第二章 导数与微分

1、第二章 导数与微分讲授内容： §2-1导数概念教学目的与要求：1、理解导数的定义以及它的几何意义。 2、掌握函数连续与导数存在的关系，导数存在与左右导数存在的关系。 3、会利用导数的定义求一些基本初等函数的导数、求分段函数在分段点处的导数。教学重难点：重点导数的定义，导数存在与左右导数的关系.难点分段函数在分段点处导数的求法，用定义求抽象函数的导数.教学方法：讲授法教学建议：借助速度和切线的实例引入导数的定义。教学学时：2学时教学过程： 上一章我们讨论了函数的极限和连续，在此基础上本章将更进一步的研究函数值的变化快慢，即函数的导数，它是讨论函数特性的基本工具。一、 引例:1. 直线运

2、动的速度设某质点在数轴上的运动方程为s=f(t) (位置函数),则从时刻t0到时刻t的平均速度为:当tt0时,则有即时速度(瞬时速度)为v=.（A）2. 切线问题切线：设有曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上的一点N，作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，则直线MT称为曲线C在点M处的切线，即：只要弦长|MN|趋于零，则NMT趋于零。设曲线C的方程为：y=f(x), M(x0, y0)为曲线C上的一点. 则y0=f (x0)。在曲线C上取点N(x, y)。则割线MN的斜率为:tan=当点NM时，xx0. 如果极限（B）存在，设为k, 则称此极限为切

3、线的斜率。其中k=tan ,为切线MT的倾角.说明：两个问题的共性：所求量为函数增量与自变量增量的比值极限，都是讨论函数的变化率，类似的：加速度：速度增量与时间增量的比值的极限。角速度：转角增量与时间增量的比值的极限。线密度：质量增量与长度增量的比值的极限问题：（A）（B）两式对较复杂的函数求出一具体的值是很不方便，为寻求解决此类问题的简便方法，给出如下导数的定义。二、 导数的定义:1. 导数的定义:定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x在该邻域内)时，相应函数取得增量y=f(x+x0)-f(x0)；如果极限：=存在，则称此极限为函数y=f

4、(x)在点x0处的导数。记为：.（）其它记号：，导数定义的其它形式： f(x0)=; 或 f(x0)=说明：1）比值是函数y=f(x)在以x0和x0+x为端点的区间上的平均变化率，导数即是函数的平均变化率的极限值。（瞬时变化率：点x0处的变化率）2）极限不存在时，称函数在点x0处不可导。注意当此极限为时，当然是不可导，但我们仍然说函数在该此处的导数为。3）注意（）中左右两端x0的一致性，分子分母中x的一致性。是左右两侧连续的趋向0，如换成不可。4）当函数y=f(x)在开区间I内的每一点都可导时，则对于任意，就有一确定的导数值，从而构成一个新的函数，称此函数为原函数y=f(x)的导函数（简称导数

5、），记为：。5）。6）由引例知：，。7）因导数是用极限定义的，于是在利用导数的定义求导数时，求极限的所有方法在此均可以使用。2. 左右导数: f(x0)=(存在) 称为函数f(x)在点x0处的左导数. f+(x0)=(存在) 称为函数f(x)在点x0处的右导数.函数y=f(x)在x0处可导的充要条件为：左右导数存在并相等，即： f(x0) 存在 Ûf(x0) =f+(x0).函数f(x)在闭区间a,b内可导即指：在开区间(a,b)内可导，且f+(a)和f(b)都存在。三、 求导例子:用定义求函数的导数的步骤：1） 写出函数的增量2） 写出函数增量与自变量增量的比值3） 求比值的极限1

6、) (C)=0.2) (x)=x-1 (为常数).3) (sinx)=cosx4) (ax)=axlna. 特别有：(ex)=ex5）(lnx)=1/x或(logax)=1/xlna下面为分段函数在分段点处导数的求法的例子，须用结论： f(x0) 存在 Ûf(x0) =f+(x0).例2. 1）求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.解：f+(0)=1f(0)=-=-1由于f+(0)f-(0) ,因此函数在f(x)=|x|在x=0处的导数不存在. 注：f(x)= x |x|在x=0处的可导性怎样？2）已知f(x)=求f-(0)和f+(0).并确定f(0)是否存在?解： f+(0)=0

7、 f(0)=-=-1 因为 f+(0)f-(0) ,所以f(0)不存在.3）设f(x)=求f-(0)及 f+(0)并判断 f(0)是否存在解： f+(0)= =0;f(0)=1因f+(0)f-(0)，所以f(0)不存在.4）设f(x)=求f-(1)及 f+(1)并判断 f(1)是否存在 正解：用定义求得 f+(1)=2 f-(1)=，所以f(1)不存在。 错解： 例3抽象函数的求导 1）设存在，求 2）设为偶函数，则为奇函数. 3）设，求. 4）下式成立的是，其中在点a的领域内有定义（A）（B）（C）（D）解：1） 一定要转化成导数定义的那个严格的形式 原式 原式 2）要证，因这里是抽象函数，

8、所以只能用定义 3）还是只能用定义 4）正确答案是D因原式注：若将替换成怎样，回答是：不成立.对（A）因，即是右侧趋近。对（B） 即是右侧极限，在说了又还是离散的。对（C）分子上就没有定值，不合定义的要求，请看下例考虑处 事实知是不存在的。四、 导数的几何意义函数y=f(x) 在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0, f(x0)处的切线的斜率. 于是曲线在点(x0,f(x0) 处的切线方程为:yy0=f(x0)(xx0).法线方程为: yy0=(xx0). f(x0)0例4 1）求曲线y=1/x在点(1,1)处的切线方程和法线方程.解：由于f(1)=-1/x2|x=1

9、=-1，因此 切线方程为：y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0; 法线方程为：y-1=x-1，即x-y=0.2）证明：曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积为常数.证：设(X,Y)为曲线上的任一点，则有XY=a2,y(X)=-a2/X2.切线方程为；y-Y=-a2/X2(x-X)切线在坐标轴上的截距为：x=X+X2Y/a2=2X; y=Y+a2/X=2Y,所求三角形的面积为：s=xy/2=2XY=2a2.五、 函数的可导性与连续性的关系:设函数在点x处可导，则函数在x处连续。证明：设函数y=f(x)在点x处可导，则有=f(x),于是有:=f(x)+ ,其中=0 .即 y

10、=f(x)x+x. 令x0，则有y0.因此函数在点x处连续.注：但函数在点x处连续，则在点x处不一定可导，即连续是可导的必要条件。如例5 1）讨论函数y=在x=0处的连续性与可导性.解：显然函数在x=0处连续.由于=不存在,因此函数在x=0处不可导.2）讨论函数y=在x=0处的连续性与可导性.解：显然函数在x=0处连续;由于=0,因此函数在x=0处连续可导.注：例6 设函数f(x)=，试确定a和b,使函数f(x)在x=1处连续且可导.解：由连续即有f(1+)=f(1-) 得 a+b=1;f+(1)=2;f-(1)=a由可导得: f+(1)= f-(1), 即a=2; 从而b=-1.设存在，且，

11、求.作业：高等数学C类练习册习题第一节教学后记：教学参考书：高等数学典型题精解 陈兰祥 学苑出版社.高等数学北京大学数学科学学院编（全真课堂）学苑出版社.复习思考题：设存在，且，求.讲授内容： §2-2 函数的和、积、商的求导法则教学目的与要求：1、掌握函数的和、积、商的求导法则.2、 能熟练应用函数的和、积、商的求导法则求函数的导数.教学重难点：重点函数的和、积、商的求导法则. 难点应用函数的和、积、商的求导法则求函数的导数.教学方法：讲授法教学建议：讲清法则的推导过程，并引导学生反复练习.教学学时：2学时教学过程：一、 函数和的求导法则定理1 如果函数及都在点处可导，则函数也在点

12、处可导且其导数为证明 根据导数的定义，我们有故在点处可导，而且 由定理1，可得下面三个推论推论1如果函数及都在点处可导，则函数也在点处可导且推论2 如果函数及都在点处可导，则函数也在点处可导且推论3如果函数在点处可导，则函数也在点处可导，且注：1、各自可导则和可导，可导与不可导之和仍不可导2、和可导时，各自不一定可导.例1 1）,求y.2）f(x)=x3+4cosxsin/2,求f(x)及f (/2).解：1）y=6x2-10x+32）f(x)=3x2-4sinxf(/2)=32/4-4.二、函数积的求导法则定理2如果函数及都在点处可导，则函数也在点处可导且证明u(x)v(x)=+=例2 1）

13、y=ex(sinx+cosx).求y.2）y=x2lnxcosx.求y解:1）y= ex(sinx+cosx)+ ex(cosx-sinx)=2excosx.2）y=2xlnxcosx+xcosx-x2lnxsinx例3设，求y（5）解方法1：方法2：三、商的求导法则定理3如果函数及都在点处可导且，则函数也在点处可导且(v0)证明从略例4 1）y=tanx,求y.解y=sec2x同样：(cotx)=-csc2x; (secx)=secxtanx;(cscx)=-cscxcotx;2）.求y.解y=作业：高等数学C类练习册第二节教学后记：教学参考书：高等数学典型题精解 陈兰祥 学苑出版社.高等数

14、学北京大学数学科学学院编（全真课堂）学苑出版社.复习思考题：设求讲授内容 §2-3 反函数和复合函数的求导法则教学目的与要求：1、掌握反函数和复合函数的求导法则.2、 能熟练应用反函数和复合函数的求导法则求函数的导数.教学重难点：重点复合函数的求导法则.难点应用反函数和复合函数的求导法则求函数的导数.教学方法：讲授法教学建议：讲清法则的推导过程，并引导学生反复应用.教学学时：2学时教学过程：一、 反函数的导数定理若函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f(y)0,则其反函数y=f -1(x)在对应区间Ix=x|x=f(y),yÎIy内可导,且有: f-1(x)=或证明由于

15、x=f(y)在区间Iy内单调可导(从而连续),因此其反函数在对应区间Ix=x|x=f(y),yIy内单调且连续.任取xIx,给x增量x (x0,x+xIx)由y=f1(x)单调性可知:y=f(x+x)-f(x)0.于是:=.由于y=f -1(x)连续,从而当x0时,有y0.又f(y)0,所以:f-1(x)=.例1求y=arcsinx的导数.解y=arcsinx的直接函数为:x=siny,在区间(-/2,/2)内单调,可导,且:(siny)=cosy>0所以:y=arcsinx在对应区间(-1,1)内有:(arcsinx)=同理:(arccosx)=-.例2 求y=arctanx的导数.解

16、y=arctanx的直接函数为:x=tany,在区间(-/2,/2)内单调,可导,且:(tany)=sec2y0,所以:y=arcsinx在对应区间(-,+)内有:(arctanx)=同理:(arccotx)=-.例3 求y=log ax (a>0,a0)的导数.解y=log ax (a>0,a0)的直接函数为:x=ay,在区间(-,+)内单调,可导,且:(ay)=aylna0,所以:y=log ax在对应区间(0,+)内有:(log ax)=.基本初等函数的求导公式:1)(C)=0;2)(x)=x-1;3)(sinx)=cosx;4)(cosx)=-sinx;5)(tanx)=s

17、ecxtanx;6)(cotx)=-cscxcotx;7)(secx)=secxtanx;8)(cscx)=-cscxcotx;9)(ax)=axlna;10)(ex)=ex;11)(log ax)=12)(lnx)=;13)(arcsinx)=;14)(arccosx)=-;15)(arctanx)=;16) (arccotx)=-.二、复合函数的求导法则定理如果u=g(x)在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导,则复合函数y=fg(x)在点x处可导,且有:=f(u)·g(x)或=证明因为y=f(u)在点u处可导,所以=f(u).即有:=f(u)+ 其中=0,且u0.当u=

18、0时,规定=0 此时函数=f(u)-= (u)在u=0处连续.于是:y=f(u)u+·u从而有:=f(u)+·于是:= f(u)+·又当x0时,u0,从而:=0又u=g(x)在x处可导,因此=g(x).所以:= f(u) ·即:=f(u)g(x).注： 1）复合函数的求导关键在于搞清复合函数的结构，并由外向内逐层求导.2）公式可以推广到多层复合的情形.3）记号表示对求导，即，如就表示对求导，而不是对求导.如下例：例4求下列函数的导数:a) y=lnsinx解y=(lnsinx)=cotxb) y=;解y=()=(1-2x2)=c) y=lncos(ex)

19、;解y=lncos(ex)=cos(ex)=-sin(ex)ex=-extan(ex).d) y=;解y=()=()=()=-例51）y=f(sin2x)+f(cos2x);f(x)可导.解y=f(sin2x)+f(cos2x)= f(sin2x)(sin2x)+f(cos2x)(cos2x)=2） y=arcsin;解y=()=()=3） 设，求解作业:高等数学C类练习册第三节教学后记：教学参考书：高等数学典型题精解 陈兰祥 学苑出版社.高等数学北京大学数学科学学院编（全真课堂）学苑出版社.复习思考题：已知，求.讲授内容 §2-4 高阶导数教学目的与要求：1、理解高阶导数的概念.

20、2、熟练掌握二阶导数的求法以及那些比较特殊的函数的高阶导数的求法.教学重难点:重点初等函数二阶导数的求法及那些比较特殊的函数的高阶导数的求法. 难点抽象函数及分段函数求高阶导数.教学方法：讲授法教学建议：主要引导学生求二阶导数.教学学时：2学时 教学过程： 一、 高阶导数的定义定义函数的导数是的函数,称的导数为的二阶导数.记作:或.即: 或=一般地,n阶导数的定义为:=y(n)=当n2时,n阶导数称为高阶导数.例1 求下列函数的二阶导数:1) y=ln(x+ );解y=(1+)=y=-(2x)=2) y=tanf(x);其中f(x)存在.解y=;y=3) y=f(x2)解y=2xf(x2)y=

21、2f(x2)+2x f(x2)2x=2f(x2)+4x2 f(x2). 注：求二阶导数即为在一阶导数的基础上再求一次导数。例2 求下列函数的n阶导数4) y=ex解 (ex)(n)=ex.5) y=sinx解y=cosx=sin(x+)y=cos(x+)=sin(x+)=sin(x+2·);y=cos(x+2·)=sin(x+3·)一般地：(sinx)(n)=sin(x+n·).同理：(cosx)(n)=cos(x+n·).6) y=ln(1+x)解y=;y=-;y=;一般地：y(n)= .即有，ln(1+x)(n)= .7) y=x (为常数

22、)解y=x-1;y=(-1)x-2;,y(n)=(-1)(-2)(-n+1)x-n.当=n时,(xn)(n)=n!;(xn)(n+1)=0.注：以上求出的ex、sinx、cosx、x的n阶导数公式要记住。5）设，求解二、 函数和、差、积的高阶导数公式1) (u±v)(n)=u(n)±v(n);2) 莱布尼茨(Leibniz)公式:(uv)(n)=u(n)v+nu(n-1)v+u(n-2)v+u(n-k)v(k)+uv(n)=u(n-k)v(k).例3 设y=x2sin2x,求y(50)解由于u=sin2x,v=x2,所以u(k)=(sin2x)(k)=2ksin(2x+k&

23、#183;);v=2x,v=2,v(k)=0 (k=3,4,50).从而有，(x2sin2x)(50)=250sin(2x+50·)·x2+50·249sin(2x+49·)·2x+248sin(2x+48·)·2=250-x2sin2x+50xcos2x+sin2x.例4设求解由有由莱布尼茨(Leibniz)公式，有令得：令得：令得：因此有：例5 设求解例6试从=导出:1) =-;2)= .解此题为反函数的高阶导数1)=()=-;2)= (-)=-=作业:：高等数学C类练习册第四节教学后记：教学参考书：高等数学典型题精解

24、陈兰祥 学苑出版社.高等数学北京大学数学科学学院编（全真课堂）学苑出版社复习思考题：设，其中具有二阶导数，求讲授内容 §2-5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的与要求：1、熟练掌握隐函数的一阶求导以及由参数方程所确定的函数的一阶求导.2、掌握隐函数、由参数方程所确定的函数的二阶求导.教学重难点：重点隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶求导. 难点隐函数以及由参数方程所确定的函数的二阶导数的求法，相关变化率.教学建议：对隐函数及由参数方程所确定的函数的导数讲清思路和方法.教学方法：讲授法教学学时：2学时教学过程：一、 隐函数的导数1. 隐函数的导数隐函数:如果在方程F(x

25、,y)=0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足此方程的唯一的y值存在，则称方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个函数，此函数称为隐函数.显函数：由方程y=f(x)表示的函数称为显函数.特点为：左端为因变量，右端为自变量.将一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化.关于隐函数的求导这里只给出具体的做法。下册将再给出隐函数的一、二阶求导公式.例1. 求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y在x=0处的导数y(0).解要注意到，y是x的函数已是事实两边对x求导时一定要注意到，y是x的函数这一事实得，5y4y+2y-1-21x6=0, 令x=0得y=0.得，y(0)=1/2注：例2.

26、 求由方程ey+xy-e=0所确定的隐函数y的导数.解两边对x求导，得:eyy+y+xy=0, （1）所以y=-y/(x+ey). （2）将代入得再将（1）对x求导得将代入得注：也可将（2）式两端对x求导例3. 求曲线在点(a,a)的切线方程和法线方程.解两边对x求导得: +y=0,y=于是:y(a)=1切线方程为：y-a=x-a,即:x-y-=0.法线方程为：y-a=-(x-a),即:x+y-a=0.例4. ，求解分析：此题既是隐函数，也是复合函数两端对x求导：所以2. 对数求导法:例5. 求y=xsinx(x>0)的导数.思路：幂指函数的求导我们没有现成的公式，我们只能借助于对数将幂

27、指函数转化为乘积方可求导，这是因为对数具有降低运算级别的作用.解：两边取对数lny=sinxlnx.两边求导y=cosxlnx+,所以有 y=xsinx (cosxlnx+).一般地，幂指函数的一般形式为：y=uv (u>0,u和v是x的函数)的导数为:1） 取对数：lny=vlnu,2） 两边求导：y=vlnu+u3） 解出所以(uv)=uv(vlnu+u). 例6. 求y=的导数.思路：这个函数可以利用复合函数的求导法则来进行，但是过程很复杂，而取对数可以降低运算级别，因而可以用对数求导法。解当x>4时，取对数得，lny=ln(x-1)+ ln(x-2)- ln(x-3)- l

28、n(x-4).求导y=(+-)y=(+-)当x<1时，y=；当2<x<3时，y=同理可求出y的导数.例7. 1），2）解1）2）注：此例告知，解题时要充分利用对数的性质.例8. 求思路：此题首先是隐函数，同时是抽象的复合函数，且又是幂函数，为此先完成幂指函数的求导解记下将原式两端对x求导解得，二、 由参数方程所确定的函数的导数定义：由参数方程(t为参数)确定y是x的函数.此函数关系表示的函数为由参数方程所确定的函数.设y=(t)可导，x=(t)单调连续可导，且(t)0，则有:=·=上式是参数方程(t为参数)表示的函数.当x=(t)和y=(t)二阶可导时，则有:=()

29、=()·=·即=例9. 求椭圆在对应t=/4处的切线方程.解当t=/4时，对应椭圆上的点M0的坐标为x0=a,y0=b曲线在M0处的切线斜率为：|x=/4=|x=/4=-切线方程为：yb=(xa).例10. 计算由摆线的参数方程所确定的函数y=y(x)的二阶导数.图中:x=OP=弧QM-线段QM=at-asint;y=PM=a-acost解=()·=-·=-(t2n,nÎN)例11. 设，求解此题为参数方程，但参数方程中第二个方程确定了隐函数将第一个方程对t求导得，将第二个方程对t求导得，于是得：作业:：高等数学C类练习册第五节教学后记：教学参

30、考书：高等数学典型题精解 陈兰祥 学苑出版社.高等数学北京大学数学科学学院编（全真课堂）学苑出版社复习思考题：设求.讲授内容§2-6变化率问题举例及相关变化率教学目的与要求：了解函数的相关变化率并会用函数的相关变化率解实际问题教学重难点：重点函数的相关变化率难点.用函数的相关变化率解实际问题教学方法：讲授法 教学建议：通过实例使学生会解变化率及相关变化率问题教学学时：2学时教学过程：一、 变化率问题举例在第一节中我们已经看到，函数的导数可以解释为关于的变化率.在这一节中，我们将通过具体的实例说明在自然科学和其它不科中经常遇到的一些变化率问题及导数在这些问题中的应用例1如果表示质点沿数

31、轴作直线运动时的位移函数，由前面可知其导数代表在时刻时的瞬时速度.现设质点的位移函数为，其中的单位分别用s和m.（1） 求速度的表达式，并分别求2(s)和4(s)时的速度；（2） 何时质点静止不动？（3） 何时质点沿数轴正方向运动？（4） 求出前5(s)质点经过的路程. 解 （1）速度函数是位移函数的导数.由于，所以速度从而2(s)、4(s)时的速度分别为(m/s)(m/s) （2）质点静止不动也就是，即于是得(s)和(s)时，质点静止不动.（3）当时，质点沿数轴正方向运动.由得到对应的时间区间为以及(4)质点从(s)到(s)经过的路程(m)从(s)到(s)经过的路程(m)从(s)到(s)经过

32、的路程(m)所以质点在前5(s)经经过的总路程为28(m)二、相关变化率设函数和为可导函数,而变量x和y之间存在某种关系，从而变化率和间存在关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.相关变化率的求法：1） 求出变量x和y的关系，而此关系式中的x,y均是另一个变量t的函数2） 对t求导得到变化率和之间的关系3） 求出未知的相关变化率例2水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m3/min. 当水深为5m时，其表面上升的速率为多少?解 设在时刻t时容器中水深为h(t)，水面半径为r，水的容积为V(t)，则由r/4=h/8得r=h/2. 从而：V(t)=r2·h=h3;V(t)

33、=h(t).代入V(t)=4，h=5，则得：h(t)=(m/min).作业：高等数学C类练习册第六节教学后记：教学参考书：高等数学典型题精解 陈兰祥 学苑出版社.高等数学北京大学数学科学学院编（全真课堂）学苑出版社复习思考题：溶液自深为18cm、直径为12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液.已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min.问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？讲授内容§2-7函数的微分教学目的与要求：1、理解微分的定义. 2、了解微分的几何意义. 3、掌握函数可微的充要条件. 4、熟练掌握基本初等函数的

34、微分公式、函数的微分法则、微分的形式不变性，会熟练利用这些知识求函数的微分。教学重难点：重点微分的定义，函数可微的条件，函数的微分法则，微分的形式不变性. 难点微分的定义，微分的几何意义，微分的形式不变性.教学方法：讲授法教学建议：通过实例帮助学生理解微分的定义.教学学时：2学时教学过程：一、 微分的定义1. 引例一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由x0变到x0+x,问此薄片的面积改变了多少?解：设边长为x，面积为S(x)，则有S(x)=x2，边长由x0变到x0+x，薄片面积的改变量为：S=(x0+x)2-x02=2x0x+(x)2.当x0时，(x)2是x的高阶无穷小.即有：(x)2=o(

35、x).注：此例告知：函数的增量由两部分构成.主要项：x的一次项，剩下是x的高阶无穷小，即S=Ax+ o(x).问：是否其它函数也是这样呢？什么样的函数才会这样呢？2. 微分的定义:定义：设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+x在这区间内，如果函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)可表示为:y=Ax+o(x),其中A是不依赖于x的常数，而o(x)是比x高阶的无穷小，那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而Ax叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dy=Ax.当函数y=f(x)在开区间I内每一点都可微时，称函数是区间I内的可微函数.3. 可微的充分必要条件

36、定理：函数y=f(x)在点x0处可微Û函数y=f(x)在点x0处可导.证明：设函数y=f(x)在x0处可微,则由定义有:y=f(x0+x)-f(x0)=A·x+o(x),于是:= =A+令x0,则有:A=f(x0).反之,若函数y=f(x)在点x0处可导,则有=f(x0).从而: =f(x0)+,其中=0.于是:y=f(x0)x+x.由于x=o(x),f(x0)是不依赖x的常数,从而函数在点x0处可微.注：1) 当函数y=f(x)在点x0处可微时,有dy=f(x0)x.2) 当f(x0)0时,因为:=1.因此当x0时,ydy,从而有:y=dy+o(dy).称dy是y的主部.

37、当f(x0)0时,由于dy=f(x0)x是x的线性函数,故称dy是y的线性主部.由于=0,所以=0.称为以dy代替y时的相对误差.显然,当|x|很小时,有dyy.3) 函数y=f(x)在任意点的微分称为函数的微分.记作dy或df(x).即:dy=df(x)=f(x)x.通常将自变量的增量x称为自变量的微分,记作dx,即:dx=x.于是: dy=df(x)=f(x)dx 从而:=f(x).即导数是微商.例1. 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分.解y=x2在x=1处的微分:dy=(x2)|x=1x=2x;y=x2在x=3处的微分:dy=(x2)|x=3x=6x;例2. 求函数y=x3当x=2

38、,x=0.02时的微分.解：函数y=x3在任意点的微分为:dy=(x3)x=3x2x.当x=2,x=0.02时的微分为:dy=3·22·0.02=0.24.二、 微分的几何意义微分的几何意义是：当y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时,dy是曲线上的切线上点的纵坐标的相应增量.即当|x|很小时,|y-dy|比|x|小得多.从而在点M的附近,可以用切线段MP来近似代替曲线段MN三、 基本初等函数的微分公式与微分运算法则.1. 基本初等函数的微分公式:1)dC=0;2)dx=x-1dx;3)dsinx=cosx dx;4)dcosx=-sinx dx;5)dtanx=sec

39、xtanx dx;6)dcotx=-cscxcotx dx;7)dsecx=secxtanx dx;8)dcscx=-cscxcotx dx;9)dax=axlna dx;10)dex=ex dx;11)dlog ax=dx12)dlnx=dx;13)darcsinx=dx;14)darccosx=-dx;15)darctanx=dx;16) darccotx=-dx.2. 函数和差积商的微分1）d(u±v)=du±dv2)d(Cu)=Cdu3)d(uv)=vdu+udv4)d(v0)3. 复合函数的求导法则:(一阶微分的形式不变性)设y=f(u)和u=(x)可导,则复合函

40、数y=f(x)的微分为: dy=yxdx=f(u)(x)dx.由于(x)dx=du,所以复合函数的微分公式也写成:dy=f(u)du或dy=yudu此性质称为微分形式不变性.例3. 求下列函数的微分1) y=sin(2x+1);解：dy=2cos(2x+1)dx2) y=e1-3xcosx2;解：dy=d( e1-3x)cosx2+ e1-3xd(cosx2)= -e1-3x (3cosx2+2xsinx2)dx.3) y=ln(1-x)2;解：dy=2ln(1-x)dln(1-x)= -2ln(1-x)dx4）已知，求解：两边求微分：得，5）设，确定函数，求解：两边求微分：由得，代入得：例4

41、. 填空：1）2) 3) 作业: 高等数学C类练习册第七节教学后记：教学参考书：高等数学典型题精解 陈兰祥 学苑出版社.高等数学北京大学数学科学学院编（全真课堂）学苑出版社.复习思考题：已知，求讲授内容§2-8微分的应用教学目的与要求：了解微分在近似计算中的应用教学重难点：重点利用微分进行近似计算的原理. 难点利用微分进行近似计算.教学方法：讲授法教学建议：讲清利用微分进行近似计算的原理. 教学学时：2学时教学过程：如果y=f(x)在点x0处的导数f(x0)0且|x|很小时,有:ydy=f(x0)x.即y=f(x0+x)-f(x0)dy=f(x0)x.或f(x0+x)f(x0)+f(x0)x令x0+x=x，则f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)特别当x0=0时,有: f(x)f(0)+f(0)x当|x|很小时，有常用近似计算公式：1) 1+x;2) sinxx;3) tanxx;4) ex1+x;5) ln(1+x)x.例5. 计算:sin30°30解：设f(x)=sinx,则f(x)=cosx.取x0=/6,则sin30°30=sin(/6+/360)sin(/6)+cos(/6)(/360)0.5076.例6. 计