第二章_条件期望及现代观点下计量经济的

1、Chapter2 现代观点下计量经济的 基本理念和理论基础§1 问题的提出1、 从数据谈起模型、数据哪个是第一位的？传统观点是模型第一位，现代观点认为数据是第一位的。我们不应当假设数据满足模型的条件，而应当要求模型适应数据的特点，这是现代观点下计量经济的出发点。a.如果手头有一些数据，它能告诉你什么？什么也没有！因为我们不知道数据来源背景，从而不知道数据所表达的含义。b.如果该数据是某人历次考试成绩的记录，它能告诉你什么？可以认为，X是某人的学习能力，称为总体（population），是学习能力的反映，它是取自总体X中的样本，可建立模型：，a是真值，是客观存在的能力，但不可观测。于是

2、，就反映了该学生的学习能力水平，就反映了该生学习能力的稳定性。等等。c.但是，如果该数据是某企业的股票价格，那么就没有理由认为是相互独立的，而是一个与时间有关联的序列，那么就有可能不再有一个稳定的极限，例如，随机游走。则，从而显得不可预测，这样的数据可以认为是没有用的，但在现在的随机过程理论和计算机技术下，我们仍能从中捕捉到“股票价值”X的某些信息。这里，我们看到，经济中数据的来源是非常复杂的，有的可以看成是服从某一分布的随机变量，有的则是某一特定的随机过程，甚至是不平稳过程。d、对于有相互关联的多组数据，同样我们首先要知道数据的来源，知道有关的知识，这一点与传统观点是一致的。但传统观点的局限

3、是，解释变量是确定性的，与误差项无关。而这种要求的数据一般只在实验室中才能做到，大量经济数据一般事前无法安排，并且解释变量之间也存在关联性，解释变量与误差项之间也有关联性，另外，数据是不可重复的。为此，现实经济要求我们把对数据的要求放宽。我们做如下的陈述：假设：（1）我们关注的结果Y是一个随机变量（视为一个总体）。（2）我们认为影响结果Y的原因是一个K维随机变量，。（3）的联合分布存在，且存在期望和方差。（4）可以从随机抽取观测样本（random sampling），或抽取受各种限制的观测样本。提出的问题是，如果能从获取观测样本（信息），如何调整对的认识？即如何用来表达？注：（1）的联合分布、

4、期望、方差存在，并不意味着已知。（2）的因果关系中，X的分量对Y的影响既有轻重之分，又有可观测和不可观测之分，甚至有半不可观测，即Y与X的因果关系可以按理论更加随意的设定。例如，我们关注的是工资与教育的关系，但是影响工资的因素除了教育之外，根据劳动经济学的知识，还有工作经验和能力。其中，工作经验可用工作年限表示，又由于工作经验有正外部性，故可设计工作经验的平方作为另一个解释变量，而能力则是不可观测，如chapter1的例1，但仍可以放在因果关系中，不过需要有特殊的处理。（3）因果关系不一定是线性关系，从平均意义或期望意义上讲，我们要关注的是条件期望，的直观含义是如果知道X，平均意义上看Y是什么

5、？它包含比从全体平均意义上看Y是什么即有更多的信息。并且希望能把表达出来，建立一个模型，称为总体模型（population model）。（4）随机抽取样本的最基本形式是截面数据（cross section data），含义是给定一个固定的时间点或是时间段上，解释变量与因变量的数据是从母体中随机发生的，而是实验数据（experimental data）的含义是实验者预先设定解释变量的实验值，然后观测因变量的结果值，传统观点下的样本设定为实验数据，与实验数据是分开的，指的是一切其他环境对结果的随机影响。（5）随即样本的另外几种形式：Pooled cross section data 在不同时间点

6、样本独立，但不同分布（混同样本）。Spatial correlation 在不同地区样本有相关性，不独立（空间相关性）。Cluster sample 串样本，时间数据有分段特征（群集数据）。Panel data 面板数据，数据有二元特征，特别是有时间特征，但时间不太长，有限。这些特殊样本的处理，特别是面板数据我们在后面的模型中专门分析、介绍。§2 有关理论下面着手建立解决上述问题的一套基本理论。假设是客观存在，但是未知或者部分未知，那么获取数据资料以后，从获取的数据和中就应当反映这种客观存在的关系，。进一步，如果的函数关系也不清楚，那么找一个什么样的函数关系是合理的？合理性的准确含义

7、又是什么？着手解决两个问题：1、合理性按均方误差标准，即选择g(X)使得其与Y的误差平方最小，简记成MSE(mean square error)。2、如果用线性关系，具备什么条件才能使满足条件1的，即使与等价。我们有如下的基本定理：定理1：用条件期望来表达Y，则MSE最小，即：， arg表示满足最小值条件的g(X)。首先复习一下条件期望的概念及性质:关于条件概率，我们知道，。此意味着存在一概率空间，且。其实质是将改变成，以及把事件的概率调整为在中的比例。现在如果让A遍历整个，这就在上定义了一个新的概率。它是由和导出的概率。并可认为构成一个新的概率空间。这是在事件发生的条件下获得的对原概率的调整

8、。直观讲就是取代了的地位。设是上的一个随机变量，那么，数学期望。这是一个在上的加权平均。现在把放到上看，那么应有，条件数学期望。这是一个在事件上的加权平均。再设、是上的二个随机变量，联合分布存在。，为要使，取，则。再令，如果极限存在，那么，这是一个与有关的数。有结论是，除去一个零概率集，极限是存在有限的。因为零概率集上可测函数的积分总是0，故我们可以在这个零概率集上重新定义它的值，例如取值为0， 那么，对，有定义。这是一个与随机变量取值有关的函数。因为是随机取值的，所以当不确定取值的时候，它就是一个与X有关的随机变量。记成。称为Y关于X的条件数学期望。注，给定事件下的条件期望是一个数，而随机变

9、量Y关于随机变量X的条件数学期望是一个随机变量。具体计算就是，如果，则：。条件期望有性质如下：设随机变量（X，Y）有联合分布和联合分布密度，不妨设。则X的边际分布密度；Y的边际分布密度。那么给定X的条件下，Y的条件分布密度是，给定X的条件下，Y的条件数学期望是。性质1：，直观含义是分段平均再平均等于直接平均。又由定义，做变量代换，则：性质2：。的直观含义更明显，已经知道的信息，那么的平均就是它自己。即知道，那么。它是常数的期望等于常数的直接推广。有了上述准备，我们证明定理1：设，那么，注意到，。所以取，最小。定理得证。注：这个定理很重要，它奠定了条件期望在均方误标准下的最优地位，问题当Y与X的

10、联合分布很复杂，甚至不知时，E(Y|X)实质上仍然是不清楚的。例：随机参数过程：设，其中与X独立，且，则，。注：我们也可以将模型看成，但是，于是就与相关，如果有其他的解释变量与相关，内生性就产生了。且条件方差也与X相关。大量的计量经济模型都是由于环境既影响结果又影响原因，从而内生性和条件异方差性往往是不可避免的，这正是现代观点要处理的问题，传统观点假定X与无关的要求不符合实际。一般情况下，仍很复杂，甚至是未知的，所以，尽管我们知道在均方误标准下表达是最优的，但是我们需要一种方法，用其他的合理方式来取代，取代的方式取决于不同的目的，这就是问题（2）。如果目的是预测、是趋势、可采用非参数估计方法，

11、这超出本书的范围，请参阅相关非参数估计的书。如果目的是政策评价，验证理论是否正确，一般采用参数估计方法，参数估计方法的理论基础就是线性投影。设X是影响Y的一切原因集，是一个k+1维的参数空间，是未知的。是取自X中的k+1维向量，并且线性无关。例如定义：AF注：我们只要求g(X)关于是线性的，对X不做任何要求，A的直观含义是从母体X中提取部分外加常数构成k+1维向量X，把X与做内积，构成的线性函数集A，于是我们可以把求的问题转化为求未知参数向量的问题，即：当然，A中的函数要比中F的少，但是限制在A中，却使问题变得可以求解了。定理2：若且存在非奇异，那么中A的最小二乘解。证明：由一阶条件得：。由非

12、奇异， (施瓦茨不等式)故，所以 。注：一般。这是非线性回归模型要解决的问题。下面考虑设定（specification）， 。称为的（关于线性）模型，其中为回归误差。定理3：设定则当且仅当垂直条件成立，有成立。证明：必要性：如果，那么由；充分性：如果那么，。注：1）特别取2）这里没有考虑，仅是说明当Y写成的线性投影形式时，当时，要满足的条件，它比=0要弱。下面解决的问题是，把Y写成与把Y写成在什么条件下是一致的，这个条件也就是现代观点下的多元线性回归模型的前提假定。定义：线性回归模型称为正确设定的（correct model specification）如果存在某一，使得从母体X选取个向量有否

13、则，如果对所有的，则称线性回归模型不是正确设定的。定理4：线性模型是正确设定的，那么：1） 存在某一，使得；2） ；3） 。证明：由定义，由定理1的性质知， （1）成立再由定理3，（2）（3）成立。注：1）由，故当模型是正确设定时，参数的经济含义是边际效果，（，i=1，2，），否则的含义是误导的。2）。此时，若采用最小二乘法估计，参数会产生有偏、不一致的后果。这正是本课程要重点解决的问题。 接下来的问题是，在正确设定下，知真值。 如何获得？通过样本，利用大数律，保证一致性。§3大样本下渐近理论基础现代回归模型的估计和检验由于样本N不再固定，更注重一致性，基本原则是保证一致性成立，现代

14、回归模型的估计和检验由于样本N不固定，更注重一致性。基本原则是，保证一致性成立，降低有偏性，提高有效性。从而，样本的极限理论具有基本的重要性。1、收敛的概念：a) 序列收敛，记为b) 随机变量序列依概率收敛，c) 随机变量序列依分布收敛，d) 连续映照定理（Slutskys Theory），向量序列，连续，则，即。2、随机样本的极限定理定理1 ：设是一列独立同分布的维随机向量序列，且，那么，其中，此称为向量序列的弱大数定律。定理2：是一列独立同分布维随机向量序列，且， ，那么是一半正定矩阵。此称为向量序列的中心极限定理。在定理1、2的基础上，我们定义一致性：定义1：（一致性）是一个P×

15、;1维的样本函数的序列，N是样本容量，如果，对任意的成立，则称的一致估计，其中是未知参数空间的定义域。定义2：是一个P×1维的样本函数的序列，如果，其中V是半正定阵，则称是渐近正态的，且V是的渐近方差，记作。因此，故也称的渐近方差为，记成。一般而言， 协差阵V未知，我们有许多关于V的一致估计，因此的渐近方差估计就是，记成。注：因为0，（N），所以0，故当N充分大，无意义。我们说是的渐近方差估计，意义是指的渐近方差估计是，而不是，这一点很重要，不要搞乱。定义3：如果，且V正定，其主对角线元素用表示。又有，且，那么的第j个分量的渐近标准差规定为。定义4：和都是的一致估计，即，且，如果是半

16、正定矩阵，则称比是渐近有效的。又，则称和是渐近等价的。定义5 ：如果，若，且相应的，有有渐近方差，有渐近方差，则称估计和是渐近独立的。关于统计检验的渐近理论有：定义6：对假设检验，如果它的备择假设为真，且，则称检验是渐近一致的。引理：线性变换下的渐近正态性：如果，V正定，又R是Q×P矩阵，QP，秩（R）=Q，则：。又，二次型，此外如果有，那么Wald统计量，即二次型： 在第一章我们看到，利用Wald统计量，我们可以得到统计量，并由此解决有线性约束的检验问题，：，：。（为保持与伍书中符号一致性，相当经典模型中的，相当于）。最后，简单介绍参数假设检验的大样本理论：设是总体中的参数向量，。

17、为已知的维列向量，为的元函数，。称为对参数的约束条件，为约束的个数。这里的函数形式已知，可以是线性的，也可以是非线性的。且在的某邻域行满秩。如果能把对参数的约束条件作为假设检验的命题：，。那么，由数理统计的知识，在大样本条件下，可采用三个渐近等价的检验统计量来完成。具体讲：设是的一致估计，由于最大似然估计（）在大样本条件下满足一致性、渐近正态性和不变性，有很好的统计性质。一般常采用作为假设检验前的一致估计。我们记为不带约束条件下的一致估计，为带约束条件下的一致估计。设为似然函数，为似然函数值。我们有如下结论：（1） 沃尔德统计量（Wald） 如果不带约束条件下的一致估计易得，那么对假设检验的命

18、题：，且秩。可构造Wald统计量：。特别当约束是线性时，即，那么有。（2） 拉格朗日统计量（LM） 如果带约束条件下的一致估计易得，那么对，秩。可构造LM统计量：。其中，；，。称为信息矩阵。 （3）似然比统计量（LR）令，称为似然比，。似然比检验常在时间序列分析中用。注：当约束是线性时，有。故拒绝，则都拒绝。本章小结本章的内容承上启下，核心概念是条件数学期望，怎么强调也不过分。后面的内容都是围绕着条件期望的性质建立各种模型展开的。此外，假设检验的三个基本统计量也是后面各种假设检验的理论基础，各种检验统计量都是在它们的基础上建立的。本章的内容在后面继续学习时还要经常回头看，故把重点小结如下：1、现代观点：数据本位，模型要适应数据的要求。2、现代观点基本理念：（1）关注的目标Y是一个随机变量，它与影响它的因素X，X是一个多维随机向量，存在联合分布，并且可以随机抽样。X和Y允许受到限制，或某些因素不一定可观测，且X和Y的期望和方差均存在、有限。（2）用表达，在均方误差最小(MSE)的意义下，g*(X