南昌大学第十四届高等数学竞赛试题--数学专业---低年级组_第1页
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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上2017年南昌大学数学竞赛试卷答案（数学专业低年级组） 课程名称：数学分析竞赛低年级组开课学院：理学院考试形式：闭卷适用班级：数学系16级学生考试时间：180 分钟试卷说明：1、本试卷共 6 页。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。题号一二三四五六七八九十总分累分人签 名题分4060100得分考生填写栏考生姓名：考生学号：所属学院：所属班级：所属专业：考试日期：考 生须 知1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁作弊，违者取消学位授予资格；严禁自备草稿纸、携带手机、携带小抄等入场，违

2、者按考试违规处理。考 生承 诺本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！考生签名： 一、计算题（40分）：（本题共4小题，每题10分）得 分评阅人1.利用下面结论：若满足（1） ；（2） ；（3） ，则（其中为有限数）。求，其中为自然数.证明：令，则，并且 ，所以.2. 求在处的阶导数由 ，得 ，对此等式两边用莱布尼茨公式求阶导数得 令 ，得利用 此递推公式及得 解： 3. 计算 其中 解：利用分部积分可得到而因此其中则 而.4. 设为正整数，求解：（1）（2）解：利用三角函数公式 得到因此 二、证明题：（60分）（共4小题，每题 15 分）得

3、分评阅人1. 设是上的二阶连续可微的函数，并且满足证明：证明：由已知条件以及可知，存在一个区间，使得任意，有并且因此，函数在区间上单调递减，而函数在区间上单调递增. 由中值定理，对于任意，存在，有考虑到单调递增，所以从而，令，我们有上式对所有的成立，于是，存在，且 2.设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，证明：在开区间内至少存在一点，使. 证明： 由于三阶可导，可考虑泰勒公式；又应在处展开 在上式中分别取和 两式相减得，即 由于连续，则在闭区间上有最大值和最小值。 则，由连续函数介值定理知，存在，使 。3.设是上的正值连续的偶函数，且.令 ， .（1）证明：在上严格单调增加；（2）求使得在上取得最小值的点. 证明： .由连续，有 ， ，因此在上严格单调增加。2）令 即， 亦即。 由是偶函数，有，即是方程的解。又在上严格单调增加，当时，有，知在上严格单调减少；当时，有，知在上严格单调增加，因此，是在上的最小值，从而，在上取得最小值的点是.4. 设 定义 .（1）求； （2）计算.解： （1）取定.令 则得到，进一步利用数学归纳法可得到，这样数列为一个有界单调非减的数列，从而极限存在，假设，并且满足，上式两边取极限得到，从而，利用为一个单调非减的数列

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