第3讲：数列教师版

1、专题一：数列综合41. 已知等差数列满足：，.的前n项和为. （）求及；（）令（）,求数列的前n项和.【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=。（）由（）知，所以bn=，所以=，即数列的前n项和=。42. 在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（）证明成等比数列；（）求数列的通项公式；【解析】（I）证明：由题设可知，。从而，所以，成等比数列。（II）解：由题设可得所以.由，得 ，从而.所以数列的通项公式为或写为，。43. 数列 中，前n项和满足- （n）. ( I ) 求数列的通项公式以及前n项和； （II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+

2、S3 ) 成等差数列，求实数t的值。44. 已知为等差数列，且，。（）求的通项公式；（）若等差数列满足，求的前n项和公式解：（）设等差数列的公差。 因为 所以解得所以 （）设等比数列的公比为 因为所以 即=3所以的前项和公式为45. 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足+15=0。（）若=5，求及a1；（）求d的取值范围。()解：由题意知S6=-3，A6=S6-S5=-8，所以解得a1=7，所以S6= -3,a1=7()解：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)

3、2=d2-8. 所以d28.故d的取值范围为d-2或d2.46. 设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.()证明：为等比数列；（）设，求数列的前项和.47. 已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；由Sn+1Sn，得，最小正整数n=1548. 设等差

4、数列满足，。（）求的通项公式； （）求的前项和及使得最大的序号的值。解：（1）由am = a1 +（n-1）d及a1=5，aw=-9得 解得数列am的通项公式为an=11-2n。 (2)由(1) 知Sm=na1+d=10n-n2。因为Sm=-(n-5)2+25.所以n=5时，Sm取得最大值。49. 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（）求通项及；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.50. 已知是各项均为正数的等比数列，且，（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和。51. 已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。（）求数列的通项公式；（）设，求

5、数列的前n项和52. 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问的最小正整数是多少?【解析】（1）,.又数列成等比数列， ，所以；又公比，所以 ；又,；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（2）； 由得，满足的最小正整数为112.53. 设为数列的前项和，其中是常数（I）求及；（II）若对于任意的，成等比数列，求的值解析：（）当，（）经验，（）式成立，（）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立，54. 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。（1）求数列的通项公式及

6、前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。【解析】 （1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2)（方法一）=,设，则=, 所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。55. 等比数列的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则相减,得所以56. 已知数列an的前n项和Sn=2n2+2n，数列bn

7、的前n项和Tn=2-bn（）求数列an与bn的通项公式；（）设cn=an2bn，证明：当且仅当n3时，cn+1cn【解析】(1)由于当时,又当时数列项与等比数列,其首项为1,公比为(2)由(1)知由即即又时成立,即由于恒成立.因此,当且仅当时,57. 已知等差数列的公差d不为0，设（）若 ,求数列的通项公式；（）若成等比数列，求q的值。【解析】（1）解：由题设，代入解得，所以（2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得58. 已知函数，数列是公差为d的等差数列，是公比为q（）的等比数列.若(1)求数列，的通项公式； (2)若对，恒有，求 的值；解：() ， . 即 ， 解得 d=2. . . , . , .又， () 由题设知 ， . 当时, , , 两式相减,得. (适合). 设T=, 两式相减 ,得 . .59. 已知数列，设 ，数列。 （1）求证：是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn； （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。解：1）由题意知，数列的等差数列（2）由（1）知，于是两式相减得（3）当n=1时，当当n=1时，取最大值是又即60. 已知，