第六章积分学SECTION12

1、四、定积分的求法定积分的性质分部积分法式中变量替换法 设函数在区间上有连续的导数，同时函数在区间上连续，并且从单调地变到，则利用函数奇偶性求积法若为偶函数，则若为奇函数，则利用积分对参数求导法设f(x,t)在有界区域上连续，并且存在连续偏导数，则当时，有例计算积分解设则.因所以.定积分表定 积 分定 积 分 值定 积 分定 积 分 值表中定 积 分定 积 分 值为正整数,a>0)定 积 分定 积 分 值 (n为正整数) (欧拉常数，下同)定 积 分定 积 分 值五、广义积分. 广义积分的概念无穷限广义积分设函数f(x)在a,b上可积，u>a,<b,u>,当下列各式右边的

2、极限存在时，这时称无穷限广义积分收敛，否则称为发散.无界函数的广义积分 设函数f(x)在给定区间a,b上只有一个瑕点x=c,即函数f(x)在x=c点的邻域内无界，而在a,c-及c+',b上可积，'为任意小的正数，当和'独立地趋于零，极限 (1)存在时，则用上式定义无界函数f(x)从a到b的瑕积分，记作柯西主值 有时极限（1）不存在，但如果设'=0，这个极限（1）存在，就称它为瑕积分的主值，记作这时称无界函数广义积分在主值意义下收敛，否则称为发散.绝对收敛与条件收敛 如果f(x)的广义积分与|f(x)|的广义积分同时收敛，那末称f(x)的广义积分是绝对收敛, f(

3、x)称为绝对可积；如果仅前者收敛，后者不收敛，那末称f(x)的广义积分是条件收敛.2. 广义积分收敛判别法1°收敛的充分必要条件是：对任意给定的>0,都存在N=N()>0,只要,就有|<.2°设f(x)是非负的，则收敛的充分必要条件是：F(u)=是有界函数.3°设当x时，f(x)=.若p>1,则收敛；若p1,则发散.4°若收敛，g(x)单调有界(xa),则收敛.5°设f(x)0,g(x)0,且f(x)cg(x)(xa,c是一个大于零的常数）.若收敛，则也收敛；若发散，则也发散.6°无穷级数与广义积分的关系：设f

4、(x)是定义在区间a,)上的一个正的非增连续函数，则级数f(a)+f(a+1)+··+f(a+k)+··与积分同时收敛或同时发散.7°广义积分（以a为瑕点）收敛的充分必要条件是：对任意给定的>0,都存在(a<<b),使当a<u'<u''<时|<.8°设g(x）有连续的导数，并是恒正的、单调下降的函数，且.若有常数M,使对一切u>a,都有|<M,则广义积分收敛.六、含参数积分1. 含参数常义积分连续性 若二元函数f(x,y)在有界区域R(axA,byB)上有定

5、义且连续，则是闭区间b,B上的连续函数.积分号下的微分法 若f(x,y)在有界区域R(axA,byB)上连续，并且存在连续偏导数(x,y)，则当b<y<B时，一般情况下，当积分限为参数y的可微函数和, 且当byB， aA,aA时， (1)积分的求导运算 以下公式为(1)的特殊情况.积分号下的积分法若函数在有界区域axA,byB上连续，则2 . 含参数广义积分一致收敛性 设函数f(x,y)是定义在区域R(ax<, y1<y<y2)上的连续函数，若对任意给定的>0，都存在只与有关的正数B=B(),使得当bB时，对区间(y1，y2)内一切y不等式都成立，则称广义积

6、分在区间(y1，y2)内一致收敛，并且在该区间内是参数y的连续函数.一致收敛判别法1°柯西判别积分在区间(y1，y2)内一致收敛的充分必要条件是：对任意>0，都存在正数B=B(),使得当b'>B,b''>B时，对区间(y1，y2)内的一切y,都有2°外尔斯特拉斯判别法 设函数f(x,y)(x的函数)在任一有限区间a,A上可积，若存在与参数y无关的函数F(x)，它在区间a,)上可积，并且对于区间(y1，y2)内的一切y |f(x,y)|F(x)(xa)则积分在区间(y1，y2)内一致收敛.对参数的微分法 若(i)函数f(x,y)在区域

7、R(ax<, y1<y<y2)内连续，并对参数y可微，(ii)积分收敛，(iii)积分在区间(y1，y2)内一致收敛,则当y1<y<y2时，对参数的积分法 若函数f(x,y)在区域R(ax<, y1<y<y2)内连续，并且在区间(y1，y2)内一致收敛，则七、斯蒂尔吉斯积分定义 设在区间a,b上给定两个有界函数f(x)和g(x).用任意方法把区间a,b分成若干部分，其分点为a=x0<x1<x2<< xi<xi+1<<xn=b并设是xi=xi+1-xi(t=0,1,n1)中最大的.在每个小区间上任取一点,作

8、和=当0时，如果极限存在，那末这个极限称为函数f(x)对函数g(x)的斯蒂尔吉斯积分，记作特别是，当函数g(x)在区间上连续可微时，函数f(x)对g(x)的斯蒂尔吉斯积分就是通常的黎曼积分可积性1°若函数f(x)连续，函数g(x)有有界变差，则积分（1）存在.2°若函数f(x)在区间a,b上黎曼可积，函数g(x)满足李普希茨条件：|g(x')-g(x'')|L(x'x'')(L为常数，ax''<x'b)则积分(1)存在.3°若函数f(x)在区间a,b上黎曼可积，函数g(x)可表示成g(x

9、)=C+式中C为常数，函数在区间a,b上绝对可积，则积分(1)存在.积分法则与不等式1°积分法则(k,l为常数)(a<c<b,三个积分都存在，当上式右边两个积分存在时，一 般不能推出积分存在）(分部积分公式)2°若g(x)在区间a,b上为一非减函数，则3°若g(x)在区间a,b上为一非减函数，则f(x)F(x),则八、积分的近似计算1.内插求积公式等距内插求积一般公式（柯斯特公式）(ba)式中为等距节点：=a+khk=0,1,2,n为柯特斯系数（见下表）.柯特斯系数表kn01234567891012345678910当区间a,b愈小，柯特斯公式所给出的

10、结果愈精确.因此，当区间a,b较大时，为了避免采用n值较大的柯特斯公式，常把a,bN等分，对其中各个等份应用n值较小的柯特斯公式求积，然后再把各个等份的积分值相加，即得到区间a,b上的积分值，如下述的梯形公式(n=1)和辛卜生公式(n=2).梯形公式=a+kh, k=1,2,N1 若M2,则截断误差为辛卜生公式=a+k, 若,则截断误差为龙贝公式 设 =则一般地，可适当选取m,使之固定，再增大k,使近似截断误差在允许误差范围内即可，这时具体计算过程可按下表自左而右，自上而下进行（表中箭头方向表示计算顺序）.k区间等分数01122438416532664例用龙贝公式计算积分误差不超过0.0000

11、001.解这里,a=0,b=1.可按五步进行计算，结果如下：(1) (2) (3)(4)(5) 可以继续算出3.140941614 3.1415926553.141592665 3.141592643因为 |-|=|3.1415926433.141592665|<0.0000001所以3.14159264而准确值为在等距内插求积公式中，以辛卜生公式和龙贝公式为好，计算简单，便于在电子计算机上实现(都有标准程序)，精确度也相当高.特别龙贝公式是采用区间逐次分半的方法,前一次分割得到的函数值在区间分半后仍可利用，具有计算有规律，不需存储柯特斯系数和节点等优点.但等距内插求积公式不能计算广义积

12、分.广义积分只能用下面的高斯型求积公式来计算.不等距内插求积公式（高斯型求积公式）高斯型求积公式为n=1,2,式中(a,b)区间可以是有限或无限，w(x)为(a,b)区间内的非负权函数.a<<<<b为求积节点（相应的正交多项式的根），(k=1,2,n)为求积系数.f(x)为不超过2n1次的多项式时，上述求积公式(1)成为等式.下面列出几种特例.1°(1<<1)式中为勒让德多项式(见第十二章，§2，一）的根.2°(1<<1)式中为第一类契贝谢夫多项式(见第十二章，§2，二）的根.它也可表为3°(1&

13、lt;<1)式中为第二类契贝谢夫多项式(见第十二章，§2，三）的根.4°(1<<1)5°2.高斯型求积公式的求积节点和求积系数表高斯求积公式式中为勒让德多项式的根.n求积节点求积系数20.57735 026921300.77459666920.88888888890.555555555640.33998104360.86113631160.65214515490.3478548451500.53846931010.90617984590.56888888890.47862867050.236926885160.23861918610.661209

14、38650.93246951420.46791393460.36076157310.1713244924700.40584515140.74153118560.94910791230.41795918370.38183005050.27970539150.12948496628052553240990.79666647740.96028985650.36268378340.31370664590.22238103450.1012285363n求积节点求积系数900.32425342340.61337143270.83603110730.96816023950.3302

15、3935500.31234707700.26061069640081274388410043339539410.67940956830.86506336670.97390652850.29552422470.26926671930.219086362500666713443勒贝陶求积公式式中为的根.n求积节点求积系数3100.33333 3331.33333 333410.44721 3600.166666670.83333333510.6546536700.100000000.544444440.711111116

16、10.765055320.285231520.066666670.378474960.55485838710.830223900.4688487900.047619040.276826040.431745380.48761904810.871740150.591700180.209299220.035714280.21070 4220.34112 2700.41245 880910.871740150.67718627950.363117463800.02777777780.16549536160.27453871260.34642851100.37151927441010.919533908

17、20.73877386510.47792494980.16527895770.0222222222022488934200.29204268360.3275397612拉盖尔求积公式式中为拉盖尔多项式（见第十二章，§2，四）的根.n求积节点求积系数20.58578643763.4142135624(-1)8.5355339059*(-1)1.46446609411.53332603314.450957335130.41577455682.29428036036.2899450829(-1)7.1109300993(-1)2.7851773357(-1)1.0

18、3892565021.07769285932.76214296195.601094625440.32254768961.74576110124.53662029699.3950709123(-1)6.0315410434(-1)3.5741869244(-2)3.8887908515(-4)5.39294705560.83273912382.04810243853.63114630586.487145084450.26356031971.41340305913.59642 577107.085810005912.6408008443(-1)5.2175561058(-1)3.986668110

19、8(-2)7.5942449582(-3)3.6117586799(-5)2.33699723860.67909404221.63848787362.76944324244.31565690097.219186354460.2228466042199273632615.77514356919.837467418415.9828739806(-1) 4.5896467395(-1)4.1700083077(-1)1.1337338207(-2)1.0399197453(-4)2.6101720282(-7)8.98547906430.57353550741.369252

20、59072.26068459343.35052458244.88682680027.849015945670.19304367661.02666489532.56787674504.90035308458.182153444612.734180291819.3957278623(-1)4.0931895170(-1)4.2183127786(-1)1.4712634866(-2)2.0633514469(-3)1.0740101433(-5)1.5865464349(-8)34964775975191824978172.77184863623

21、.84124912255.38067820798.40543248688090370177682.25108662994.26670017037.045605402410.758516010215.740678641322.8631317369(-1)3.6918858934(-1)4.1878678081(-1)1.7579498664(-2)3.3343492261(-3)2.7945362352(-5)9.0765087734(-7)8.4857467163(-9)1.04800117490.43772341051.03386934771.66970976572

22、.37692470183.20854091344.26857551085.81808336878.90622621539080722002272.00513515563.78347397336.20495677799.372985251713.466236911118.833597789026.3740718909(-1)3.3612642180(-1)4.1121398042(-1)1.9928752537(-2)4.7460562766(-3)5.5996266108(-4)3.0524976709(-6)6.5921230261(-8)4.1107693304(

23、-11)3.29087403040.39143112430.92180502851.48012790992.08677080762.77292138973.59162606814.64876600216.21227541989.3632182377*表示数，其他类同，.埃尔米特求积公式式中为埃尔米特多项式（见第十二章，§2，五）的根.n求积节点求积系数20.70710 67812(-1)8.8622692545*1.46114118273 01.22474 48714(0)1.1816359006(-1)2.95408975151323931175240.52464762331.6506801239(-1)8.0491409001(-2)805996448291.2402258177500.95857246462.0201828705(-1)9.4530872048(-1)3.9361932315(-2)1.99532420590.94530 872050.98658 099681.18148 8625560.43607741191.33584907402.3506049737(-1)7