立体几何中角度与距离求法

1、立体几何中角度距离的求法一 空间向量及其运算1 .空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则a·b_.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab_ab_(a，b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|_， cosa，b_.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则dAB|_.2.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角

2、，记作_，其范围是_，若a，b，则称a与b_，记作ab.两向量的数量积，已知空间两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作_，即_.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)·b_； 交换律：a·b_；分配律：a·(bc)_.2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是_.推论，如图所示，点P在l上的充要条件是：ta其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取a，则可化为_或(1t)t.(2)共面向量定理的向量表达式：p_，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点

3、O，有_或xyz，其中xyz_.(3)空间向量基本定理，如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，把a，b，c叫做空间的一个基底.二 用向量的方法求角度(一)知识清单1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为.2.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos _.(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面

4、所成角满足sin _.(3)求二面角的大小1°如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.2°如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos _.(二) 题型题型一 求异面直线所成的角例1如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBBF1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值.解方法一以A为原点，、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是(1,3,2)，(

5、4,2,2)，设EC1与FD1所成的角为，则：cos ，直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.方法二延长BA至点E1，使AE11，连接E1F、DE1、D1E1、DF，有D1C1E1E，D1C1E1E，则四边形D1E1EC1是平行四边形.则E1D1EC1.于是E1D1F(或补角)为直线EC1与FD1所成的角.在RtBE1F中， E1F.在RtD1DE1中，D1E1.在RtD1DF中，FD1.在E1FD1中，由余弦定理得：cosE1D1F.直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.练习1 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC.OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为B

6、C的中点.(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小.(1)证明作APCD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系.A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N. ，.设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则n·0，n·0.即取z，解得n(0,4，).·n·(0,4，)0，MN平面OCD.(2)解设AB与MD所成角为， (1,0,0)，cos ， .直线AB与MD所成的角为.题型二 求直线与平面所成的角例2如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰

7、直角三角形，ACB90°，侧棱AA12，D、E分别是CC1、A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成角的正弦值.解建立空间直角坐标系，坐标原点为C，设CA2a，则A(2a,0,0)，B(0,2a,0)D(0,0,1)，A1(2a,0,2)，E(a，a,1)，G，(0，2a,1)，·a20，a1，(2,2，2).为平面ABD的一个法向量，且cos，A1B与平面ABD所成角的正弦值是.练习2如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA1，点D是BC的中点，点E在AC上，且DEA1E.(1)证明：平面A1DE平面ACC1A1；(2

8、)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值.(1)证明由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知，AA1平面ABC.又DE平面ABC，所以DEAA1.又DEA1E，AA1A1EA1， 所以DE平面ACC1A1 .又DE平面A1DE，故平面A1DE平面ACC1A1.(2)解 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0)，A1(2,0，)，D(1，0)，E(1,0,0).易知(3，)，(0，0)，(3，0).设n(x，y，z)是平面A1DE的一个法向量，则解得xz，y0. 故可取n(，0，3).于是cosn，.故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为.题

9、型三 求二面角例3如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值.(1)证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，以AD、DP、DC所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0). 所以·0，·0，即PQDQ，PQDC.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)解依题意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1).设

10、n(x，y，z)是平面PBC的法向量，则即 因此可取n(0，1，2).同理，设m是平面PBQ的法向量，则可取m(1,1,1).所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值为.练习3如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小.(1)证明如图，建立坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)，(2，2,0). ·0，·0. BDAP，BDAC.又PAACA

11、，BD面PAC.(2)解设平面ABD的法向量为m(0,0,1)，设平面PBD的法向量为n(x，y，z)，则n·0，n·0.(2，0,3)，解得令x，则n(，3,2)，cosm，n. 二面角PBDA的大小为60°.二距离的求法1.点面距的求法 垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键等体积法，转化为求三棱锥的高 等价转移法；法向量法.如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离2题型题型一 用向量法求空间距离例1在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB

12、的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离.说明:点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法.如本题，事实上，作BH平面CMN于H.由及·nn·，|·n|n·|·|n|， |，即d.解 取AC的中点O，连接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，又BO平面ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，). (3，0)，(1,0，)，(1，0). 设n(x，y，

13、z)为平面CMN的一个法向量，则，取z1，则x，y，n(，1).点B到平面CMN的距离 d.练习1 如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求点A到平面MBC的距离.解 取CD中点O，连接OB，OM，则OBCD，OMCD. 又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图.OBOM，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2).设n(x，y，z)是平面MBC的法向量，则(1，0)，(0，)， 由n得xy0；由n得yz0.取n(，1,1)，(0,0

14、,2)， 则点A到平面MBC的距离 d.题型二 用等体积法求距离例2 已知直二面角中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB,F为CE上的点，且(1) 求证,(2) 求二面角的大小，(3) 求点D到平面ACE的距离练习2、如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为（）求此正三棱柱的侧棱长；（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离解：（）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连是正三角形，又底面侧面，且交线为侧面连，则直线与侧面所成的角为 在中，解得此正三棱柱的侧棱长为 注：也可用向量法求侧棱长（）解法1：过作于，连，侧面为二面角的平面角 在中，又， 又在中，故二面角的大小为

15、解法2：（向量法，）（）解法1：由（）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面在中，为中点，点到平面的距离为 解法2：取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为过点作于，则的长为点到平面的距离解法3：等体积变换:由可求解法4：（向量法，见后）题（）、（）的向量解法：（）解法2：如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由 得取又平面的一个法向量 结合图形可知，二面角的大小为 （）解法4：由（）解法2， 点到平面的距离 练习题1.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCOABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为_a _.2 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA15，A

16、B12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是_.3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_. 4.在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_a _.5.设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则D到平面ABC的距离为_.6在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于( B )A. 4 B. 2 C .3 D .17已知在矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角线AC