向量数量积的坐标运算与度量公式

1、向量数量积的坐标运算向量数量积的坐标运算与度量公式与度量公式高一数学高一数学 冯伟冯伟教学目标教学目标1、 掌握两个向量数量积的坐标表示法掌握两个向量数量积的坐标表示法,会进行会进行平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算.2、 能运用数量积表示两个向量的夹角能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数会用数量积判断两个平面向量的垂直关系量积判断两个平面向量的垂直关系.3、 提高学生的运算速度提高学生的运算速度,培养学生的运算能力培养学生的运算能力.教学重点教学重点 向量数量积的坐标运算与度量公式的掌握向量数量积的坐标运算与度量公式的掌握 教学难点教学难点 灵活运用公式解决有关问题灵活运用公式解决有

2、关问题知识链接知识链接 1 1、平面向量的数量积是如何定义的，它、平面向量的数量积是如何定义的，它有哪些重要的性质？有哪些重要的性质？记作记作= 已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 abba即有即有cosbaab叫做叫做 与与 的数量积（或内积），的数量积（或内积），bacosba2 2、两非零向量垂直的充要条件是什么？、两非零向量垂直的充要条件是什么？ 3 3、两平面向量共线的充要条件又是什么，、两平面向量共线的充要条件又是什么， 如何用坐标表示出来？如何用坐标表示出来？0 babababba 使使得得存存在在唯唯一一的的）（0/1

3、 22 1/0abababa b1211若（a，a ）， （b，b），1. 1.向量内积的坐标运算向量内积的坐标运算121212,.( ,),( ,), e eaa abb b建立单位正交基底已知则ba1 1 111 2122 1212222a b e ea b e ea b eea b ee 112212211,0e eeee eee 因为2211:bababa所以两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. .1 1221 122() ()a ea eb eb e 课前预习课前预习.).2, 1 (),1, 3(. 1baba求已知例5)2() 1

4、(13)2, 1 () 1, 3(:ba解babababababa),9 , 3(),2 ,11()3(),8, 7(),5 , 8()2(),3 , 4(),5 , 4() 1 ( :练习-1-96-152.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件用向量的坐标表示两个向量垂直的条件.,0,0,aba ba bab 如果则反之 如果则换用两向量的数量积坐标表示换用两向量的数量积坐标表示,即为即为:.则, 0如果; 0则,如果22112211babababababa判断判断(b1,b2)与与 (-b2,b1)是否垂直是否垂直? 判断判断 (b1,b2)与与k(-b2,b1)是否垂直是否垂直?例如例如:

5、向量向量(3,4)与向量与向量_,_,_都垂直都垂直.),3 , 4()4 , 3(垂直与向量向量Rkk2.(1,2), (2,3),( 2,5).ABCABAC 例 已知点求证),3 , 3()2 , 1 ()5 , 2(),1 , 1 ()2 , 1 ()3 , 2(因为:证明ACAB031)3(1)3 , 3() 1 , 1 (ACAB则.ACAB 所以.).7, 6(),3 , 2(),5 , 7(:是直角三角形求证已知练习ABCCBA).10, 4(),12, 1(),2, 5(:BCACAB由已知得解0)10()2(4)5(BCAB因为.BCAB 所以.是直角三角形所以 ABC3.

6、向量的长度向量的长度,距离和夹角公式距离和夹角公式.22212121221),(),(则),(已知aaaaaaaaaaaa2221:aaa所以向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根（1）向量的长度）向量的长度AByxByxA:),(),(2211则如果),(1212yyxx212212)()(yyxxAB（2）向量的长度（两点之间的距离公式）向量的长度（两点之间的距离公式） (3,1) (1,2) (5, 3)aaaa例 3、 求（3）两个向量夹角的坐标表达式）两个向量夹角的坐标表达式:bababa ,cos222122212211bbaababa21

7、0arccos),1, 3(),2 , 1 ()2(_),12, 5(),4 , 3() 1 (的夹角为与则若夹角的余弦为与则若babababa6563例例4达标练习达标练习 1、已知a = （-3，4），b = （5，2）， 求a b，| a |，| b |。2、已知a = （-2，4），b = （1，-2），则a 与b的关系是 （ ）A、不共线 B、垂直 C、共线同向 D、共线反向3、以A（2，5），B（5，2），C（10，7）为顶点的三角形的形状是（ ） A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形.4 .( 1,2),(3,).,_OAOBmOAABm

8、 、 已知向量若则.40)2(241,)2,4()2, 1(), 3(mmABOAABOAmmOAOBAB解得所以又因为5(1,2) (3,4),(5,0).ABCBAC、已知点求的正弦值),2, 4()20 , 15(),2 , 2()24 , 13(:ACAB因为解20)2(4, 8222222ACAB1011044208)2, 4()2 , 2(cosACABACABBAC所以10103)101(1sin:2BAC因此 平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、长度、角度等几量积性质的坐标表示解决有关垂直、长度、角度等几何问题。何问题。（1）两向量垂直的充要条件的坐标表示）两向量垂直的充要条件的坐标表示