【2020年】广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)及解析

1、广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1. （5 分）若集合 A=x|x2-2x-3V0，B= - 1, 0，1, 2，则 AHB=（）A.-1，0，1，2B. x|-1vxv3C. 0，1，2D.-1，0，12. （5 分）已知复数 z 满足（z- i） i=2+i，i 是虚数单位，则| z| =（）A.B.C.: D. 33. （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件* x+y4，则 z=3x+y 的最大值为（）A. 12 B. 11 C. 3 D.- 14. （5 分）设 X

2、N （1, 1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若 XN（，d2），贝UP（厂（VXvP+o）=68.26% P（厂 2eVXvp+2o）=95.44%）1BA013 3 * *A. .7539 B. 6038C. 7028 D. 65875. （5 分）数学文化算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八一 ”，其意大致为：有 一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍， 共有 381 盏灯，则该塔中间 一层有（）盏灯.A. 24 B. 48 C

3、. 12 D. 606. （5 分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若 这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A.丙被录用了 B.乙被录用了C甲被录用了 D.无法确定谁被录用了10. （5 分）已知 ABC 的三个内角 A, B、C 的对边分别为 a、b、c,若 2sin2-）=1,且 a=2,则厶 ABC 的面积的最大值为（）6A.二 B.C 三D. 2 -32VI1X2018D. 2C（5 分）函数 ： _一的部分图象大致为（7.11.（5 分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥

4、外接球的体积为（）鱼XA.厂B. 1C.二D. 12. （5 分）定义在 R 上的奇函数 f （x）满足条件 f （1+x） =f （1 - x）,当 x 0,1时，f（x） =x,若函数 g（x） =|f （x） | - ae-lxl在区间-2018, 2018上有 4032个零点，则实数 a 的取值范围是（）A. (0, 1) B. (e, e3)C. (e, e2)D. (1, e3)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，13. （5 分）已知，二 * 二.1_、，若 I ，贝 U 入 _ .14._（5分） 在 （1- x）2（1 - 7）4的展开式中，x2的系数

5、是_ .JT十iI I15.（5 分）已知函数 f（x）=4sinw-sin2（7+） -2sin23x（30）在区间A I 上是增函数，且在区间0, x上恰好取得一次最大值，则w的取值范围是_ .16.（5 分）从抛物线 x2=4y 的准线 I 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA PB,且 A、B 为切点，若直线 AB 的倾斜角为-,则 P 点的横坐标为_6、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分其中 仃至 21 题为必做题，22、23 题侧视團侧视團为选做题解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.( 12 分)设正项等比数列an，a4=81，且臣，a3的等差中项为：.：(I)

6、求数列an的通项公式；(II)若bn=log3a2n-i，数列bn的前 n 项和为 Sn,数列,Tn11n4 Sn-1为数列cn的前 n 项和，若 TnV入恒成立，求入的取值范围.18. (12 分)女口图，在四棱锥 P ABCD 中，PC 丄底面 ABCD AD/ BC, AD=2BC=2PC=2 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E 是 PD 的中点.(I) 求证：平面 EACL 平面 PCD(II)求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.19. (12 分)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投 保交强险第一年的费用(基准保费)统一为 a 元，在下

7、一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮 10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮 20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮 30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮 10%A上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮 30%某机构为了解某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 100 辆车龄 已满三年的该

8、品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这 100 辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（I） 按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定，a=950（元），记 X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用， 求 X 的分布列与数学期望；（II） 某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000 元，一辆非事故车盈利 10000 元：1若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一

9、辆事故车的概率；2若该销售商一次购进 100 辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求该销售商获得 利润的期望值.20.（12 分）已知椭圆 Ci: +耳二1 （ab0）的一个焦点为 Fi（山晶）,乩乩 b且经过点P I 亓（I） 求椭圆 C 的标准方程；（II） 已知椭圆 C2的中心在原点，焦点在 y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的 入倍（心 1），过点 C（- 1, 0）的直线 I 与椭圆 C2交于 A，B 两个不同的点，若求厶 OAB 面积取得最大值时直线 I 的方程.21.（12 分）已知函数（a R）.x（I） 讨论 g （x）的单调性；（II） 当-时，函数-I

10、-:.在其定义域内有两个不同的e2极值点，记作 X1，X2，且 X1 2 的解集；(U)设函数 f (x)的最大值为 M，若不等式 x2+2x+mM 有解，求 m 的取值 范围.2018 年广东省茂名市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的1.（5 分）若集合 A=x|x2-2x-3V0，B= - 1, 0，1, 2，则 AHB=（）A.-1，0，1，2B.x|-1vxv3C.0，1，2 D.-1，0，1【解答】解：集合 A=x| x2- 2x- 3v0 =x| - 1vxv

11、3，B= - 1, 0, 1, 2，则 AHB=0,1,2.故选：C.2.（5 分）已知复数 z 满足（z- i） i=2+i, i 是虚数单位，则| z| =（）A.匚 B. = C. - D. 3 【解答】解：由（z- i） i=2+i，得 z- i= i 1i-i2 z=1- i,则 lzl =：+ _| i -故选：A.3.（5 分）已知变量 x, y 满足约束条件-x+y4 ,则 z=3x+y 的最大值为（）A. 12 B. 11 C. 3 D.- 1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=3x+y 得 y= - 3x+z,平移直线 y=- 3x+z,由图象可知当直线 y

12、=-3x+z,经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大.由饭，解得(应,Lx-y=l1尸2即 A ( 1 , 2),此时 Zmax=3X3+2=11,4. (5 分)设 XN (1,1),其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若 XN( , d2),贝UP(厂oXV戍o) =68.26% P(厂 2eVXvp+2 o)=95.44%)D. 6587【解答】解：XN (1 , 1),Ap= 1o=1p+o=2 P( p- oXVp+d=68.26%, 则 P(0X2)=68.26%则 P (1 X 2)

13、 =34.13%,A阴影部分的面积为：0.6587.A正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点,贝 U 落入阴影部分的点的个数的估计值是A. .7539 B. 6038C. 70286587.故选：D5. （5 分）数学文化算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八一 ”，其意大致为：有 一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍， 共有 381 盏灯，则该塔中间 一层有（）盏灯.A. 24 B. 48 C. 12 D. 60【解答】解：根据题意，设最底一层有 a 盏灯，则由题意知从下而上，第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a 为首

14、项，以 1 为2公比的等比数列，a（l7）2十又由3=.=381，1-2解可得 a=192,则 a4=ax（書）3=24，2即该塔中间一层有 24 盏灯；故选：A.6. （5 分）甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若 这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A.丙被录用了 B.乙被录用了C甲被录用了 D.无法确定谁被录用了【解答】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话， 不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，贝 U 丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成

15、立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立.故选：C.1010CABD否否Ar2008是输出S结束结束7.（5分） 函数七8. （5 分）执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 值是（）A.丄 B.- 1 C. 2018 D. 2【解答】解：f （- x） =- f （x）,可得 f （x）为奇函数，排除 B, .-；-二0 时，【；.亠，i I- H 匚，.在区间（1, +X）上 f （X）单调递 刃刃3X增，排除 D，故选 C.开皓开皓k=k-l【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始 S=2 当 k=0 时，SD=-1, k=1 时，Si=,2同理 S?=2,

16、S3=- 1,SF丄，2可见 Sn 的值周期为 3.当 k=2017 时，S2oi7=S，2k=2018,退出循环输出 S=.2故选：A.229. （5 分）设 P 是双曲线1. I.H上的点，Fi,冃是其焦点，且a2b2PFi丄 PF2,若厶 PFF2的面积是 1,且 a+b=3,则双曲线的离心率为（）A. .2 B.： C.匚 D.2 2【解答】解：方法一：设|PF|=m, |PR|= n,由题意得由 PF 丄 PR, PF1F2的面积是 1,贝 mn=1,得 mn=2,2 RtAPF1F2中，根据勾股定理得 m2+n2=4c2 （ m - n）2=m2+n2- 2mn=4c?- 4,结合

17、双曲线定义，得（m- n）2=4a2,4c?- 4=4a?，化简整理得 c - a2=1，即 b2=1,则 b=1,由 a+b=3，得 a=2,所以 c=二=,该双曲线的离心率为 e= = -,a 2故选 C.V 2方法二：由双曲线的焦点三角形的面积公式S= $，/RPFFB,taiTT由 PF 丄 PE，则/RPFF902则厶 PFF2的面积 S _=b2=1，由 a+b=3,得 a=2,所以。=：2+护,该双曲线的离心率为 e=-,a 2故选 c.10. （5 分）已知 ABC 的三个内角 A, B、C 的对边分别为 a、b、c,若 2sin2-_） =1,且 a=2,则厶 ABC 的面积

18、的最大值为（）6A.B.C.D.2_、32【解答】解：T2sin（-）=1,A（0, n）,2 6一 , L一 = 一- -= ,2 6 6根据基本不等式得：4=b2+c2+bc2bc+bc=3bc.即卩 bcW 3当且仅当 b=c 时,等号成立. ABC 面积 S=bcsi nAw -=-（当且仅当 b=c 时，等号成立）22 323 ABC 的面积的最大值.3故选：B.11. （5 分）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（又 a=2 ,由余弦定理得:4=b2+c?2bc即4=b2+c2+bc.【解答】解析：三棱锥的直观图如图，以厶 PBC 所在平面为球的截面,A. W“ B.

19、二 C. - :TD.:T侧视團侧视團则截面圆 Oi 的半径为：.：-I ,以厶 ABC 所在平面为球的截面,2血岀则截面圆 02 的半径为1球心 H 到厶 ABC 所在平面的距离为| -亠所以球的体积为 r .- |=4.3故选：A.12. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f (x)满足条件 f (1+x) =f( 1 - x),当 x 0,1时，f(x) =x,若函数 g(x) =|f (x) | - ae-lxl在区间-2018, 2018上有 4032 个零点，则实数 a 的取值范围是()A. (0, 1)B.(e, e3)C. (e, e2)D. (1, e3)【解答】解： f (

20、x)满足条件 f (1+x) =f (1 - x)且为奇函数，函数 f (x) =f(2 - x) = - f (- x) f (- x) =f (2+x) ? f (x+4) =f (x)二 f (x)周期为 4,当 x 0, 1时，f (x) =x，根据 m (x) =| f (x) | 与 n (x) =ae|x图象，函数 g (x) =|f (x) | - ae-|x|在区间-2018, 2018上有 4032 个零点，即 m (x) =| f (x) |与 n (x) =ae-|x|在0, 4有且仅有两个交点，.fmdXnd)二二 即 evave3.故选：B则球的半径 R 为二、填空

21、题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，13-（5分）已知 i 二* 二.|_、.，若-一，则入=一-【解答】解：:,-1 = 1+2 入=0解得入=2故答案为：1.214. （5 分）在（1 x）2（1 -.；:）4的展开式中，x2的系数是-10 .【解答】解：（1 x）2（1 T）4= （1 2x+x2） （1 4 T+ ：，：-；_&/； : -+x2） x2的系数=1 2 :+仁-10.4 4故答案为：-10.15. (5 分)已知函数 f (x) =4sinwsin2(-+ ) 2sin2wx( w0)在区间24二.二上是增函数，且在区间0, x上恰好取得一次最大

22、值，则w的取值范围是【解答】解:f(x)=4sinw sin2(+)-2sin2wx壬兀、1-c 口 s32w -二-2sinwx 23x(1+sinw) 2sinwx=2sinw，即：f（x）=2sinw，/-，土是函数含原点的递增区间.又；函数在一上递增， = 乂_ 亍=4sin=2sinjr ”兀- -W 加 4 得 3 兀三兀，得又I 30, -二0又函数在区间o,n上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知 CDx=2k 士士, k Z,2即函数在 Xh+处取得最大值，可得 0W-W n,G) 223-3,2综上，可得 !-.亍故答案是：=16. (5 分)从抛物线 x2=4y 的

23、准线 I 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA PB,且 A、 B 为切点，若直线 AB 的倾斜角为则 P 点的横坐标为_一匚63【解答】解：如图，设 A (xi, yi), B (X2, y2), P (xo,- 1),Vs6 32切线PB的方程为 y- =(x- x?),即:.-.,-.r000),所以 _（4 分）（II ） 由（I ）得：门二.由题意， 得閔二中qj二名3 q+丑Q且+巧q)（2分）（5 分） （6 分）故答案为：；戸n（b i+bn） nl + （2n-l） 2.1，（8 分）n4n2-l22n-l 2n+l 一 _ 1 11 i .,1_ .，（10分）若.% 2

24、口+1则2n+l18.（12 分） 女口图， 在四棱锥 P ABCD 中， PC 丄底面 ABCD AD/ BC, AD=2BC=2PC=2 ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E 是 PD 的中点.（I）求证：平面 EACL 平面 PCD（II） 求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.【解答】 证明：（I）： PC 丄底面 ABCD AC?底面 ABCD - PCX AC,由题意可知，AD / BC,且 AD=2BC=2 ABC 是等腰直角三角形，AC：二.，CD=匚，- （2 分）CD2+AC2=AD2，即卩 ACXCD, （3 分）又 PCH CD=C （4 分）AC 丄

25、平面 PCD, - （5 分）：AC?平面 EAC 平面 EACX平面 PCD- （6 分）解：（II）解法 1:由（1）得平面 EACX平面 PCD 平面 EACH 平面 PCD=EC作 PH 丄 EC,则 PH 丄平面 EAC, （8 分）PA 与平面 EAC 所成角为/ PAH, （9 分）在 RtAPAC 中, PA=二,2n-l 2n+l 2n+lb0)的一个焦点为 R (0,晶),Z 11 2a b且经过点 P.(I) 求椭圆Ci的标准方程；(II)已知椭圆 C2的中心在原点，焦点在 y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆Ci的长轴和短轴的长的 入倍(心 1),过点 C(- 1, 0

26、)的直线 I 与椭圆 C2交于 A,B 两个不同的点，若 ,求厶 OAB 面积取得最大值时直线 I 的方程.【解答】解：(1)设椭圆 G 的另一个焦点为F 吨)，由题意可得， PFF2为直角三角形，则.：I -7H-， A】1 Ti :- :2v由椭圆的定义得.-厂 w : - .，即 a=3,又由 b2+c2=a2,得 b=2,椭圆 G 的标准方程-:，-;942 2(2)设椭圆 C2 的方程为-+-=1, A (X1, yj, B (X2, y.942 1,A 点 C (- 1, 0)在椭圆内部，直线 I 与椭圆必有两个不同的交点. 当直线 I垂直于 x 轴时，百-斥(不是零向量)，不合条

27、件；故设直线 I 方程为 y=k (x+1) (A, B, O 三点不共线，故 kM 0),V -:-,而点 C (- 1, 0),(1 -X1,- yj =2 (X2+1, y2),即 y1=- 2y2,贝 U y1+y2= - y2,-18k 9+4k2丄fy=k(x+l)4/+9F二36入得:|-.9+4k2:.OAB 的面积为SAOAB=SAO(+SABO(= _I |R_、 ，|_1 ii i 3 12|k| = Zl / 27 _9= =- 一 .上式取等号的条件是，即 k= 时， OAB 的面积取得最大值. 直线1的方程为.-：或.-1 i :21- (12分)已知函数-(a R

28、) x(I) 讨论 g (x)的单调性；(II)当一时，函数_1 :-，:,在其定义域内有两个不同的极值点，记作 X1, X2,且 X1 0 , 方程 2/+x - a=0 的两根为_-1+8 呂_ _1+V1 +Sa：T -二 -，当-一匸时，X1 X20 时，X1 0X2, g (乂乂)在(X2, + +X)为增函数，在(0, X2为减函数，综上所述：当 a0 时，g (X)的增区间为(X2, +x),减区间(0, X2,(II)证明：f (X)=XInx$x2 x+a,所以f(X)=lnx- ax因为 f (X)有两极值点 X1, X2,所以 InX1=ax1, InX2=ax2,欲证,

29、.V.- .等价于要证：. 1,即 1+mvIn xi+m In x2,所以 1+mvInxi+mInX2=axi+max2=a (xi+mx2),因为 m1, 0vxivx2,所以原式等价于要证明： 又 Inxi=axi, Inx2=ax?,作差得 In=a (xi- X2),所以 a=-x所以原式等价于要证明：X ! -Z 2 X J +lBX2X2XJ+IDZ2令 t=3 , t ( 0, i),上式等价于要证：1*(山)t-1),t ( 0, i), Xo t+m当 mi 时，h (t)0,所以 h (t)在(0, i) 上单调递增，因此 h (t)vh (i) =0,所以 I-在 t ( 0, i)上恒成立，所以原不等式成立.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修 4-4 :坐标 系与参数方程选讲22.( i0 分)在直角坐标系 xOy 中，直线 I 倾斜角为a其参数方程为，:(y=tsina所以- :- 11/八”丄丄X I/n?t (t+lD) )（t 为参数），在以原点 0 为