线性代数44709

1、中国海洋大学 2010学年春季学期 期末考试试卷 数学科学 学院 线性代数 课程试题(B卷)优选专业年级 学号 姓名 授课教师 座号 -装-订-线- 共4页 第 1 页题号一二三四五六总分得分符号说明： 表示矩阵的秩，表示矩阵的伴随矩阵，表示阶单位矩阵，表示矩阵的转置矩阵，是的代数余子式.一、填空（18分）1. 设, 则=_.2. 已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则_.3. 如果阶方阵的特征值分别为1，2，则 .4.已知均为3阶矩阵，矩阵满足 其中是3阶单位矩阵，则 .5.已知4元非齐次线性方程组，又知为的3个解，且，则的全部解为 .6. 若二次型可经正交线性变换化为标准型，则 .授课教师

2、命题教师或命题负责人签字 年 月 日院系负责人签字年 月 日 数学科学 学院 课程试题(A卷) 共 4 页 第 2 页二、选择题 （24分）1. 设均为阶实对称矩阵，若存在正交矩阵，使成立.现有四个命题：与合同 ； ； 若为正定矩阵，则也是正定矩阵；与有相同的特征值和特征向量.以上命题正确的是（ ）.A. ； B.； C.； D.2.设 是矩阵，且其列向量组线性无关，是n阶方阵，满足， 则秩 ( ) A. 等于 n B. 小于 n C. 等于1 D. 不能确定.3.与矩阵不相似的矩阵是( ). A. B. C. D. 4.设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（

3、 ）.(A) 若仅有零解，则有唯一解；(B) 若有非零解，则有无穷多解；(C) 若有无穷多解，则仅有零解；(D) 若有无穷多解，则有非零解。5.已知与相似，则（ ）.(A) ，(B) ，(C) ，(D) ；6. 设向量组线性无关，向量组线性相关，则（ ）.(A) 能由线性表示； (B) 能由线性表示；(C) 未必能由线性表示； (D) 以上都不对。中国海洋大学 2008-2009学年 第2学期 期末考试试卷 数学科学 学院 课程试题(A卷)优选专业年级 学号 姓名 授课教师 座号 -装-订-线- 共 4 页 第 3 页7. 已知是方程组的两个不同解，是对应齐次方程组 的基础解系，则的一般解是（

4、 ）.(A) ; (B) ;(C) ; (D) .8. 是两个不同的阶方阵，且与相似，则之间可能不同的是（ ）(A) 特征值； (B) 行列式值； (C) 秩； (D) 特征向量.三、计算 （24分）1. 设可逆，且，当时，求.（8分）2. 设是3维向量空间的一组基，求由基到的过渡矩阵.（8分）3. 求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并用它们表示其余向量.（8分）四、证明题 （10分）若向量组线性相关，线性无关. 证明:1. 可以由线性表示；2. 不能由线性表示.五、（12分）用正交变换法把二次型化成标准形，并求的特征值和特征向量、写出正交矩阵和对角矩阵. 数学科学 学院 课程试题(A卷)

5、共4页 第 4 页六、（12分）对于 n元线性方程组 1. 证明：n阶系数矩阵的行列式.2. 当取何值时，线性方程组有唯一解，并利用(1)的结果求解的第一个分量.3. 当取何值时，线性方程组有无穷多解，并求解.一、 填空 （18分）1. 0； 2. 8 ； 3.10； 4. ； 5. ； 6. 3二、选择题1.C; 2.A; 3.D; 4.D; 5.A; 6.B; 7.B; 8.D三、计算 （22分）1. 解：由，得，于是。而，用求逆矩阵的公式或者初等行变换法，得。2. 解.设由到的过渡矩阵是，到的过渡矩阵是，到的过渡矩阵是，而，所以；，即.由基到的过渡矩阵.3. 解记 ，则是的列向量组的一个

6、极大线性无关组，也为的列向量组的一个极大线性无关组，且 .故秩，为向量组的一个极大线性无关组，且.四、（10分）若向量组线性相关，线性无关. 证明:1) 可以由线性表示；2）不能由线性表示.答案 证明：（1）由线性无关知线性无关；又线性相关，故可以由线性表示（2）可用反证法，利用1）结果推出矛盾。五、（12分）二次型的矩阵，所以得的特征值为和（二重）。对于，由，即， 得的特征向量，所有特征向量为是不等于零的数；将单位化得。对于，由，即，得该方程组的基础解系为.对应的所有特征向量为不同时为零；用施密特正交化方法，将先正交化得，再将单位化得.六、解：(1). 利用数学归纳法，得1. ，2. 假设时成立，证明时成立. 行列式按