【金学案】高中数学（北师大版选修12精品学案第三章 推理与证明 第3课时 综合法与分析法

1、第3课时综合法与分析法1.结合已经学过的实例,了解直接证明的方法综合法与分析法,知道综合法与分析法的思考过程和特点.2.通过对综合法与分析法的学习,体会数学思维的严密性、抽象性、科学性,养成缜密思维的习惯.3.通过综合法和分析法的学习,体会这两种方法相辅相成、辩证统一的关系.重点:会用综合法、分析法证明问题,了解综合法、分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法、分析法的思考过程及特点,选择适当的证明方法.我们都学过韦达定理.若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)的两个根,则有x1+x2=-,x1x2=.那么韦达定理要如何证明呢?问题1:综合法一般地,从

2、已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,经过一系列推理论证,推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题.问题2:分析法的特点分析法的思维特点是执果索因,即从结论逐步挖掘已知.问题3:用框图表示综合法与分析法的证明过程(1)综合法可用框图表示为:(用P表示已知条件,已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论)PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ.(2)若用Q表示要证明的结论,分析法可用框图表示为:QP1P1P2P2

3、P3得到一个明显成立的条件.问题4:分析法与综合法的联系与区别分析法与综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点,分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述过程容易出错.综合法条理清晰,易于表述,但思路不太好想.因此将二者交互使用,互补优缺点形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件,也就是用分析法寻找解题思路,用综合法加以表述. 费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由法国数学家费马提出.他断言:当整数n> 2时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn 没有正整数解.该定理被提出后,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁&

4、#183;怀尔斯证明.1.下列说法不正确的是().A.综合法是由因导果的顺推证法B.分析法是执果索因的逆推证法C.综合法与分析法都是直接证法D.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用【答案】D2.已知m>1,a=-,b=-,则以下结论正确的是().A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b的大小不定【解析】要比较a,b的大小,即比较-与-的大小,即比较+与2的大小,即比较2m+2与4m的大小,因为2m+2<2m+2m=4m,所以a<b.【答案】B3.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是. 【解析】y2=()2=a+b>=x

5、2,即x<y.【答案】x<y4.设a>0,f(x)=+是R上的偶函数,求a的值.【解析】f(x)是R上的偶函数,f(-x)=f(x),(a-)(ex-)=0对于一切xR成立,由此得a-=0,即a2=1,又a>0,a=1.综合法的应用如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CDAE,(2)证明:PD平面ABE.【方法指导】解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理,再用定理进行证明.【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD,AC

6、CD,PAAC=A,CD平面PAC,而AE平面PAC,CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60°,可得AC=PA,E是PC的中点,AEPC.由(1)知AECD,且PCCD=C,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD,PA底面ABCD,PAAB,又ABAD,PAAD=A,AB平面PAD,ABPD,又ABAE=A,PD平面ABE.【小结】综合法是“由因导果”,它是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知到未知的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证结论的真实性.分析法的应用已知a>0,b>0,且a

7、+b=1,试用分析法证明不等式(a+)(b+).【方法指导】化简不等式可运用分析法证明得出结论.【解析】要证(a+)(b+),只需证ab+,只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,只需证4(ab)2+4(1-2ab)-25ab+40,只需证4(ab)2-33ab+80,即证ab8或ab,只需证ab,而由1=a+b2,知ab显然成立,即原不等式(a+)(b+)成立.【小结】对于较复杂的不等式,可用分析法使其转化成为简单的不等式或显而易见的不等式,从而使命题得证.综合法与分析法的综合应用已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,求证:+.【方法指导】要证明结论成立,可以证明其对应的平

8、方式成立,可以以此为入手点进行展开.【解析】(法一)分析法要证+,只证a+b+c+2+2+23,即证2+2+22,也就是证+1=a+b+c.a,b,c是正实数,2(a+b+c)2(+),a+b+c+,不等式显然成立.+.(法二)综合法a,b,c是正实数,2(a+b+c)2(+),a+b+c+2(+)3(a+b+c)=3,(+)23,+.【小结】分析法和综合法是直接证明中的“姊妹”证明方法.两种方法各有优缺点,分析法利于思考,综合法易于表述.因此,在实际解题中,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程.设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+

9、a3=m,求证:+.【解析】+=(a1+a2+a3)(+)=3+(+)+(+)+(+)(3+2+2+2)=,当且仅当a1=a2=a3=时,等号成立.已知a>0,b>0,用分析法证明+.【解析】要证+,只需证a+b(+)=a+b,即证a(-)b(-),即证(-)(a-b)0,整理得(-)2(+)0.a>0,b>0,+>0,即证(-)20,该式显然成立,原不等式+成立.已知a、b、c(0,+),且a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)8.【解析】(法一)综合法(-1)(-1)(-1)=(-1)(-1)(-1)=··=8,当且仅当a=b=c时

10、取等号,所以不等式成立.(法二)分析法要证(-1)(-1)(-1)8成立,只需证··8成立.因为a+b+c=1,所以只需证··8成立,即··8.只需证····8成立,而··8显然成立,所以(-1)(-1)(-1)8.1.设集合A=x|<0,B=x|0<x<3,那么“mA”是“mB”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由<0得0<x<4,A=x|0<x<4,所以BA,可知若“mA

11、”则推不出“mB”;若“mB”则推得出“mA”,所以“mA”是“mB”的必要不充分条件.【答案】B2.已知函数f(x)=-2x+1对于任意正数,要使得|f(x1)-f(x2)|<成立,只需保证().A.|x1-x2|<B.|x1-x2|>C.|x1-x2|<D.|x1-x2|>【解析】要使得|f(x1)-f(x2)|<成立,只需证明|(-2x1+1)-(-2x2+1)|=2|x1-x2|<,即证|x1-x2|<,显然|x1-x2|<能保证|x1-x2|<成立.【答案】C3.已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那

12、么下列选项中一定成立的是. cb2<ab2;c(b-a)<0;ab>bc;ac(a-c)<0.【解析】a>c,ac<0,a>0,c<0,采用特值法,取c=-1,b=0,a=1.依次代入四个选项中,可知均错误,故选.【答案】4.已知a>b>0,求证:-<.(用分析法证明)【解析】要证-<,只需证(-)2<()2,即a+b-2<a-b,只需证b<,即证b<a,显然b<a成立,因此不等式成立.(2022年·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(

13、1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°,(2)sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°,(3)sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°,(4)sin2(-18)°+cos248°-sin(-18)°cos 48°,(5)sin2(-25)°+cos255°-sin(-25)°cos 55°.()试从上述五个式子中选择一个,求出这个常

14、数;()根据()的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】()选择(2)式,计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.()结论:sin2+cos2(30°-)-sincos(30°-)=.证明如下:sin2+cos2(30°-)-sincos(30°-)=sin2+(cos30°cos+sin30°sin)2-sin(cos30°cos+sin30°sin)=sin2+cos2+sinco

15、s+sin2-sincos-sin2=sin2+cos2=.    1.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边a、b、c应满足的条件是().A.a2<b2+c2B.a2=b2+c2C.a2>b2+c2D.a2b2+c2【解析】由cosA=<0知b2+c2-a2<0,所以a2>b2+c2.【答案】C2.要证a2+b2-1-a2b20,只需证().A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0C.()2-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0【解析】a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)0

16、,a2+b2-1-a2b20,故选D.【答案】D3.+2+(用“>”或“<”填空). 【解析】要判断左右两式的大小关系,只需判断(+)2与(2+)2的大小,即判断13+2与13+2的大小,2>2,+>2+.【答案】>4.求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积比正方形的面积大.【解析】设圆和正方形的周长为L(L>0),依题意知圆的面积为()2,正方形的面积为()2,因此只需证明()2>()2,为了证明()2>()2成立,只需证明>,两边同时乘以正数得>,因此,只需证明4>,上式显然是成立的,所以()2>

17、;()2,即命题成立.5.设a、b是实数,且a+b=3,则2a+2b的最小值是().A.6B.4C.2D.8【解析】2a+2b2=2=2=4,当且仅当a=b=时等号成立.【答案】B6.若log2log3(log4x)=log3log4(log2y)=log4log2(log3z)=0,则x+y+z等于().A.123B.105C.89D.58【解析】log2log3(log4x)=0,log3(log4x)=1,log4x=3,x=43=64,log3log4(log2y)=0,log4(log2y)=1,log2y=4,y=16,log4log2(log3z)=0,log2(log3z)=1

18、,log3z=2,z=9,所以x+y+z=89.【答案】C7.函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则+的最小值为. 【解析】函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图像恒过定点A(-2,-1),而A在直线mx+ny+1=0上,(-2)·m+(-1)·n+1=0,即2m+n=1,mn>0,+=(+)·(2m+n)=4+4+2=8,当且仅当=,即m=,n=时取等号.【答案】88.当a2时,求证:-<-.【解析】要证-<-,只需证+<+,只需证(+)2<(+)2,只需证a+1+a-2+2<a+a-1+2,只需证<,只需证(a+1)(a-2)<a(a-1),只需证a2-a-2<a2-a,只需证-2<0,上式显然成立,所以-<-.9.已知a,b,c>0,且a+b>c,设M=+,N=,则M与N的大小关系是. 【解析】a,b,c>0,a+b>c,M=+>+=>=N.【答案】M>N10.设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数f(