全国大学生数学建模竞赛答卷

1、全国大学生数学建模竞赛答卷A 题摘 要 本文讨论了车灯线光源的优化设计问题。根据光学原理，我们不考虑线光源的直射光的影响，以线光源的长度最短作为优化设计的目标。对问题一我们建立了两个数学模型。在模型一中，我们认为：（1） 线光源很短，可认为线光源就在焦点附近；（2）光源距离屏幕很远，可认为是无穷远这两点展开讨论。首先对光线照射到屏幕上的区域进行分区讨论，以线光源所在且与地面平行的平面同旋转面的交线为研究对象，求出了线光源的若干边界点，考虑到B、C两点间的光强度关系及其应满足的条件，建立了相应的关系表达式，并求得最优解，即线光源的长度为10mm。在模型二中，我们根据光的反射定律，确定了线光源经旋

2、转抛物面上任意一点的反射光束在测试屏上的投影的变化规律，并根据光的可逆性，求得目标最优值为6.4mm。在模型一的基础上，考虑到线光源长度较短，于是对反射面进行旋转变换，得出测试屏上的反射线的亮区为一个椭圆域。在对设计规范的合理性的讨论中，我们从整体入手，以线光源的总能量为研究对象，抓住线光源在屏幕上反射光线的亮区的分布特点，求得其近似服从标准正态分布，其强度分布函数为E（X）=exp(-),并以此为依据原设计规范进行了讨论，分析了影响其合理性的相关因素。一问题的假设考虑到问题中，出现了“线光源”、“旋转抛物面”等非传统光学问题的“点光源”，“球面”等，因而使得问题相对复杂化，为此，我们提出以下

3、假设：1 由于在题给设计规范中，测试屏放在距离车灯焦点25米远处，而车灯的开口半径只有0.036米,于是可认为对于测试屏来说,光源的出射光是很远的,从而光线在测试屏上的入射角很小，可近似看作是一致的;2 实际的车灯的灯丝(即线光源)的长度是很短的,我们认为线光源就在焦点附近,这还需要在模型求解之后进行检验;3 线光源是由无数的点光源组成的，点点之间光线的发生、传播相互独立，互不影响；4 由于假设1,2,3,线光源上的不同的点所放出的光线在屏幕上所产生的光的强度是相同的，同时，就线光源上的同一点来说，它所发出的光线在屏幕的不同点上所产生的光的强度也相同，也就是说，对于任何一条光线来说，不管它是发

4、自哪一个点光源，或是射到屏幕上的哪一点，它在屏幕上所产生的光的强度都是相同的，具体原因分析见“问题的分析”； 5 不考虑光线在传播的过程中的能量损失，也不考虑车灯旋转抛物面材料对反射率的影响及光线传播的干涉衍射等因素，即光的传播是一种理想情况.6 线光源上各点的发光强度是均匀的；7 由于假设二可以认为光源上某一点所发出的光线与反射光线近似在过光心的面上.二符号的约定 符号的说明：I ： 光强 ： 入射角r: 发光点至光线在测试屏的入射点间的距离h ： 线光源的半长LB： 能够照射到B点的线光源的总长度LC ： 能够照射到C点的线光源的总长度K ： 比例常数K1 ，K2 ： 同线光源上共面的抛物

5、线的边界点与线光源顶点连线的斜率K3 ： 焦点与抛物线边界点连线的斜率其余符号将在文中陆续给出。三问题的分析1 对物理量的说明 光通量： 光源在单位时间内所辐射的光能，即题中“光源的功率”，记为F； 照度： 光通量与被垂直照射的表面积之比，即题中“屏幕上某点”的强度量，记为E； 发光强度： 光源在单位时间内发出的光通量，记为I，且F=4*； 点光源的照度定律 ： E=，其中为光线与被照表面的入射角，r为点光源至入射点的距离2 对本题中屏幕上任意点上的照度的产生的分析 如图所示，为一个平行于地面的子午面与旋转抛物体的交线，P、Q分别为线光源、屏幕上的任意一点，考虑到光线由P点发出到达Q点（不管其

6、是直射光线还是反射光线）的光线为PQ，则此光线在Q点所形成的照度 （1） 由假设可知，恒定，不因P，Q而改变；另一方面PQ是从远处发射的几乎垂直的光线，对任意PQ点，几乎没有改变，也为恒量；故（1）中近似为恒量,即假设4是合理的。因而可知，任意Q点的照度是由线光源上不同的点发出的照射光（直射光，反射光）迭加而引起的，由上分析知Q点的光强即为。 对于问题一，由上可知，B，C两点的照度为，为求，我们分析所有光的反射与直射情况，在旋转抛物面上分区讨论，由光的可逆性找出B，C点上反射光的线光源的长度边界，得出线光源高度得最优值。 四模型的建立与求解1问题一 （1）模型一: 由题中已知条件可求得旋转抛物

7、体的方程为z2+y2=0.06x。为了简化问题，我们首先对旋转抛物面进行分区，如图所示。D E F G H AI J K L M y120x34过焦点的竖直延长线与抛物线的交点为b,c，抛物线的边界点A，D，根据发光光源的特性，我们可以先粗劣估计线光源上的每一发光点发出的光线，经旋转抛物面反射后，其反射光线是向上偏，还是向下偏（假设根据光学知识可知，过焦点的光线经抛物面反射后，反射光线与X轴平行），故具体讨论如下：上半截线光源所发的光光线偏向反射屏区域下半截线光源所发的光光线偏向反射屏区域a-b段向上偏EGa-b段向下偏GHb-o段向下偏GMb-o段向上偏DGo-c段向下偏JMo-c段向上偏D

8、Jc-d段向上偏IJc-d段向下偏JL 可以证明光源顶点发出的经抛物线边界点反射后的光线到达屏板上的距离最远，即在平板上的覆盖区域最大。且端点经过抛物线中心原点处反射到屏幕上的距离也是最远的，因此只须考虑线光源端点与抛物线边界的反射线及中心的反射线。我们先取一个过焦点的且与地面平行的子午面，其与旋转抛物面的的交线方程为y2=0.06x。其上各点的斜率为 yX = ( p/2x ) 1/2 =(0.015/ x) 1/2现在我们所需求的就是AD及AE关于线光源高度h的函数。 易求得线光源的反射光（过O点）关于h的表达式，即= 即y(D)=1. 667h (其中h为线光源半高)同理，可求得直射光的

9、如射范围，k1=（36-L/）/6.6,k2=(36+L)/6.6,k3=36/6.6。AH的长度可由以下方法求得，先求得反射线AH的直线方程，为 y-0.036=-( x-0.0216),令X=25. 015，则直线方程可变为 Y=-+0.036同理,可求AE所在的直线方程为y-0.036=(x-0.0216) ,令x=25.015，则y(E)=+0.036此时,由y(E),y(D)以及点B、C的坐标，=1.3， =2.6,可求得通过B,C两点的反射光线,从而入射光线的发光点的临界位置,即可求出线光源的临界高度。由y(D)=1.3,即1.667h1=1.3,解得h1=0.78mm;y(D)=

10、2.6,即1.667h=2.6,h解得2=1.56mm;y(E)=1.3, 即+0.036=1.3, 解得h3=8.22mm;y(E)=2.6, 即+0.036=2.6, 解得h4=13.35mm;y(H)=-1.3, 即+0.036=-1.3, 解得h5=15.3mm;y(H)=-2.6, 即+0.036=-2.6, 解得h6=50. 4mm(as y6>hmax=36mm,omit it)能射到C点的线光源的长度为 LC=2h+(h-13.35)+(h-1.56)同理可求得能入射到B点的线光源的长度为LB=2H+(h-8.22)+(h-0.78)再考虑到B点的光强度至少比C点2倍（其

11、中C点的光照强度至少为一个单位强度），而光的能量可近似认为与光线源长度成正比，且不考虑光线在反射过程和空间传播过程中的能量损失，故B，C两点的光照强度之比可等效认为为相对应的线光源的长度之比，则有2= h=5.205mm,2h=10.41mm,取2h=2=10mm，此即线光源最小长度由光强公式I=（其中R为光线传播距离，F为光通量，I为入射角），而由前面假设我们可以认为为一常数，此时F与I接近，成正比，当C点的光照强度恰为一单位强度时，此时的I是满足条件下的最小光强，即对应最小功率。（2）模型二设线光源长度为，焦点坐标F（），光源一端为M（），另一端为N（），其中。设P0（）为旋转抛物面上任一

12、点。F经旋转抛物面上的点P0反射后在测试屏上的投影为F1（）。又设M1（），M2（）分别是M经P0反射后反射线上与M 对称的点及其在测试屏上的投影。由已知可得旋转抛物面的方程为，。令则旋转抛物面在点P0的法线方程为。由几何学知识有： M在P0处的反射线方程为 （3）在方程（3）中令便得到M2即M经P0反射后在测试屏上的投影点的坐标。于是线段F1M2就是线光源FM经P0反射后在测试屏上的投影。由于设计的对称性，N经P0反射后在测试屏上的投影N1与M2关于点F1对称。当P0在旋转抛物面上运动时，线光源MN经P0反射后在测试屏上的投影N1M2也相应地在转动。当P0取遍旋转抛物面上所有点时，动线段N1

13、M2所经过的区域即为线光源MN经旋转抛物面的反射区域。由于过焦点的光线经旋转抛物面上任何一点反射后反射线总与旋转抛物面的对称轴平行，因此线光源MN经P0反射后在测试屏上的投影的中点在圆周上，且当F的投影F1的竖坐标不为零时，投影与圆周相切，它的长度是线光源MF的长度的函数 。 在测试屏上的反射光区域内，各点的照度大小与动线段N1M2经过的频数成正比。由光的可逆性分别求得旋转抛物面上B、C的反射面面积。因旋转抛物面的口径远小于它到测试屏的距离，可以将它视为点光源。由得， 因而线光源MN的长度为。2问题二 经过分析，反射光的亮区包络线为一椭圆，事实上可证明（证明过程略）。当时即为长轴长，故长轴=1

14、.6675=8.34而亮区的边界是连续的，故短轴的长可以由求出：故椭圆方程为，作图如下，且从焦点的光源发出的光都平行与轴线，故在坐标系中应有一半径的圆-3 -2 -1 0 1 2 3-10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yx3问题三考虑到自由光源向周围空间光线发射的均匀性，以及旋转抛物面对光线的聚敛性所造成的反射光线在空间上分布的不均匀性，反映在屏幕上就为明暗亮度差，中间区域最亮，亮度自中间向两边递减，于是我们可推测光强度在沿线光源走向方向呈正态分布。事实上，线光源上的每一个光点所发出的每一条光线均可以视作为一完全独立事件，由中心极限定理可知其

15、呈正态分布，分布函数即光强度密度函数，不妨设其方程为E（x）=e- 再由B，C两点的坐标及B，C两点间的光照强度关系，取其临界值，即E（B）=2E（C），亦即 E(1.3)=2E(2.6) e-=2e-解得=3.66,则光线强度分布密度函数为 E（x）=e-= E（x）=e-于是可以求出光屏上任意点光的强度。C点的亮度密度为E（C）=0.16,E(B)=0.32。则问题转化为在何处布置光屏和怎样在光屏上设置测试点，从而判断原设计规范的合理与否。即要求光的能量（亮度）尽可能集中，而覆盖区域相对较广。在实际生活中，人们关注的是车灯前进方向的亮度与其旁逸光的强度及其覆盖区域，要求保证车灯既能照亮前方，又不置影响路边行人，比如光线太强，令人眩目，且要求功率适当。因此，我们要实际情况，比如路面宽度、车型等，另外，也要考虑的车的速度范围，由车速决定测试屏的布置位置，以确保车灯光线具有一定的穿透能力，有效防止交通事故。五模型优缺点分析与改进 本模型充分考虑了照度形成的因素,忽