电路原理第4章路的若干定理

1、1i11R1R2R3+ ia1ib1uS1R11ia1+R12ib1=uS1 R21ia1+R22ib1=0uS1 R12i = 0R22 a1RR1112R21 R22=i12R1R2R3ia2 + ib2uS2R11ia2+R12ib2=-uS2 R21ia2+R22ib2=uS2- uS 2 R12i = uS 2R22 a 2RR1112R21 R22= R22 (-u ) + - R12 uS 2S 2=i13R1R2R3ia3ib3 +uS3R11ia3+R12ib3=0 R21ia3+R22ib3=-uS30R12- uRi =S 322 a 3RR1112R21 R22= -

2、R12 (-u )S 3=R12 u S 3- R12 + R22 uS 2 R22 u S1i1由回路法R1R2R3R11ia+R12ib=uS11R11=R1+R2+ ia + ib +R i +R i =uR12= R21= -R2uS1uS2uS321 a 22 b S22R22=R2+R3uS11=uS1-uS2uS22=uS2-uS3uRuS1-uS2u -u S1112S2 S3i = uS 22 R22 = R22 u + - R12 uaRR S11S 221112R21 R22=电机系电路原理教学组2009 = R11 R12R21 R22= R11 R22 - R12 R

3、21R22 u - R12 + R22 u + R12 u S1S 2 S3其中举例证明定理i1R1R2R3+ ia + ib +证明：i1 = i11 + i12 + i13uS1uS2uS3i11i12i13R1R2R3R1R2R3R1R2R3+ ia1ib1ia2 + ib2ia3ib3 +uS1uS2uS3电机系电路原理教学组20094.1 叠加定理 (Superposition Theorem)性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个 电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。单独作用：一个电源作用，其余电源不作用电压源（uS=0)短路不作用的电流源 (iS=0)开

4、路电机系电路原理教学组2009叠加定理 熟练掌握叠加定理、和定理 掌握替代定理、定理和互易定理 了解对偶原理电机系电路原理教学组2009 本章重点本章重点4.1 叠加定理4.2 替代定理4.3 和定理4.4 定理4.5 互易定理4.6 对偶原理电机系电路原理教学组2009第4章 电路的若干定理推广到具有 l 个回路的一般电路：R11i1 + + R1 j i j + R1l il = uS11#Rj1i1 + + Rjj i j + Rjl il = uSjj#Rl 1i1 + + Rlj i j + Rll il = uSll第 j 个回路的回路电流R11#Rj1#uS11#uSjj#R1l

5、#Rjl#= Rl 1 uSll Rll ij= 1 j u+ 2 j u+ + jj u+ + lj uS11S 22SjjSll电机系电路原理教学组20092小结 :1. 叠加定理只适用于线性电路。电压源为零短路。2. 一个电源作用，其余电源为零电流源为零开路。3. 功率不能叠加(功率为电源的二次函数)。4. u, i叠加时要注意各分量的方向。5. 含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。电机系电路原理教学组2009 I110 I1例2. 求电压Us。6W+10V4A解: (1) 10V电压源单独作用： (2) 4A电流源单独作用： I1 6W+ 10 I1

6、I1 6W10 I1+10V4AU = -10 I +4= -101+4= -6VUs = -10I1 +2.44s1= -10 (-1.6)+9.6=25.6V共同作用： Us= U +U = -6+25.6=19.6Vss4W+Us4W+Us4W+Us6W例1. 求图中电压u。+10V4A解: (1) 10V电压源单独作用，4A电流源开路u=4V(2) 4A电流源单独作用，10V电压源短路u = -42.4= -9.6V共同作用：u=u+u = 4+(- 9.6)= - 5.6V 6W6W+10V4A4W+u4W+u4W+u= 1 j u+ 2 j u+ + jj u + + lj uS1

7、1S 22Sjj Sll把 uSi 的系数合并为Gjibi j = Gji uSii =1= i j1 + i j 2 + + i ji + ijb支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压的代数和。电机系电路原理教学组2009第i个电压源单独作用时在第j 个回路中产生的回路电流uS1 uSb第j列i = R22 u + - R12 u = R22 u - R12 + R22 u + R12 ua S11S 22 S1S 2 S3- uS 2 R120R12uR- uRi = S 222i =S

8、322 a 2RRa 3RR11121112ia1 =R21 R22R21 R22= R22 (-u ) + - R12 u= - R12 (-u )S 2S 2S 3=证得ia = ia1 + ia2 + ia3 即回路电流满足叠加定理。电机系电路原理教学组2009 R12 u S 3- R12 + R22 uS 2 R22 u S1uS1 R120R22R11 R12R21 R22uS11 R12uS 22 R22R11 R12R21 R223又证:ikik+支 +A u路 ukkk uk uuk k + +证毕!电机系电路原理教学组2009AA+uk支路kik+i路ukk证明: 替代前后

9、KCL、KVL关系相同，其余支路的u，i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变（KVL），其余 支路电流也不变，故第k条支路ik也不变（KCL）。用ik替代后，其余支路电流不变（KCL），其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变（KVL）。电机系电路原理教学组2009AAAuk支k4.2 替代定理 (Substitution Theorem)定理内容:对于给定的任意一个电路，其中第k条支路电压uk和电流ik已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于uk的 电压源，或者用一个电流等于ik的电流源来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。ik+路=uk =ik电机系电路原理教学

10、组2009AAAuk支k例3R1 21AR1 8AR1 3A i i=1A RL=2W R1=1 W +R2=1 W us=51V us2V求电流i 。解: 法一：分压、分流。法二：电源变换。法三：支路法、回路法、节点法 法四：用齐性原理（电流法）采用倒推法：设i=1A，推出此时us=34V。则i = us即 i = us i = 51 1 = 1.5Ai uu34ss+ 21V+ R2 u =34Vs+ 8V 13A R2+ 3V 5A R22A RL可加性 (additivity property)e1r1e1r1+ r2e2r2e2k1e1k1 r1线性k1e1k1r1+ k2 r2k2

11、e2k2 r2k2 e2e1rke1k re2ke2线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数， 则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。RRRRRRRR齐性原理（Homogeneity Property):线性电路中，所有激励( 源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增 大(或减小)同样的倍数。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。e1rke1k re2ke2erkekr电机系电路原理教学组2009NNNN41. 几个名词(1) 端口 (Port )ia 端口指电路引出的一对端钮，其中从一A个端钮(如a)流入的电流一定等于从另一b 端钮(如b)流出的电流。i(2)

12、一端口网络 (One-Port Network) (亦称二端网络)网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。(3) 含源(Active)与无源(Passive)一端口网络网络内部含有电源的一端口网络称为含源一端口网络。 网络内部不含有电源的一端口网络称为无源一端口网络。电机系电路原理教学组2009，Lon Charles Thvenin(18571926) 法国电报工程师。1883年 在法国上， 一页半，是在直流电源和电阻的条件下提出的， 然而，由于其证明所带有的普遍性，实际上它适用于当时未知的其他情况，如含电流源、受控源以及正弦交流、复频域等电路，目前已成为一个重要的电路定理。当电路理论

13、进入以模型为研究对象后，出现该定理的适用性问题。定理的对偶形式五十余年后始由美国贝尔工程师 E.L.Norton 提出，即定理。电机系电路原理教学组20094.3和定理(Thevenin-Norton Theorem)R1 aR34 含源网络的简化问题。4 二端网络：等效变换为简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路)电机系电路原理教学组2009R Rx2i R4bR5+ us 说明：1. 替代定理适用于线性、非线性电路、非时变和时变电路。2. 替代定理的应用必须满足的条件:(1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。2.5A1A2.5A?10V5W10VA AA+1A+1A1A

14、1V1W_1V1A-B 满足B不满足B(2) 被替代的支路和电路其它部分耦合关系。电机系电路原理教学组2009+?-+ 1V-2W5V5V?2W5V1.5A法二：替代Y-D变换4W2W1WIII/68WRL2W R4WI/6LI =2I6 3 + RLRL=9W电机系电路原理教学组2009例 已知如图。现欲使负载电阻RL的电流为电源支路电流I的1/6。 求此电阻值。IRI/64W8WR+4WLUS-法一：替代4WI =84 II6 8 + 4 + (4 / RL ) 4 + RL8WRL4WI/6R =9WL电机系电路原理教学组20095例26W 6I + aa+求U 。Ri0U0+3W U0

15、Uoc -bb解(1) 求开路电压Uoc6W 6I + a+Uoc=6I+3IocI=9/9=1AUoc=9Vb电机系电路原理教学组2009+9V 3WIU+9V 3WI3W含受控源电路的应用(1) 求开路电压a+Uoc = U1 + U2 U1Uoc= -104/(4+6)+10 6/(4+6)- b= -4+6=2V(2) 求等效电阻Ri(3) Rx =1.2W时， aI= Uoc /(Ri + Rx) =2/6=0.333ARiRx =5.2W时，bI= Uoc /(Ri + Rx) =2/10=0.2AR =4/6+6/4=4.8WRx = Ri =4.8W时，其上获最大功率。i+U2

16、 10V+例14W a 6W(1) 计算Rx分别为1 2W、5.2W时的I；(2) Rx为何值时，其上获最大功率?解保留Rx支路，将其余一端口网络化为等效电路：a IaIRi+Rxb Uocb U1Rx+U2 10V+Rx6WI4Wb10V+3.定理：任何一个含 电源，线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻) 的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部 电源置零后的输入电导(电阻)。aaAIsci)bb等效电路可由等效电路经电源等效 变换得到。但须指出，等效电路可进行证明。证明过程从略。电机系电路原理教学组20

17、09Gi(R证明:i aiaRi(a)U +(b)ocbb(对a) 利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u,i值不变。计算u值。aaaA+=A+P+uiu +Ruiibbb电流源i为零网络A中源全部置零根据叠加定理，可得u= Uoc (外电路开路时a 、b间开路电压)u = -Ri i则 u = u + u = Uoc - Ri i 此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！AN+u+uN2.:任何一个线性含有 电源、线性电阻和线性受控源的二端网络，对外电路来说，可以用一个电压源(Uoc)和 电阻(Ri)的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于一端口的开路电压，而电阻等于一端口中全部 电源置零

18、后的输入电阻。iaaARi bU +oci-b电机系电路原理教学组20096(2) 求Ri：串并联a10WRiRi =102/(10+2)=1.67 Wb(3) 等效电路: aI = - Isc1.67/(4+1.67)I-9.6A=9.61.67/5.67=2.83Ab电机系电路原理教学组20094W1.67 W2W例4求电流I 。a10Wa4W24VIIsc+b +b12V解 (1) 求Isca10WI1 =12/2=6A24V I2=(24+12)/10=3.6A+I =-I -I =- 3.6-6=-9.6Asc1 2b + 12V Isc2WI1I24WGi(Ri)I2WA( 1 +

19、 1 + 1 )U = 40 + - 100 + 20030k 10k 60k +10 30 60 AB 103060UAB-+-10040200 BUAB=26.7V+-RAB=10 / 30 / 60 = 6.67kWA二极管导通u +IAB-R5kI = 26.7 / (5+6.67) = 2.3mA 2mAABB结论: 继电器触点闭合。电机系电路原理教学组2009+ U -60k例3 外电路含有非线性元件。A当电流I2mA时继电器的+ U -圈 触点闭合（继电器线30kW 10kW 60kW5K电阻是5kW ）。问现在继电器触点是否闭-100V 40V 200V合。解 求开路电压UAB

20、A+30K 10K 60K UAB-+-10040200 B+-电机系电路原理教学组2009IJB(3) 等效电路a+Ri 6W+3W U0Uoc9V-bU =3 9 = 3V06 + 3电机系电路原理教学组2009(2) 求等效电阻Ri方法1：加压求流6W 6I + I0U0=6I+3I=9Ia+I=I06/(6+3)=(2/3)I0U0U0 =9 (2/3)I0=6I0bRi = U0 /I0=6 W方法2：开路电压、短路电流(Uoc=9V) 6W 6I + a6 I +3I=91I1I=-6I/3=-2II=0IscIsc=9/6=1 5ARi = Uoc / Isc =9/1.5=6

21、Wb+9V 3WI3WI7aa例1：I1 R1I2(1) R1=R2=2W, Us=8V 时 ,+无源+I1=2A, U2 =2VUsU1电阻R2 U2 (2) R1=1.4 W, R2=0 8W, Us=9V时,网络I =3A, P1求U2。解：利用定理由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A由(2)得 : U 1 = 4.8V, I 1 = 3A, I 2 = U 2 /R2 = (5/4)U 2bbU 1 (- I 1 ) + U 2 I 2 + Uk I k = U 1 (- I1 ) + U 2 I 2 + U k I kk = 3k = 3( 负

22、号是因为U 1 , I1的方向不同 )- 4 3 + 2 1.25U 2 = -4.8 2 + U 2 1 U 2 = 2.4 / 1.5 = 1.6V3. 功率平衡定理：在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时 功率的代数和为零，即将定理用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。(亦可视为N , N 为同一电路, 则uk = uk , ik = i k . )此亦可认为定理在同一电路上的表述。注意：定理适用于一切集总参数电路。只要各支路u，i满足KCL,KVL即可。 定理与KCL,KVL三者中取其两个即可。电机系电路原理教学组2009bb pk = uk ik = 0 k =1k

23、=1证明NN令 uk = ua - ub ,i = i b = -i akabuk i = (ua - ub )i= ua i - ub ikababab = ua iab + ub ibab u i = u i + u i + = 0流出bk kabk =1abn个节点 ,有n项i 流出节点a的 ba所有支路电流和同理可证： uk ik = 0k =1流出a-+-+245两个电路支路与节点联接关系相同：16423假设两个电路中对应支路电压3方向相同，支路电流均取和支路电压相同的参考方向。12.定理：电路 N ( N )的所有支路中的每一支 路的电压 uk (uk )与电路 N ( N )中对

24、应的支路中的 i k (i k )的乘积之和为零(且各支路取关联方向 ), 即bb uk i k = 0和 uk i k = 0(似功率平衡关系 )k =1k =14. 4定理(Tellegens Theorem)1.具有相同拓扑结构（特征）的电路两个电路，支路数和节点数都相同，而且对应支路 与节点的联接关系也相同。R4 2R5R4 2R5 R6R2R314143R1+ us1 NN电机系电路原理教学组2009R6u +s6R3is2 3R14. 小结 ：(1) 等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。(2) 串联电阻为将一端口网络内部电源全部

25、置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的等效电阻。等效电阻的计算方法：1 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联、Y-D 变换的方法计算；2 加压求流法或加流求压法。3 开路电压，短路电流法。2 3 方法更有一般性。(3) 外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏- 安特性等效)。(4) 当一端口内部含有受控源时，其支路也必须包含在被化简的一端口中。8第二种形式: 电流源激励，电压响应。在任一线性电阻网络的一对节点j，j 间接入唯一电流源ij，它在另一对节点k，k产生电压ukj(见图a)；若改在节点k，k 间接入唯一电流源ik ，它在节点j，j 间产生电压ujk(图

26、b)，则上述电压、电流有如 ：ukj = u jk或u i = u i iikj kjk jjk当 ik = ij 时，ukj = ujk 。jk+jkijukjujkikjkjk(a)(b)将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即u1 = u j , u2 = 0 , i2 = ikj ; u1 = 0, u2 = uk , i1 = i jku j i jk + 0 i = 0 i + u i21k kj即：iiu i = u i或kj = jk k kjj jkuujk当 uk = uj 时，ikj = ijk 。证毕！电机系电路原理教学组2009bb即： uk i k = u1

27、i 1 + u2 i 2 + uk i k k =1k =3b= u1 i 1 + u2 i 2 + Rk ik i k = 0k = 3b b uk ik = u1 i1 + u2 i2 + uk ik k =1k =3b= u1 i1 + u2 i2 + Rk ik i k = 0k = 3两式相减，得u1 i + u2 i = u1 i1 + u2 i2 12电机系电路原理教学组2009则两个支路中电压电流有如：ikj = i jk或u i = u ik kjj jku juk当 uk = uj 时，ikj = ijk 。证明: 用定理。(设a-b支路为支路1,c-d支路为支路2,其余支

28、路为3b)。图(a)与图(b)有相同拓扑特征，(a)中用uk 、ik 表示支路电 压，电流， (b)中用 uk , i k 表示 。由定理：bb uk i k = 0和 uk ik = 0k =1k =14. 5 互易定理(Reciprocity Theorem)第一种形式: 电压源激励，电流响应。给定任一仅由线性电阻 的网络(见下图)，设支路j中有唯一电压源uj，其在支路k中产生的电流为ikj(图a)；若支路 k中有唯一电压源uk，其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。acac线性线性u +电阻ii电阻+j网络kjjk网络uk NNbdbd(a) (b)电机系电路原理教学组2009例2.

29、求U 1 .I1I 1I 2+UPU I2U12U 12U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1AU 2 = 10V解：U + U (- ) + b U = (- I ) + I + b U I1 I 12 I 2k I k U 11U 2 2 k kk = 3k =3U 1 = 2 I 1U 1 = 1V.电机系电路原理教学组20092WP9例1R1R2G1unG2+uSiS例2 i1 R1R3un1 G2 un2+iS1+uSrm i1u1 G1G3gm u1电机系电路原理教学组2009il2il1R2il二、 对偶元素（见书）三、 对偶原理两个对偶电路N和N ，如果对电路N有命

30、题（或陈述）S 成立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶元素替换，所得命题（或陈述）S 对电路N成立。注意： 只有平面电路才有对偶电路。四、 如一个电路的对偶电路打点法：网孔对应节点（孔对应参考节点）。电机系电路原理教学组2009节点节点电压串联RLuSCCVSKCL网孔网孔电流并联GCisVCCSKVL例2 i1 RRuG u13n12 n2+i+ur iS1ug uSm 11 G1G3m 1网孔方程节点方程(R1+R2) il1- R2 il2 = uS1(G1+G2)un1- G2 un2 = iS1(1) - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 (2) -G2 un1+(G2+G3) u