第三章中值定理导数的应用模板

1、第三章微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、费马（Fermat）定理设在点的某邻域内有定义，且在点可导如果恒有成立，则注：Fermat定理的几何意义是：如果在点的值不小于邻近的函数值（或不大于邻近的函数值），只要在点曲线有切线，其切线必为水平的二、罗尔(Rolle)定理如果函数满足：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）则在内至少存在一点，使注：（）Rolle定理的几何意义是：如果每一点都有切线的连续曲线AB：，在A，B两点有相同的纵坐标，则A，B之间至少存在一点P，曲线在点P有水平切线（）Rolle定理的条件是充分而非必要，即当定理的条件不满足时，结论也可能成立如在内可导，尽管在上

2、不连续，但还是有【例】设，证明有三个实根提示：且在三个区间和上都满足Rolle定理的条件在内分别至少存在一点使即至少有三个实根又是三次方程，最多只有三个实根综上可得：有三个实根【例】设在上连续，在内可导且，证明：在内至少存在一点使分析：要证明只需证明只需证明只需证明只需证明即可提示：令，在上连续，在内可导，在上连续且在内可导由可得即在上满足Rolle定理的条件，则在内至少存在一点使，由得【例】设在上连续，在内可导且证明：在内至少存在一点使提示：令，可验证在上满足Rolle定理的条件，则在内至少存在一点使即思考题：设在上连续，在内可导，证明：在内至少存在一点，使提示：令三、拉格朗日（Lagran

3、ge）中值定理如果函数满足：（1）在上连续；（2）在内可导则在内至少存在一点，使注：（）Lagrange定理的几何意义是：如果连续曲线：每一点都有切线，则A，B之间至少存在一点P，曲线在点P的切线平行A，B两点的连线（）Lagrange定理的条件是充分而非必要即当定理的条件不满足时，结论也可能成立如在内可导，尽管在上不连续，但在内还是存在满足定理的结论推论1：如果在内，则在内为一常数推论：若在内则（常数）【例】若，证明提示：设它在上满足Lagrange定理的条件，则在内至少存在一点，使由于，由可得【例】若证明提示：令它在或上满足Lagrange定理的条件当时，则在内至少存在一点，使当时，则在内

4、至少存在一点，使 综上可得：当，有.四、柯西（Cauchy）中值定理如果函数和满足:（1）在上连续；（2）在内可导且则在内至少存在一点，使注：（）在柯西（Cauchy）中值定理中令就得到拉格朗日（Lagrange）中值定理（）柯西（Cauchy）中值定理的条件是充分而非必要，即当定理的条件不满足时，结论也可能成立【例】设证明：提示：在处可导，在处连续，由Lagrange定理得：在0与之间至少存在一点使得由得单调增加当时，当时，当时，综上可得：【例】已知在上有连续导数，且证明：在内有且仅有一个零点提示：单调增加，又从而在内最多有一个零点当时，由已知得在上满足Lagrange定理的条件，在0与之间

5、至少存在一点使得由此，又由零点定理可知，在内至少有一个零点综上可得：在内有且仅有一个零点【例】假设在上存在二阶导数，并且证明：（）在内（）在内至少存在一点使得提示：（）假设使则由Rolle定理，使再由Rolle定理，使与在内矛盾所以，在内（）要证只需证明在内存在零点令则在上满足Rolle定理的条件，使得作业：习题第二节洛必达（）法则若在的某一个变化过程中，函数与同时趋于0或同时趋于，这时极限可能存在，也可能不存在，通常把这种极限称为型或型的不定式如:一、型不定式定理：设函数与满足：（）在点的某去心邻域内可导且（）（）存在（或）则也存在（或）且【例】计算：提示：原式提示：原式注：(1)此法则对于

6、时的型亦适用如：(2)并不是任何的型不定式都能用洛必达（）法则.当洛必达法则条件不满足时，就不能使用如:而用洛必达法则，那么不存在.(3)由于数列没有导数,所以,数列的极限不能用洛必达（）法则.如:这种求法是错误的.我们可以使用洛必达（）法则求相应的函数的极限可以推之数列极限(4)不能用法则证明极限.因为在这个过程中运用了导数公式,而的推导又用到了,从而在逻辑上产生了恶性循环. 所以,不能用法则证明极限.(4)只要满足法则的条件, 在同一个题中可以多次使用法则.二、型不定式定理：设函数与满足：（）在内可导且（）（）存在（或）则也存在（或）且注:(1)此法则对于时的型亦适用(2)并不是任何的型不

7、定式都能用洛必达（）法则.当洛必达法则条件不满足时，就不能使用(3)只要满足法则的条件, 在同一个题中可以多次使用法则.例如:求极限如,如果用法则来求,那么不存在,这就错了.【例】计算：提示：（）原式 （2）原式三、其他型不定式：1型：化为型或求解.【例】2型:通分化为型或求解.【例】3型:属于幂指函数,通过取对数,化为型或求解.【例】由前面的例题可得原式4型: 属于幂指函数,通过取对数,化为型或求解.【例】5型: 属于幂指函数,通过取对数,化为型或求解.【例】注：洛必达法则与其他方法结合使用，可以减少运算量.作业：习题第题的偶数题；第三节 泰勒（）公式一、定理若函数在含有点的某开区间内有直到

8、阶的导数，则当在内时，有其中（在与之间）称为拉格朗日余项称为皮亚诺余项注：（1）在不需要余项的精确表达时，可以用表示 （2）当时，公式变为拉格朗日中值定理【例】将展开为的多项式提示：取可求出代入公式可得【例】将展开为的多项式，并利用展开式的前五项计算的值提示：其中（在与之间）从而其中取代入得误差二、麦克劳林（Maclaurin）公式在定理中令得麦克劳林（Maclaurin）公式：其中 （在与之间）或 【例】写出的麦克劳林展开式提示：【例】写出的麦克劳林展开式提示：作业：习题第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定定理：设在上连续，在内可导，若有（或），则在内单调增加（或单调减少）

9、注：（）导数不存在的点也可能是增减区间的分界点如在处的导数不存在，但的左方函数单调减少，右方函数单调增加（）求函数单调区间的步骤：第一步：求定义域；第二步：求的根（驻点）和不存在的点；第三步：用第二步中求出的点将划分为几个小区间；第四步：判定在每一个小区间内的符号；第五步：确定单调区间【例】求下列函数的单调区间（1）提示：（）函数的定义域为由得驻点这两个驻点将定义域分成三个区间当时单调增加；当时单调减少；当时单调增加提示：函数的定义域为由当和时函数单调增加；当和时函数单调减少【例】证明：当时，证明：令（）所以在内单调增加，从而即：【例】讨论方程有几个实根？提示：令则则方程根的个数为的图像与轴交

10、点的个数在单调增加，在单调减少(1)当即时，与轴有两个交点方程有两个实根；（2）当即时，与轴有一个交点方程有一个实根；（3）当即时，与轴无交点方程无实根二、曲线的凹凸性与拐点1 定义：若曲线弧位于其每一点处的切线的上方，则称此曲线弧是凹弧；若曲线弧位于其每一点处的切线的下方，则称此曲线弧是凸弧 ，2判定：设函数在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么（1）在内在上是凹的；（2）在内在上是凸的注：【1】连续曲线上凹凸弧的分界点（即的点）称为曲线的拐点【2】二阶导数不存在的点也可能是拐点如：尽管不存在，但的左右两边的符号不同，所以是的拐点求曲线凹凸区间和拐点的基本步骤：第一步：求函数的定义域和.第二

11、步:求的实根和不存在的点.第三步:判断第二步中求出的每一个点左右两边二阶导数的符号.第四步:确定拐点和凹凸区间.【例】求下列曲线的凹凸区间和拐点.提示:(1)函数的定义域为当时,;当时,.所以,曲线的凹区间为凸区间为拐点为(2)函数的定义域为,.当时当或时.所以,曲线的凹区间为凸区间为拐点为【例】利用函数图形的凹凸性证明不等式证明:令则曲线是凹的,因此,有即证明:令则曲线是凹的,因此,有即(3)证明:令,则曲线是凹的,因此有,即作业：习题第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法 1极值的概念设函数在的某邻域内有定义，（1）若有为极大值，为极大值点（2）若有为极小值，为极小值点注:极

12、值是一个局部概念,其定义中的究竟有多大无关紧要.2极值判别法（1）必要条件定理：设在点有极值且存在，则注: 若则称为驻点驻点是可能极值点如：是和的驻点，是的极小值点，但不是的极值点.（2）充分条件定理(第一充分条件):设在处连续,在内可导（1）若为极大值；（2）若为极小值.注：（1）不存在的点也可能为极值点.如：在处不可导，但在处有极小值.（2）用第一充分条件求极值的步骤为：第一步：求出的根和不存在的点；第二步：判断在这些点的两侧符号变化情况，确定极值点；第三步：求出极值.【例】求的极值.提示:当时；当时不存在.0+不存在-0+增极大值减极小值增从而定理(第二充分条件):设在处具有二阶导数且则

13、（）当时，为极大值；（）当时，为极小值注:(1)若则可能是极值点,也可能不是极值点，用第二充分条件就无法判定，此时需要用极值的定义或第一充分条件判定 (2)此定理可推广:设则:为偶数时在处取极值，当时取极小值；当时取极大值.为奇数时在处不取极值.【例】求的极值提示: 又由由于而所以在处无极值.二、最大值最小值问题1定义:设在上连续,在内可导,若存在使得恒有则称为在上的最小值；恒有则为在上的最大值.注：“最值”是整体概念，是在一个区间上来比较的；极值是一个局部概念，是在一个点的附近来比较的最值的求法第一步:求出方程的根和不存在的点.第二步:算出第一步中各点处的函数值和区间端点处的函数值.第三步:

14、将第二步中所算出的值进行比较,其中最大的一个值为量大值,最小的一个值为最小值.【例】求下列函数在给定区间上的最大值.提示：由 又所以，在上函数的最大值为12，最小值为-71.提示:由导数不存在的点为 又所以，在上函数的最大值为，最小值为0.【例】设求:(1)在上的最大值; (2) .提示: (1) 由.在上的最大值注:在实际问题中,如果在内只有一个根,而从实际含义分析知在内有最大值或最小值存在,那么,就是所要求的最大值或最小值，不必再算了.【例】制造一个容积为50的圆柱形锅炉,问锅炉的高和底半径取多大值时用料最省?提示:用料最省就是要求锅炉的表面积最小锅炉的表面积由已知容积代入上式得：由因容器

15、有最小面积,和为所求.作业：习题第题的偶数题第六节函数图形的描绘一、渐近线1若则直线为的垂直渐近线.2若则直线为的水平渐近线.3若则直线为的斜渐近线.【例】求的渐近线.提示：（1）由为垂直渐近线； （2）由由 从而为斜渐近线二、函数作图举例第一步：确定函数的定义域；第二步：讨论函数的对称性和周期性；第三步：求出函数的单调区间和凹凸区间；第四步：确定渐近线；第五步：求出极值点、拐点及与坐标轴的交点；第六步：列表、描图【例】作出函数的图形.提示:函数的定义域为-+0-0+减凸增凸极大值减凸拐点减凹为水平渐近线.为铅直渐近线.函数的图像如图3-28（P169）作业：习题第七节 曲率一、曲率的定义：一

16、条曲线的弯曲程度称为曲线的曲率二、曲线的计算公式若曲线的方程为则曲率若曲线的方程为则曲率例：求曲线在点处的曲率提示：例：抛物线上哪一点处的曲率最大？提示：当即时，最大，也就是说抛物线在顶点处的曲率最大注：直线的曲率为0；圆的曲率为圆的半径的倒数三、曲率圆与曲率半径设曲线在点处的曲率为在点处曲线的法线上凹的一侧取一点使以为圆心，为半径的圆称为曲线在点处的曲率圆；为曲线在点处的曲率中心；称为曲线在点处的曲率半径作业：习题习题课1求极限：提示：令则原式分析：当时，此项应单独提出来提示：原式分析：首先考察这是一个幂指函数，可以考虑使用重要极限或罗必达法则求出值后，将换成可得提示：其中从而若求提示：又从

17、而3设试补充定义使得在上连续分析：要使在上连续，必须使得提示：所以，只需定义就可以使在上连续即设函数在上具有三阶连续导数，且证明：在内至少存在一点使得提示：由于在上具有三阶连续导数，则其中在之间当时，两式相减得由于的连续性，在上有最大值和最小值m则即再由介值定理，至少存在一点使得5设时，与是同阶无穷小，求正整数提示：要使与是同阶无穷小，只有（）式等于一个非零常数，从而设时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，求正整数提示：当时，由又由综上可得：设函数在内有一阶连续导数，且如果在时是比高阶的无穷小，试确定的值方法一（用罗必达法则）：由得由得由（）（）得方法二（用导数的定义）由设在内可导，且当时，都有则（）（）都有（）都有（）函数单调增加（）函数单调增加提示：当时，从而，函数单调增加注：单调增加函数在增区间内一阶导数不一定恒大于可能不存在，如在上是单调增加的，但在处没有导数；也可能等于0，如设是恒大于的可导函数，且则当时，有（）（）（）（）（）提示：在内单调递减应选（）若在内则在内有（）（）（）（）（）方法一：由在内可知，为奇函数且在内单调增加且是凹的由奇函数的图像关于（，）点对称可得，在内单调增加且是凸的，从而应选（）方法二：对等式两边求导得两边再求导得因为在内当时，即：在内应选（）则在