第六章导数的应用

1、第六章 导数的应用   教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数：  § 6.1 中值定理，函数的线性逼近 重点及难点：中值定理；罗比达法则。基

2、本内容：1、Rolle中值定理；2、Lagrange中值定理；3、Cauchy中值定理；4、应用。基本要求：1、深刻理解中值定理，特别是Lagrange中值定理的分析意义及几何意义；2、掌握Rolle中值定理、Lagrange中值定理的证明；3、了解导函数特征：连续性与介值性；4、初步具有应用中值定理论证问题的能力。基本方法：1、用Lagrange中值定理证明等式、不等式的方法；2、判定零点的方法。课时分配：一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提

3、出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课： （一）、罗尔定理定义 设在区间有定义。若，且存在的某邻域，有，则称为的一个极大值点（极小值点）。称为的极大值（极小值）。极大点和极小点统称为极值点。费尔马引理 设在区间有定义，若函数在可导，且为的极值点，则。定理1 （罗尔中值定理） 若函数满足下列条件：1） 在闭区间连续；2） 在可导；3）。则，有。注意：这三个条件缺一不可，但是又不是充分

4、条件。（二）、拉格朗日中值定理定理2 （拉格朗日中值定理）若函数满足下列条件：1） 在闭区间连续；2） 在可导。则，有。（三）、柯西中值定理定理3 设函数 和 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 和 在内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 使 .  证 分析引出辅助函数 . 验证 在 上满足Rolle定理的条件,     必有 , 因为否则就有 .这与条件“ 和 在 内不同时为零”矛盾.   三、中值定理应用例题 （一）、中值定理证明例1 若在区间可导，且，则，有。推论1 若，有，则。例2 证明。例3 证明：当时，有。例4 若在连续，除外可导，且

5、，则在可导，且。例5若在可导，对与之间的任意数，则，有。 推论2函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有(证) 但是, 不存在时, 却未必有 不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). 推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且 ( 证 )例6 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 则 , 使得 .  证 在Cauchy中值定理中取 .  例7  设函数在区间上连续,在内可导,且有 .试证明: .  （二）.证明恒等式: 原理.&

6、#160; 例8 证明: 对 , 有 .例9  设对 , 有 , 其中 是正常数. 则函数 是常值函数. (证明 ).  （三）. 证明不等式: 例10  证明不等式: 时, .例11  证明不等式: 对 ，有 . （四）. 证明方程根的存在性:   证明方程 在 内有实根.  例12 证明方程 在 内有实根.  四、罗比达法则（一）、型极限常见的待定型极限有，等，其中，是基本的两种形式，因为其它的形式都可以化成这两种形式，例如：； ；。定理1（洛毕达法则1）若，满足：1）在的某去心邻域可导，且；2）；3

7、）。则。定理2（洛毕达法则2）若，满足：1），在，可导，且；2）；3）。则。例13 求。例14 求。例15 求。例16 求。（二）、型极限定理3（洛毕达法则3）若，满足：1）在的某去心邻域可导，且；2）；3）。则。例17 求。例18 求。例19 求。（三）、其它待定型极限1、型：。例20 求例21 求2、型：。例22求。例23求。3、型：例24 求。4、型：例25  求5、型：例26 求。注意：罗毕达法则的条件，对于有些极限来说，求导后极限不存在，而原来极限存在，即就是说，罗毕达法则中条件是充分而非必要的。小结：略练习P243 3 4 6 7 10作业P243 8 10 §

8、6.2 函数的增减性教学目的：掌握函数的单调性，并能应用它解决一些有关的问题。教学要求：1. 深刻理解函数的单调性，并能加以应用。2.会用函数的单调性证明不等式。教学重点：函数单调性教学难点：韩式单调性的应用。教学方法：系统讲授法。一、函数的单调性定理1 若在可导，则在单调增加（单调减少）。定理2若在可导，有，则在严格单调增加（严格单调减少）例1 讨论的严格单调区间。例2 讨论的严格单调区间。例3 讨论的严格单调区间。例4 证明：，有。二、利用单调性证明不等式:  （一）原理: 若 单调递增, 则对 , 有不等式 .  例5 证明: 对任意实数 和 , 成立不等式 证 取

9、在 内 . 于是, 由 , 就有 , 即 .   （二）、不等式原理: 不等式原理: 设函数 在区间 上连续,在区间 内可导,且 ; 又 则 时, (不等式原理的其他形式.) 例6 证明: 时, . 例7 证明: 时, .（三）. 利用单调性证明不等式: 例8 证明: 时, .练习P248 1 2 作业P248 3 4 §6.3 最优化方法教学重点：用导数研究函数性态的一些方法。教学难点：函数图象的描绘。基本内容： 1、函数的极值与最值；2、函数的凸凹性；3、曲线的渐进线；4、描绘函数图象。基本要求：1、掌握用导数研究函数单调性与极值的理论、方法和步骤；2、掌握函

10、数在区间上凸凹性的一些等价定义，以及应用函数凸凹性论证问题的方法；3、会求函数的垂直渐进线与斜渐进线；4、知道描绘函数图象的方法和步骤，并会描绘一些简单函数图象。基本方法：1、用导数研究函数的单调性与极值的方法；2、用导数证明一些不等式、零点的方法；3、描绘函数图象的方法。一、函数的极值定义 可导函数的方程的根（）称为函数的稳定点。定理1 若在可导，且，有，则在取极小（大）值。定理2 (充分条件) 设函数 在点 连续, 在邻域 和 内可导. 则 1. 在 内 在 内 时, 为 的一个极小值点; 2. 在 内 在 内 时, 为 的一个极大值点; 3. 若 在上述两个区间内同号, 则 不是极值点.

11、定理3 (充分条件“雨水法则”)设点 为函数 的驻点且 存在.则 1.当 时, 为 的一个极大值点; 2.当 时, 为 的一个极小值点. 证法一 当 时, 在点 的某空心邻域内 与 异号, 证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.   定理4 (充分条件 ) 设 ,而 .则 1. 为奇数时, 不是极值点; 2. 为偶数时,是极值点.且对应极小;对应极大. 例1 求函数 的极值. 例2 求函数 的极值. 例3 讨论函数的极值。例4设有一长为，宽为的矩形铁板，在每个角上剪去同样大小的正方形。问剪去正方形的边长多大，才能使剩下的铁板折起来做成开口盒子的容积最大。例5 电

12、灯可在桌面点的垂直线上移动，在桌面上有一点距点距离为。问电灯与点的距离多远，可使点处有最大的照度？例6 从半径为的圆形铁片中剪去一个扇形，将剩下的部分围成一个圆锥形漏斗，问剪去的扇形的圆心角多大时，才能使圆锥形漏斗的容积最大？例7 证明：，有不等式，。二、函数的凸性与拐点定义  设函数在开区间有定义，若，有（）则称在开区间的凸函数（凹函数），或函数在开区间是凸（凹）。若（）则称在开区间的严格凸函数（严格凹函数），或函数在开区间是严格凸（严格凹）。定理5 设函数在开区间可导，函数在开区间是凸（凹），且，有（）。推论 若函数在开区间二阶可导，则1）若，有，则函数在开区间是严格凸；2）若，

13、有，则函数在开区间是严格凹。定理6  设函数在开区间可导，函数在开区间是凸（凹）曲线位于它的任一点切线的上方（下方）。定理7 若函数在开区间是凸，则其中，且。例8 证明：若，则。定义 若在点可导，且在的一侧是凸，另一侧是凹，则称为的拐点，称为曲线的拐点。例9  讨论函数的凸性及其拐点。例10  讨论函数的凸性及其拐点。例11  讨论函数的凸性及其拐点。三、曲线的渐近线定义 当曲线上动点沿曲线无限远移时，若动点到某直线的距离无限趋近于0，则称直线是曲线的渐近线。1、垂直渐近线：2、斜渐近线：例12 求的渐近线。例13 求的渐近线。例14 求的渐近线。四、描绘函数图象描述函数图象的步骤：1、确定函数的定义域；2、