线性代数习题解答

1、第三章线性方程组基本概念及学习要求1.掌握向量的概念；2.理解向量的线性组合与线性表示、向量的线性相关与线性无关等概念，会利用相关定理判定一个向量能否由一个向量组线性表示、向量组是线性相关或是线性无关，特别是会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关； 3.准确理解向量组的极大线性无关组及向量秩的概念及相关定理，会求向量组的极大线性无关组和秩；4.掌握线性方程组有解的条件，理解线性方程组的高斯消元法，熟练掌握含参数线性方程组的求解技巧；5.熟悉齐次线性方程组解的结构，熟练掌握齐次线性方程组基础解系的求法；6.熟悉非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握非齐次线性方程组通解的求法释疑问题 含参数的线性方程

2、组如何求解?解 系数矩阵和增广矩阵含有参数的线性方程组称为含参数线性方程组因为参数的不同取值必定会影响到方程组的有解性以及有多少个解，因而含参数线性方程组必须对参数取值加以讨论求解含参数线性方程组时通常有以下两种方法： 方法1 对线性方程组的增广矩阵用初等行变换的方法化为阶梯形矩阵，然后根据是否成立，讨论参数取何值时线性方程组的有解性 方法2 当方程的个数与未知量个数相同时，可以先利用克拉默法则，即计算系数行列，对于使得的参数值，方程组有唯一解而对于使得的参数值，可列出增广矩阵，然后用初等行变换将其化为阶梯形矩阵进行讨论因此，这里需要特别值得注意的是，当线性方程组所含方程个数与未知量个数不相等

3、时，只能用方法1进行求解 §3.1向量组及其线性组合 3. 问：向量是否为向量组的线性组合？解 不妨设，这就是要问线性方程组请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。是否有解显然此方程无解，因此不是的线性组合 4. 设，问：向量是否为向量组的线性组合？如果是，求一组组合系数解 不妨设，这就是要问线性方程组 请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。 （3.2）是否有解，而且有解时其解就是组合系数易知，方程组（3.2）的系数行列式，故方程组（3.2）有唯一解因此，是向量组的线性组合再求组合系数即求方程组（3.2）的解由克拉默法则知，方

4、程组（3.2）的唯一解为：，从而有5. 设向量组() ，向量组() ，试求:(1)向量组()由向量组()线性表示式.(2)向量组()由向量组()线性表示式.解(1) 因为向量组()由向量组()线性表示，设，为线性表示系数矩阵，则有.由于，故可逆，因此，下求.对作初等行变换如下:，所以，从而向量组()由向量组()线性表示式为:请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。(2)因为 可逆，由可得，从而向量组()由向量组()线性表示式为: §3.2向量组的线性相关性 1. 设，(1)问为何值时，向量组线性相关；(2)问为何值时，向量组线性无关；(3)当线性相关时，将

5、表示为的线性组合 解 设有数，使得，即有 请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。此齐次方程组的系数行列式 (1)当，即时，方程组有非零解，所以线性相关；(2)当，即时，方程组仅有零解，所以线性无关；(3)当时，设，可解得，于是2 (3)当时，设，有 可解得，于是2 2. 设向量组线性无关，问常数满足什么条件时，向量组线性无关解 设有常数，使得，整理得 因为线性无关，故有请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。当方程组的系数行列式，即时，上述方程组只有零解，这时向量组线性无关 3. 设为维向量，且向量组线性无关，证明向量组线性无关证 设有

6、常数，使得 为了利用已知条件，令 ，解得 代入式得 整理得 已知线性无关，故有 请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。 因为该方程组的系数行列式，故该方程组仅有零解，即式当且仅当时成立，说明线性无关 §3.3 向量组的秩1. 已知向量组：， ：，证明：组能由组线性表示, 但组不能由组线性表示证 设 , 由 ，知，所以组能由组线性表示 由 ，知因为所以组不能由组线性表示 3. 求向量组的一个极大无关组，并把其余向量都用极大无关组表示出来(3)，解： 以为列构成一矩阵，即，然后对其作初等行变换，矩阵与的列向量组有完全相同的线性关系，从而由可知：为的一个极大无

7、关组；+，+3.4 线性方程组的解的结构1. 用消元法解下列线性方程组： (2) 请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。解 对方程组的增广矩阵作行初等变换，有，故有同解方程组设为非自由未知数，为自由未知数，有 令 所以 方程组的通解是 写成向量形式为 其中2. 取什么值时，线性方程组有解？在有解的情形，求一般解解 对方程组的增广矩阵行作初等变换： ，易知，当或时， ，此时原方程组都无解只有且时，此时原方程组有解； 当，时，原方程组与方程组同解，设为非自由未知数，为自由未知数，有令 则其一般解为 其中为任意常数，写成向量形式为 4.向量组，试问：当满足什么条件时，(

8、1)可由线性表示，且表示唯一？(2)不能由线性表出？(3)可由线性表出，但表示不唯一？并求出一般表示式分析 是否可由线性表示，相当于对应非齐次线性方程组是否有解的问题，可转化为方程组解的情形进行讨论解 设有一组数，使得故有 该方程组的系数行列式，(1) 根据克莱默法则，当时，方程组有唯一解，可由线性表出，且表示唯一(2) 当时，对增广矩阵作初等行变换，有，易知，若，则，方程组无解，不能由线性表出(3)当，且时，方程组有无穷多解，可由线性表出，但表示不唯一求得方程组的解为：（为任意常数），因此有5. 问为何值时，线性方组请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。有唯一解

9、、无解、无穷多组解，并求出其唯一解和一般解解 对方程组的增广矩阵施以初等行变换，(1)当时，原方程组有唯一解，且可求出唯一解为(2)当时，当时，原方程组无解；当时，原方程组有无穷多组解，将，代入，易求出其通解为，其中为任意常数6. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解： (2)解 ，所以原方程组同解于 设为非自由未知数，为自由未知数， 令 可得由此可得基础解系为：，则该齐次线性方程组的全部解为：，其中为任意常数7. 设有如下线性方程组，试用其一固定解和其导出方程组的基础解表出其全部解(1) 解 (1)对方程组的增广矩阵作行初等变换，有，由此可知， ，原方程组有无穷多解原方程组对

10、应的同解方程组： 取为自由未知量，并令其全为，得原方程组一个特解：，原方程组的导出组对应的同解方程组为：于是令可得 故得 导出组基础解系：，因此，原方程组的全部解可表为：，其中为任意常数8. 某地区的交通网络如下图所示，在高峰期间，每小时进入网络的汽车是800辆等于离开网络的车辆数，设网络内道路均为单向通车，不能停留，在每一道路交叉点处进入或离开的车辆数也相等，试写出并求解网络内交通流量的方程组，并对解作出符合实际意义的解释2003003002002003001000000解 设段的车辆数分别为，对每个道路交叉点都看写出一个流量平衡方程，比如点，从图上看，进入车辆数为，而离开车辆数为，于是有：对点：；对点：；对点： ；对点： ；对点： 这样可以得到一个描述网络流通量的线性方程组：增广矩阵,对应同解方程组：取为自由未知量，令得方程组的特解：方程对应的组导出组为：令得导出组的一个基础解系：