线性代数课程复习大纲与练习题

1、线性代数课程复习大纲与练习题参考书目主编版次出版社价格线性代数王萼芳第一版清华大学出版社17元第一章 线性方程组1.线性方程组的概念（1）线性方程组的一般形式： （2）用消元法判断线性方程组是否有解，并求出解2.初等变换对线性方程组进行求解（1）初等变换的定义（2）用初等变换将线性方程组化为同解的阶梯形方程组，从而判断是否有解3.用矩阵的秩判断线性方程组是否有解记称为线性方程组的系数矩阵; 称为线性方程组的增广矩阵（1）线性方程组有解秩（A）秩（）当线性方程组有解时：秩（A）未知量个数n时, 线性方程组有唯一解;秩（A）<未知量个数n时，线性方程组有无穷多解。（2）线性方程组无解秩（A）

2、<秩（）4.齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式）只有零解；r(A)<n，（或系数行列式D0）有无穷多组非零解。（2）解的结构：。（3）求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。 第二章 向量空间1. 维向量的基本概念向量是另一种描述事物形态的数量形式，由个数构成的有序数组称为一个维向量,称这些数为它的分量.2. 维向量的线性运算和线性组合（1）向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全一样的运算规律；（2）向量组的线性组合:设是一

3、组维向量, 是一组数,则称为的(以为系数的)线性组合.它也是维向量.2.向量组的线性相关性（1） “向量是向量组的线性组合”或“向量可由向量组线性表出”的定义（2）“向量组可由向量组线性表出”，“向量组与向量组等价” （3）向量组线性相关的定义 （4）向量组线性无关的定义（5）两个判别法可由线性表出有解线性相关（线性无关）有非零解（只有零解）3.求向量组的一个极大线性无关组4.向量组的秩（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法设A()，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。5.子空间的定义，以及用线性无关的向量组生成向量空间

4、6.向量的运算：（1）向量内积；（2）向量长度（3）向量单位化；（4）向量组的正交化（施密特方法）设线性无关，则，。第三章 行列式1行列式的定义用个元素组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算（1）一阶行列式，二、三阶行列式有对角线法则；（2）N阶（n3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。（3）特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等

5、于主对角线上元素的乘积；（4）行列式值为0的几种情况：行列式某行（列）元素全为0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。3.用克拉默法则求解线性方程组的解：线性方程组的系数行列式不等于零。第四章 矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若ABBA，称A、B是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则；3矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用

6、定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若ABBAI，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：，；（3）可逆的条件： ；r(A)=n; （4）逆的求解伴随矩阵法；初等变换法 5用逆矩阵求解矩阵方程：，则；，则；，则第五章 特征值与特征向量1定义对方阵A，若存在非零向量X和数使AXX，则称是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程的根即为

7、特征值，将特征值代入对应齐次线性方程组(I-A)X0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3重要结论：（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；（2）A与A的转置矩阵有有相同的特征值；（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。4.矩阵的相似（1）定义对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使，则称A与B相似。（2）求A与对角矩阵相似的方法与步骤（求P和）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为。（3）求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方

8、法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。5.二次型（1）定义n元二次多项式称为二次型，若，则称为二交型的标准型。（2）二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，即正交变换既是相似变换又是合同变换。（3）二次型或对称矩阵的正定性：定义；正定的充要条件：i.A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；ii.A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；期末综合练习题一、单项选择题1. 若都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( D ). (A) . (B) . (C) . (D) .参见课本P116矩阵的乘法，P1

9、22转置、方幂，P132逆矩阵2. 若为三阶方阵，将矩阵第一列与第三列交换得矩阵，再把矩阵的第二列加到第三列得矩阵，则满足的可逆矩阵为( C ).(A) . (B) . (C) . (D) .参见课本P113、P132，矩阵的运算、变换，逆矩阵3.若都是阶方阵，且，则必有( C ). (A) . (B) . (C) . (D) .参见P113，矩阵的运算4.已知向量组的秩为3，向量组的秩为3，向量组的秩为4，则向量组的秩为 （ B ） . (A) 3. (B) 4 . (C) 5. (D) 不能确定参见教材P43，向量组的秩5. 是非齐次线性方程组有无穷多解的 ( B ). (A) 充分条件.

10、 (B) 必要条件. (C) 既非充分条件又非必要条件. (D) 不能确定.参见教材P10，线性方程组有解判别定理6. 若向量组，的秩为2，则为 ( B ).(A) 1. (B) -2. (C) 2. (D) -1.参见教材P43，向量组的秩7.设A, B为n阶方阵，且r(A)=r(B)，则( D ).(A) ； (B) ；(C) ； (D). 参考教材P135-1388.下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是( A ). (A) . (B) . (C) . (D) .参见教材P1619.已知是阶可逆矩阵，则与必有相同特征值的矩阵是( C ). (A) . (B) . (C) . (D) .参考教

11、材P152，特征值与特征向量10. 设矩阵，则行列式( A ).(A) ；(B) ； (C) ；(D)参考教材P78，行列式性质与运算二、填空题1. 已知为3阶可逆矩阵，是的伴随矩阵，若 ，则= -4 .参见教材P132，逆矩阵2. 设=，则的基础解系中所含向量的个数是 2 .参见教材P13-153. 已知与相似，则= 4 .参见教材P159，相似矩阵4. 矩阵的逆矩阵为 .参见教材P132，逆矩阵5. 若矩阵为正定的，则满足的条件为.参考教材P175正定矩阵6. 若向量组线性相关，则_2_；参见教材P27，向量组的线性相关 7. 满足什么条件时，方程组有非零解。参见教材P19，齐次线性方程组

12、的解 8. 若方阵的每行的元素的和均为，则的一个特征值为，一个特征向量为。参见教材P152，特征值与特征向量9. 设4阶方阵的伴随矩阵为，且它们的秩为，则秩 1；参见教材P132-13810. 已知实二次型正定,则实常数的取值范围为 ； 参见教材175，正定二次型三、解答题1. 已知，其中，求矩阵.解：而 ，参见教材P113，矩阵运算2. 设矩阵，的秩为3，求.解：当时，；当时，从而参见P15，矩阵的秩3. 设都是4维列向量，且4阶行列式， ，求4阶行列式。解：参见教材P78，行列式的运算4. 设非齐次线性方程组 , 问为何值时, 系数矩阵的秩为2？并求此时方程组的通解 解：对增广矩阵进行初等

13、行变换 ， 当即时，系数矩阵的秩为2。此时，方程组有无穷多解， 得通解为 参见教材P145. 已知二次型通过正交变换化成标准形，(1) 求参数的值；(2)求正交矩阵.解:（1）相似于对角矩阵，所以有 解之得： （2）， 的特征值为 当时，解方程组得基础解系，正交话并单位化得；当时，解方程组得基础解系，单位化得。令，则在正交变换下，二次型有标准形：.参见教材P1636. 已知向量组，。求该向量组的秩以及一个极大无关组。解：所以该向量组的秩为3，而线性无关，为其一个极大无关组。参见教材P36-407. 求正交变换 ，用此正交变换将二次型化为标准形。解：二次型的矩阵为 其特征值为解，得所对应的特征向量为解，得所对应的特征向量为三个特征向量是相互正交的。正交变换矩阵为，标准型为参见教材P165-1738. 设线性方程组为，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时