第五章定积分

1、第5章 定 积 分积分（integral）思想的起源远远地先于微分，早在古希腊时期就已经萌芽. 我国魏晋时期刘徽的割圆术，也已孕育着近代积分学（integral calculus）的思想. 但是直到 17 世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹在总结诸多前辈成果的基础上才建立起比较完整的积分学理论思想体系. 如今它已成为诸多科学领域的理论基础. 本章主要讨论定积分的基本概念、性质、变限函数、微积分基本定理、定积分的计算、广义积分等.5.1 定积分的基本概念和性质 面积这个词对于我们最熟悉不过了，买房时需计算房屋的建筑面积，加工材料时需计算物体的表面积，测量河流的流量时需计算河床断面的面积，设计船体时需计算

2、水线面的面积，对于规则平面图形（如三角形，梯形，矩形等） ，我们用初等数学的方法就可以求其面积，而对于不规则的平面图形，例如将直角梯形 ABCD（见图 ）的斜边 AB 换为曲边（见图 ） ，虽然只作了少许改动，但却给我们的计算带来很大的困难，用初等数学求面积的方法已不再奏效.。实际上， 因为任何平面图形的面积均可表示成若干个如图 所示的四边形的面积的代数和，因此求这种含一条曲边的四边形的面积是计算一般平面图形面积的关键所在，为了便于今后的讨论，我们称这种含一条曲边的四边形为曲边梯形.。 曲边梯形的面积 如图 所示，由连续曲线所围成一曲边梯形 AabB，如何计算它的面积呢？ 众所周知，矩形的面积

3、等于底乘以高，而与曲边梯形最相近且最易计算面积的平面图形就是矩形，但由于曲边梯形在底边各点处的高在区间, ab 上是变动的，所以不能直接按矩形的面积公式计算曲边梯形的面积. 进一步分析可以发现，虽然曲边梯形的高f(x) 在区间a,b上是连续变化的，但在很小的区间内它的变化很小，近似于不变，因此如果将区间a,b分成若干个小区间（见图 ） ，在每个小区间上用其中一点处的高近似代替相应小曲边梯形的高，即用“以直代曲”的方法，这样小曲边梯形的面积就可以用同底的小矩形的面积近似代替，然后将这些小矩形的面积求和（图 中阴影部分的面积） ，那么就得到曲边梯形面积的一个近似值. 怎样才能将误仔细分析可以发现，

4、 造成误差的主要原因在于 “以直代曲” ，即将小曲边梯形的面积用同底的小矩形的面积近似代替. 要减小误差， 就要尽量使小曲边梯形的曲边变化进一步更小， 更接近于直边. 为此， 将区间, ab分割成更多的小区间，将原曲边梯形分割成更多的小曲边梯形（见图 ） ，此时小曲边梯形的曲边的变化显然比前者减少了许多. 用同样的方法又可得到曲边梯形面积的近似值（见图 中阴影部分的面积） ，误差明显地减少了许多.因此，只要将a,b无限地细分下去，使得所有小区间的长度都无限减小，趋于 0，这时所有小矩形面积的和越来越接近曲边梯形面积的精确值，其极限如果存在即为所求曲边梯形AabB的面积. 将上面求曲边梯形面积的

5、思想、方法、归纳如下：（1） 化整为零. 如图 所示，在区间a,b 内任意插入若干分点 a=x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn =b, 把a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, x2, x3, × × × , xn-1, xn , 它们的长度依次为Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , × × × , Dxn = xn -xn-1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. （2） 积零为整. 在每

6、个小区间xi-1, xi 上任取一点x i , 以xi-1, xi 为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, × × × , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即A»f (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+× × ×+ f (x n )Dxn. （3）取极限.求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点,

7、 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn , 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0. 所以曲边梯形的面积为. 定积分的定义 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 用分点a=x0<x1<x2< × × ×<xn-1<xn=b把a, b分成n个小区间: x0, x1, x1, x2, × × 

8、5;, xn-1, xn , 记Dxi=xi-xi-1(i=1, 2,× × ×, n). 任x iÎxi-1, xi (i=1, 2,× × ×, n), 作和 . 记l=maxDx1, Dx2,× × ×, Dxn, 如果当l®0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和x i的取法无关, 则称这个极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记作, 即 .其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积

9、分上限, a, b叫做积分区间. 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为. 在理解定积分的定义时，应注意以下几个方面： (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即. (2)和通常称为f (x)的积分和. (3)可积函数类；有限区间上的连续函数是可积的；有限区间上有有限个间断点的有界函数是可积的 定积分的几何意义 根据定积分的定义，定积分表示如下几何意义。（1） 如果连续的被积函数f (x)0， 则 表示由曲线 y = f (x)， x轴及直线x=a x=b 所围成的曲边梯形的面积（见图 ） ；2） 如果连续的被积函数f (x) 0 ，则 表示由曲线 y = f (

10、x)， x轴及直线x=a x=b 所围成的曲边梯形的面积的相反数（见图 ） （3）如果连续的被积函数f (x)正负不定，则 表示由曲线y = f (x)，x轴及直线x =a =，x=b 所围成的一些小曲边梯形的面积的代数和. 如图 所示，有 = S2+ S4 -S1 -S3例 】. 用定积分的几何意义求. 解: 函数y=1-x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 .5.1.4 定积分的性质性质 1 如果f(x)在a, b 上可积，则 即定积分的上限

11、与下限互换时，积分值变号. 特别地，当a=b 时，有 =0性质2 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 . 性质3 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 . 性质4 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 . 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 性质5 如果在区间a, b上 f (x)£ g(x) 则 (a<b). 性质6 （估值定理） 设M 及m 分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 (a<b). 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a

12、, b上至少存在一个点x , 使下式成立: . 【例 】 计算解 原式= =0【例 】 不计算定积分，比较下列积分值的大小 解 因在区间0,1上，有 ，故由性质 5 知 5.2 微积分基本定理利用定积分的定义通过积分和的极限求定积分是相当复杂的，有时甚至根本无法求得积分的精确值，而利用定积分的几何意义和性质也仅能求一些简单或特殊函数的积分值，那么能否找到一种行之有效的方法，使我们很方便地求出积分值呢？本节就来讨论这个问题.5.2.1 积分上限函数设函数f(x)在区间a, b上连续, 并且设x为a, b上的一点. 则f(x)在区间a, x也连续，从而也可积，根据定积分与积分变量的选择无关的性质将

13、，我们把函数f(x)在部分区间a, x上的定积分记为， 这样对任 意x a,b ，都有唯一确定的与之对应，因此，是定义于区间a,b上的函数， 称为积分上限函数，记作F(x) , 即F(x)=，定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数 F(x)就是f (x)在a, b上的一个原函数. 即F¢(x) (a£x<b).【例 】 求下列函数的导数（1）F(x) （2）F(x) 解 （1）根据原函数存在定理只要将被积函数中的积分变量直接换为上限x即可，因此F¢(x) =（2） 将 F(x)视为F(x)，u=的复合函数，利用复合函数的求导法则得F¢

14、;(x)= =所以F¢(x)= 微积分基本定理 原函数存在定理将原函数与定积分两个不同的概念有机地联系起来，而第 4 章我们介绍了许多求原函数的方法，那么能否利用原函数的方法来计算定积分呢？我们给出以下定理牛顿-莱布尼茨公式 定理3 如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间a, b上的一个原函数, 则 . 此公式称为牛顿-莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式牛顿-莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系，这使得计算 的关键转化为求f(x) 的任一原函数，大大简化了定积分的计算，为计算定积分的精确值提供了一种非常有效的方法. 例1. 计算. 解: 由于是的一个原函数, 所以

15、例2 计算. 解 由于arctan x是的一个原函数, 所以 . 例3. 计算.解: =ln 1-ln 2=-ln 2.例4计算=-(-1)-(-1)=2.注意 运用牛顿-莱布尼兹公式计算积分时，一定要验证被积函数在积分区间上是否满足连续的条件，否则计算结果会出现错误. 如求 的值时，如果按公式（）来计算，有=ln 1-ln 1=0这个结果显然是错误的，因 表示图 中阴影部分的面积，显然不等于 0. 事实上，被积函数在积分区间 1,1上无界，它在 1,1上不可积. 5.3 常用积分法 微积分基本定理表明， 计算定积分的关键是求被积函数的一个用初等函数表示的原函数，即求它的不定积分. 本节主要介

16、绍两种求不定积分的方法：换元积分法（Integration by Substitution）与分部积分法（Integration by Part）. 5.3.1 定积分的换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间a, b上连续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有连续导数, 且其值域不越出a, b, 则有. 这个公式叫做定积分的换元公式. 证明 由假设知, f(x)在区间a, b上是连续, 因而是可积的; f j(t)j¢(t)在区间a, b(或b, a)上也是连续的, 因而是可积的. 假设F(x)是f (

17、x)的一个原函数, 则=F(b)-F(a). 另一方面, 因为Fj(t)¢=F ¢j(t)j¢(t)= f j(t)j¢(t), 所以Fj(t)是f j(t)j¢(t)的一个原函数, 从而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 .例1 计算 解 要计算 ，如果能求出 的不定积分，那么再利用牛顿-莱布尼兹公式即可求出 的值. 为此先利用不定积分的换元法求的值。 令 则，则=例2 计算. 解 令t=cos x, 则 . 提示: 当x=0时t=1, 当时t=0. 例2 计算 解 令x=t ，则dx = ，当x : 027 时，t :

18、 03 ，于是=+=课堂随练：计算定积分 注意 1 利用换元法计算定积分时，在换元的同时要对积分限作相应的调整，而且所用的换元公式要保证在新的积分区间上单调，否则会导致计算的错误. 注意 2 利用换元法计算定积分时，所选用的换元公式与被积函数的不定积分选用的换元公式一样. 定理 （对称区间上的定积分） 设函数 f (x)在区间a,a上连续，则有下列积分公式 (1) .(2) 若f (x)为奇函数, 从而 0(3) 若f (x)为偶函数, 从而 利用定理计算 定积分的分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a, b上具有连续导数u¢(x)、v¢(x), 由(uv)¢

19、;=u¢v +u v¢得u v¢=u v-u¢v , 式两端在区间a, b上积分得, 或.这就是定积分的分部积分公式. 例1 计算.解 设u(x)= ln x， v(x) = x ，则由分部积分公式得=1 例1 计算. 解 . 小结 到目前为止，我们学习了以下几种计算定积分的方法： （1）利用定积分的定义通过积分和的极限； （2）利用牛顿-莱布尼兹公式； （3）利用定积分的换元积分法； （4）利用对称区间上积分的性质； （5）利用定积分分部积分法. 那么，面对，如何合理地利用这些积分方法呢？ 首先看其积分区间a，b ，如果是对称区间，就利用对称区间上积分

20、的性质来化简，接着分析被积函数 f(x) 的特点，再利用换元积分法和分部积分法并结合牛顿-莱布尼兹公式就可以求出定积分的精确值. 5.4 广义积分 定义1 设函数f(x)在区间a, +¥)上连续, 取b>a . 如果极限 存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间a, +¥)上的反常积分, 记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间a, +¥)上的反常积分就没有意义, 此时称反常积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间(-¥, b 上连续, 如果极限(a<b)存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间

21、(-¥, b 上的反常积分, 记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 则称反常积分发散. 设函数f(x)在区间(-¥, +¥)上连续, 如果反常积分和都收敛, 则称上述两个反常积分的和为函数f(x)在无穷区间(-¥, +¥)上的反常积分, 记作, 即 . 这时也称反常积分收敛. 如果上式右端有一个反常积分发散, 则称反常积分发散. 定义1¢ 连续函数f(x)在区间a, +¥)上的反常积分定义为. 在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地, 连续函数f(x

22、)在区间(-¥, b上和在区间(-¥, +¥)上的反常积分定义为. 例1 计算反常积分. 解 . 例2 计算反常积分 (p是常数, 且p>0). 解 . 提示: . 例3 讨论反常积分(a>0)的敛散性. 解 当p=1时, . 当p<1时, . 当p>1时, . 因此, 当p>1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当p£1时, 此反常积分发散. 二、无界函数的反常积分 定义2 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 而在点a的右邻域内无界. 取e>0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在(a, b上的反常积分,

23、仍然记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间a, b)上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取e>0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在a, b)上的反常积分, 仍然记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分发散. 设函数f(x)在区间a, b上除点c(a<c<b)外连续, 而在点c的邻域内无界. 如果两个反常积分与都收敛, 则定义. 否则, 就称反常积分发散. 瑕点: 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界, 那么点a称为函数f(x)的瑕点, 也称为无界 定义2&

24、#162; 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 点a为f(x)的瑕点. 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为. 在反常积分的定义式中, 如果极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地,函数f(x)在a, b)(b为瑕点)上的反常积分定义为. 函数f(x)在a, c)È(c, b (c为瑕点)上的反常积分定义为 . 反常积分的计算: 如果F(x)为f(x)的原函数, 则有 .可采用如下简记形式: . 类似地, 有 , 当a为瑕点时,; 当b为瑕点时,. 当c (a<c<b )为瑕点时, . 例4 计算反常积分. 解 因为, 所以点a为被积函数

25、的瑕点. . 例5 讨论反常积分的收敛性. 解 函数在区间-1, 1上除x=0外连续, 且. 由于, 即反常积分发散, 所以反常积分发散. 6.1 定积分在几何中的应用 本节我们主要介绍定积分在几何方面的两个最基本的应用，即求平面图形的面积以及旋转体的体积. 求平面图形的面积 正如计算多边形面积的关键是计算三角形的面积（任何一个多边形都可以分解成若干个三角形）一样，计算含有曲边的一般平面图形的面积的关键是计算曲边梯形的面积，因为它可以分解为一些曲边梯形面积的代数和. 如图中平面图形的面积A等于两个曲边梯形面积的差，即 A = 【例 】求由曲线，和直线所围成的平面图形的面积. 解 如图 所示，所围平面图形的面积可看作由直线 x =1 x =2 分别与直线y=x 曲线 所围两个曲边梯形面积的差，于是有A=1故所围成的平面图形的面积为1.【例 】 求由曲线及直线和轴所围成的平面图形的面积. 解 首先求两曲线的交点，为此解方程得y = 2或 y =4 ，因此交点为(2, 2) 及(8, 4) ，画出草图（见图 ） ，所求平面图形的面积等于由直线 y =2 ， y= 4分