第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题及详细解答(高年级)

1、第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A（小学高年级组）（时间: 2012年4月21日10:0011:30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 算式 的值为 .2. 箱子里已有若干个红球和黑球, 放入一些黑球后, 红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后, 红球的数量是黑球的三分之二. 若放入的黑球和红球数量相同, 则原来箱子里的红球与黑球数量之比为 .3. 有两个体积之比为5:8的圆柱, 它们的侧面的展开图为相同的长方形, 如果把该长方形的长和宽同时增加6, 其面积增加了114. 那么这个长方形的面积为 .4. 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食, 如果从甲粮库调90袋到乙

2、粮库, 则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍如果从乙粮库调若干袋到甲粮库, 则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍那么甲粮库原来最少存有 袋的粮食.5. 现有211名同学和四种不同的巧克力, 每种巧克力的数量都超过633颗. 规定每名同学最多拿三颗巧克力, 也可以不拿. 若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组, 则人数最多的一组至少有 名同学.6. 张兵1953年出生，在今年之前的某一年, 他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和，那么这一年他 岁.7. 右图是一个五棱柱的平面展开图, 图中的正方形边长都为2. 按图所示数据, 这个五棱柱的体积等于 . 8. 在乘法算式中, 汉字代表非零数字,

3、不同汉字代表不同的数字, 那么所代表的四位数最小是 .二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 如右图, ABCD 是平行四边形, E为AB延长线上一点, K为AD延长线上一点.连接BK, DE相交于一点O. 问: 四边形ABOD与四边形ECKO的面积是否相等? 请说明理由.10. 能否用500个右图所示的的小长方形拼成一个的大长方形, 使得的长方形的每一行、每一列都有偶数个星? 请说明理由. 11. 将一个2n位数的前位数和后位数各当成一个位数, 如果这两个位数之和的平方正好等于这个2n位数, 则称这个2n位数为卡布列克 (Kabulek) 怪数，例如，, 所以30

4、25是一个卡布列克怪数. 请问在四位数中有哪些卡布列克怪数?12. 已知98个互不相同的质数, 记 , 问: N被3除的余数是多少？三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）13. 小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步, 两人同时同地出发, 小李顺时针跑,每72秒跑一圈; 小张逆时针跑, 每80秒跑一圈. 在跑道上划定以起点为中心的圆弧区间, 那么两人同时在划定的区间内所持续的时间为多少秒?14. 把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色, 然后切割成棱长为1的小立方块, 其中, 两面有红色的小立方块有40块, 一面有红色的小立方块有66块, 那么这个长方体的体积是多少?第

5、十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A参考答案（小学高年级组）一、填空（每题 10 分, 共80分）题号12345678答案9.31:24015371874396二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程） 9. 答案：是. 解答. 连接AC. 则所以 .因此 即四边形ABOD的面积=四边形ECKO的面积.10. 答案：能解答. 首先构造的长方形如下:然后用50个的即可拼成的长方形. 11. 答案：2025, 3025, 9801. 解答. 设一个四位卡布列克怪数为 , 其中. 则由题意知 , 两边模99得, 因此 , 故与中有一个能被9整除, 也有一个能被11整除

6、（可能是同一个数）, 且有，即. （*）若能被99整除，由（*）知只能是99，满足条件的四位数是9801；若1能被99整除，由（*）, 显然没有满足条件的四位数；此外，可设9m，111n，则有9m-11n=1, 由（*）, m和n均为小于12的正整数，故得到m5，n4， 只能是45，满足条件的四位数是2025；反之，可设19m，11n，满足条件的四位数是3025.故四位数中有三个卡布列克怪数, 它们分别为2025, 3025和9801.12. 答案：1或2解答. 对于质数3, 被3整除. 其余的质数, 要么是型的数, 要么是型的数. 由于被3除余1, 且, 被3除也余1. 因此有（1）若这98

7、个质数包含3时, N被3除的余数等于97被3除的余数, 等于1.（2）若这98个质数不包含3时, N被3除的余数等于98被3除的余数, 等于2.三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程） 13. 答案：解答. 设起跑时间为0秒时刻, 则小李和小张在划定区间跑的时间段分别为, , ,和, , .其中 a, b 表示第a秒时刻至第b秒时刻. 显然 即前9秒里两类时间段的公共部分. 此外, 考虑和的公共区间, 为正整数, 分两种情况:1) , 即小李和小张分别跑了圈和圈同时回到起点, 他们二人同时在划定区域跑了18秒.2) , 例如 .两人同时在划定区域内跑了. 由知, . 于是两人同时在划定区域内跑持续时间为11秒或3秒. 其它情况类似可得同样结果.综上, 答案为.14. 答案: 150解答. 设立方体的长, 宽, 高分别为, 其中, 且为整数. 注意, 两面有红色的小立方块只能在长方体的棱上出现.如果, 则没有两面为红色的立方块, 不符合题意. 如果, 则没有只有一面为红色的立方块, 不符合题意. 因此. 此时两面出现红色的方块只能与长方体的棱共棱. 一面出现红色的方块只与立方体的面共面. 有下面的式子成立, （1）. （2）由（1）得到, （3）由（2）得到. （4）由（3）和（4）可得，这样 . 由（4）得到. （5）若,