扩散作用，可以得到边根据边界层的概念，忽略流动方向的扩散作用，可以得到边界层内界层内流动流动和和换热换热的微分方程组，即的微分方程组，即22yuyuvxuu22ytaytvxtu边

17、界条件为边界条件为：0 x uu0vtt0y0u0v0ty uu0vtt，无量纲边界条件为无量纲边界条件为：LuRewwttttlxX lyY uuUuvV引入下列引入下列7个无量纲量个无量纲量：avPr可以得到边界层内可以得到边界层内流动流动和和换热换热的无量纲化微分方程组，即的无量纲化微分方程组，即22Re1YUYUVXUU22PrRe1YYVXU0X1U0V10Y0U0V0Y1U0V1，当当 Pr = 1时，无量纲流速时，无量纲流速U的方程和无量纲温度的方程和无量纲温度 的方程具有完全相的方程具有完全相同的形式同的形式，并且其，并且其边界条件也相同边界条件也相同，因此因此U和和 应该有完

18、全相同的解，应该有完全相同的解，即即 yxfU, 00 YYYYU因此，有因此，有000Re2wfYyyUulullcYyuyuu类似地，类似地，lxlxywYNulhlytttY00)(上式中，上式中，/ 2wfcuuy从而得到从而得到：xfxcNuRe2 实验测定平板上湍流边界层阻力系数为实验测定平板上湍流边界层阻力系数为：51Re0592. 0 xfc)10(Re7x54Re0296. 0 xxNu 这就是有名的这就是有名的雷诺比拟雷诺比拟，它成立的前提是它成立的前提是Pr =1。xwwxyttth, 在工程实践中，通常在工程实践中，通常比较容易通过实验获得阻力系数比较容易通过实验获得阻

19、力系数c cf f的计算的计算公式，而公式，而换热实验比较难做换热实验比较难做。有了上述换热和流动的比拟关。有了上述换热和流动的比拟关系，就不必进行换热实验，只要由比拟关系并利用阻力系数系，就不必进行换热实验，只要由比拟关系并利用阻力系数cf的实验结果，就可得到的实验结果，就可得到Nu的计算公式的计算公式。 平板阻力特性平板阻力特性平板换热特性平板换热特性非常有趣的联系非常有趣的联系 当当 Pr 1时，需要进行修正，于是有时，需要进行修正，于是有 契尔顿柯尔本比拟（修正雷诺比拟）契尔顿柯尔本比拟（修正雷诺比拟）： 式中式中， St 称为斯坦顿数称为斯坦顿数（Stanton），），其定义为其定义为 j 称为称为 j因子，在制冷、低温工业的换热器设计中因子，在制冷、低温工业的换热器设计中应用较广应用较广3/18 . 0PrRe0296. 0 xxNu此时的准则方程为此时的准则方程为：5131Re0592. 0PrRe2 xfxfxccNuPrRe NuSt)60Pr6 . 0(Pr23/2 jStcf当平板长度当平板长度 l 大于临界长度大于临界长度 xc 时时，平板上的边界层由层流段和平板上的边界层由层流段和湍流段组成。其湍流段组成。其Nu分别为分别为：31543121PrRe0296. 0PrRe332. 0 xcxcNuxxNuxx湍流，时