第8章定积分的应用

1、第八章 定积分的应用定积分理论本身就产生于人类实践活动中的一些具体的几何和物理问题的求解，本章，我们就从定积分的几何意义出发，首先导出平面几何图形的面积公式，进一步从中抽取出定积分的微元法思想，用于求解更多的几何量。§1 平面图形的面积我们知道定积分的几何意义就是曲边梯形的面积，即设，由曲线和直线xa、xb及x轴所围曲边梯形的面积为 分析上述公式，它首先给出了用定积分计算特殊的平面图形的面积公式，进一步分析公式中各个构成元素的意义可以发现：定积分中的组成元素正对应于曲边梯形的组成元素，即被积函数正是曲边梯形上下边界的差，定积分下限a正是曲边梯形的左边界，上限正是曲边梯形的右边界，因此

2、，对曲边梯形而言，一旦确定了各个边界，就可以给出其面积的计算公式。进一步利用可以证明，若图形的左边界为直线xa，右边界为直线xb，（b>a）, 下边界为曲线，上边界为曲线 ，则图形面积为。 进一步将上述公式推广可以得到更一般的面积计算公式。1、设为定义在上的函数，则由曲线和直线xa、xb及x轴所围曲边梯形的面积为。2、设和都是定义在上的函数，则由曲线、和直线xa、xb所围图形的面积为 。注、能用上述公式计算面积的平面图形的结构特点是：图形具有两条左右直线边界，有两条上下的曲线边界。有时，直线边界可能退化为一点。这样，通过确定图形的边界来确定积分公式中各个元素。注、确定图形的左右边界和上下

3、边界也可以用穿线方法，用平行于x轴的直线沿x轴方向穿过图形区域，先交的边界并由此进入区域的为左边界，后交的并由此穿出区域的边界为右边界；用平行于y轴的直线沿y轴方向穿过区域，先交的边界并由此进入区域的为下边界，后交的并由此穿出区域的边界为上边界。注、这里的函数指的是单值函数，即对定义域中的任意一点x，存在唯一的Yf（x）与之对应，因此，对应的曲线也称为简单曲线，即对定义域中任一点c，直线xc与曲线yf（x）只有一个交点。注、在利用上述公式计算一般平面图形的面积时，一般是通过交点确定图形边界，或直接利用公式，或通过分割转化为能用公式的图形后再代入公式计算。注、尽可能画出图形，有助于确定图形的边界

4、。因此，利用上述公式计算平面图形的面积的主要步骤为：1、画图；2、确定边界 一般是利用曲线的交点，将图形分割，使得每一小块都有左右的直线边界，上下的曲线边界；3、代入公式计算。注、当图形具有上下直线边界和左右曲线边界时，也可以以y为积分变量计算图形的面积，即若图形的下直线边界为yc、上直线边界为yd，左曲线边界为，右曲线边界为，则图形的面积为 。因此，可以根据图形的特点，灵活选用公式。例1 计算由曲线和所围图形的面积。解、如图，两条曲线的交点为（0，0）、（1，1），因此，所围图形的左右直线边界为x0和x1，上下曲线边界分别为、，故面积为：。例2 计算由直线yx和曲线所围图形的面积。解、法一、

5、如图，记A（3，3）、B（0，2）、C（1，1），则通过y轴将图形分为AOB和BOC两部分，对AOB部分，左右直线边界分别为x3、x0，上边界为曲线，下边界为直线yx，对BOC部分，左右直线边界为x0、x1，上边界为曲线，下边界为曲线，因此，所求图形的面积S为： 。 法二、也可以以y为积分变量计算面积，此时，需要确定图形的上下直线边界和左右曲线边界，本题，下直线边界为y0，上直线边界为y3，左曲线边界为直线xy，右边界为曲线，故 。若曲线由参数方程给出，我们可以利用变量代换得到相应的计算公式。设简单曲线为 其中为连续可导的递增函数（保证了曲线是简单的），为连续函数且 ，则由直线xa、xb、曲线

6、和x轴所围图形的面积为 。当递减时可以得到类似的公式为： 因而，当单调时，可以统一公式为 而当变号时就需要分段处理了，因为此时曲线不再是简单曲线了。例3 计算椭圆曲线 所围的椭圆面积。解、由对称性，只需计算第一象限的面积，此时，而递减，故所求面积为 。下面讨论曲线由极坐标方程给出时所围图形的面积，注意，此时所求面积的图形一般不是直角坐标系由曲线和平行于坐标轴的直线所围的图形，因此，不能用参数方程条件下的代入方法来计算，我们直接推导出公式。给定曲线l：。设，计算由曲线l和射线所围图形的面积S。我们利用定积分的思想推导出计算公式。n分割： 记。先计算第i个小曲边扇形的面积，即曲线l和射线所围的面积

7、。任取，以为半径作圆扇形，用圆扇形的面积近似代替小曲边扇形的面积，则小曲边扇形的面积近似为 因而， 利用积分思想，则 。进一步的推广。若图形由曲线，和射线所围，且，则面积为： 。注、和前面情形类似，当图形较为复杂时，需作分割处理。注、通常要求计算封闭的曲线所围图形的面积，此时要注意分析图形的几何特性，如对称性，同时要确定和。例4 计算心形线所围图形的面积。解、如图，由对称性，只需计算上半部分，故 。习题 1、计算下列曲线所围的图形的面积。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； 6）、； §2 平面曲线段的弧长我们已经掌握了直线段长度的计算，本节讨论曲线段长度的计算。给定以

8、A、B为端点的曲线段： ，其中，计算弧的长度l。分析 由于我们掌握了与此相关的直线段长度的计算，因此，曲线段的计算就必须借助其它工具转化为直线段来计算，我们知道，当曲线段越来越短时，用直线段的长度公式近似计算相应的曲线段的长度时近似度越高，由此，我们想到定积分，因为定积分的思想正是将一个整体量分割为若干个微小的量，在每一个微小的量上用近似处理，这正是我们计算曲线段长度的思想。下面，将上述思想转化为具体的求解过程。N分割曲线段，即在曲线段上插入n1个分点，形成曲线段的分割： 注、这里的“<”不表示大小关系，仅表示顺序。对应上述分割，形成对的分割： 因此，。任取第i段弧，相应的弧长记为，当分

9、割很细时，可以将其近似为直线段，故 ，因而，所求的弧长 ， 为了将上述的近似和转化为Riemann和，我们继续对和式进行技术处理。进一步假设，则，利用微分中值定理得， 其中，。为了利用定积分技术上述近似和的极限，需要将两个中值点统一，因此，利用插项技术，则 显然， ，进一步分析，记 ，则 由于，因此，一致连续，故对任意的，存在，当时， ，故，因而，。 由此，我们得到结论：定理2.1 设曲线段，满足，则曲线段的长度为 。 上述公式是计算曲线段长度的基本公式，利用此公式可以得到其它形式下的计算公式。 1、若曲线，可将其视为以x为参变量的参数方程形式，代入可得此时的公式为： 。2、若以极坐标形式给出

10、曲线，则 。3、对空间曲线段，则 。例1 计算星形线的长度。解、星形线是关于原点和坐标轴对称的封闭曲线，因而，只需计算第一象限中的部分，故。例2 计算曲线上从点（0，1）到点（4，3）段的长度。解、以y为参数，则此段曲线的参数方程为 故， 。注、由此可以看出，在计算时，要充分 利用曲线的几何性质，同时，也要掌握灵活应用。至此，我们已经利用定积分思想和方法给出了平面图形的面积和曲线弧长的计算公式，我们把定积分思想方法的本质抽取出来，得到处理这类问题更简洁的方法微元法。我们知道，定积分处理的这类量是一个整体量，满足分割后的可加性，处理的过程为分割、对每一个小块近似计算、求和、取极限。分割是为了将整

11、体量转化为局部的微元处理，关键是对微元的近似计算，因此，我们将关键的步骤抽取出来，就形成了微元法。设所求的量A是一个满足可加性的整体量，分布在某个变量如x的区间上，由可加性，若记为分布在上的量，则所求的量就是。取自变量区间中的一个微元，根据可加性，则所求量分布在上的微元为 近似计算，若存在，使得 且，则 。注、微元法和定积分的思想是一致的，关键的步骤仍然是近似计算，近似计算的原则是在满足要求的条件下尽量简单。因此，在计算微元的面积时，我们用矩形面积作为曲边梯形的近似，我们知道，用连接曲边两个顶点的梯形作为曲边梯形的近似比矩形近似更精确，但是，计算较为复杂，矩形近似计算简单又满足要求，因此，我们

12、选择了矩形近似。为了说明这一点我们再看一个例子。例3 计算曲线对应于段的长度。解、任取自变量的微元，记，我们用连接点和的直线段作为对应弧长的近似，则 故， 。注、上述的近似是用直角三角形的斜边作为弧长的近似，那么，能否用dx直角边作为其近似呢？答案是否定的，我们以简单的斜直线为例进行说明，当曲线为斜直线时，用直角边近似斜边的误差为，由于 因而，是dx的同阶的量，而不是其高阶无穷小量，因而，这样的近似不合适。习题 1、计算下列曲线的弧长。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； §3 体积的计算本节，我们解决两类问题，一类是已知几何体的截面积，求几何体的体积；另一类是旋转体的

13、体积。一、已知截面积的几何体的体积设几何体夹在平面xa和xb之间，被垂直于x轴的截面所截的面积为A（x），计算几何体的体积V。 我们用微元法给出计算公式。由于几何体分布在上，任取微元，分布在上的体积，可以用以A（x）为底、dx为高的圆柱体近似，因而， 故， 。 例1 一平面经过半径为R的圆柱体的底面中心，并与底面交成角度，计算圆柱体被平面截下的部分的体积。解、如图，以圆柱体底面的中心为原点、底面为坐标面、平面与底面的交线为x轴作空间直角坐标系，则体积可以视为分布在上，任取，过点作垂直于x轴的平面，该平面与截体的截面为直角三角形，因而，其面积为 ，故， 。 例2 计算两圆柱面、相交所围的体积。解

14、、如图，利用对称性，只需计算在第一象限中的部分。将截体视为分布x轴上的区间上，任取，过点作垂直于x轴的垂面，其与所求体积的几何体的截面为矩形，利用圆柱面方程可以计算交点的坐标，因而，截面的面积为： ，故，所求体积为 。二、旋转体的体积一平面图形绕平面上一直线旋转一周所形成的几何体称为旋转体，相应的直线称为旋转轴。下面，我们从最简单的旋转体的体积计算出发，导出一般的旋转体的体积。1、矩形绕其一边旋转的旋转体的体积。如图，假设矩形的长为h，宽为R，绕边长为h的一边旋转，旋转体为圆柱体，圆柱体的高为h，底面半径为R，因而，旋转体的体积为 。2、简单旋转体的体积。给定简单曲线l：，计算由曲线l、直线x

15、a、xb和x轴所围图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积。分析 将旋转体的体积转化为已知的几何体的体积的计算，由于我们到目前为止，掌握的几何体的体积的计算是已知截面积计算体积，因此，求解的思路就是利用上述已知的公式来求解。任取，过点作垂直于x轴的垂面，则垂面与旋转体的截面为以为半径的圆，因而，截面积为，因而，旋转体的体积为 。注、总结上述求解思想，先计算垂直于旋转轴的截面积，再代入公式计算旋转体的体积，利用这种思想，也可以计算旋转轴为任一直线时的旋转体的体积。例3 计算摆线l：与x轴所围的图形的下列旋转体的体积。： 1、绕x轴的旋转体体积； 2、绕y轴的旋转体的体积； 3、绕直线y2a的旋转体的体积

16、。解、1、以x轴为旋转轴时，曲线l相对于变量x为简单曲线，代入公式，则 。2、以y轴为旋转轴时，曲线l对变量y不是简单曲线，通过曲线的最高点将曲线分为两段简单曲线： ， ，因此，所求的体积V等于段所围的图形绕y轴的旋转体的体积减去段所围的图形绕y轴的旋转体的体积，计算得 因而， 。3、以直线y2a为旋转轴时，旋转体分布在直线y2a的区间上，任取，作垂直于旋转体的截面，则截面为同心圆，其面积为 ，因而，旋转体的体积 。习题 1、计算下列曲面所围的体积。 1）、； 2）、，； 2、计算下列旋转体的体积。 1）、绕x轴旋转； 2）、绕x轴旋转； 3）、分布绕x轴和y轴旋转； 4）、绕极轴旋转； 3、

17、给定简单曲线l：，给出由曲线l、直线xa、xb和x轴所围图形绕y轴旋转一周的旋转体的体积的计算公式。§4 旋转体的侧面积本节，我们从特殊的圆锥的侧面积出发，导出旋转体的侧面积的计算公式。 1、圆锥体的侧面积给定底面半径为R，斜高为l的圆锥体，则由于其侧面展开是扇形，因此，利用扇形面积 的计算公式可得其侧面积（不包含底面）为。2、截锥的侧面积圆锥被平行于底面的平面截去锥尖所剩下的部分称为截锥。设截锥的上顶圆半径为r，下底圆半径为R，斜高为l，计算其侧面积S。如图，利用圆锥侧面积公式，则 由于，则 故， 。3、旋转体的侧面积设简单曲线，计算其绕x轴旋转一周的旋转体（即曲线、直线xa、xb

18、和x轴所围图形的旋转体）的侧面积，其中。 我们用微元法。任取微元，则对应于微元上的侧面积可以用截锥的侧面积来近似，如图，因而， 其中当时。故 。 注、对一般的函数，对应的公式为 。注、利用弧长的微元公式，侧面积的公式也可以写为 。注、在公式的导出过程中，我们用截锥的侧面积作近似计算，但是，不能用圆柱的侧面积作近似，因为此时的误差不是dx的高阶无穷小量。注、利用上述基本公式，可以得到其它形式下的计算公式。例1 计算心形线绕极轴的旋转体的侧面积。解、由对称性，只需计算上半部分对应的侧面积，代入公式得 。习题 1、计算下列旋转体的侧面积。 1）、绕x轴旋转； 2）、绕x轴旋转； 3）、 分布绕x轴和

19、y轴旋转； 2、设简单曲线，导出其绕y轴旋转一周的旋转体（即曲线、直线xa、xb和x轴所围图形的旋转体）的侧面积，其中。第八章 定积分的应用习题课一、主要内容：要求掌握： 1、定积分的思想、微元法；2、能够运用微元法计算各种量，掌握近似计算中的近似原则；3、各种公式（面积、侧面积、体积、弧长的计算公式）及各种形式（一般方程、参数方程、极坐标方程）下公式的转换和推导；4、特殊的曲线及其对应的方程和图形，特别是由极坐标方程给出的一些曲线；5、注意对称性在各种计算中的运用。二、例题分析 例1 计算曲线和曲线所围的面积。解、如图，曲线半径为3，圆心在x轴上的圆，曲线是心形线，二者关于极轴对称，只需计算上半部分，先计算交点，求解 得，因此，通过射线将图形分为两部分，因而，所求面积为 。例2 计算椭球面所围的体积。解、将椭球体视为分布在x轴的区间上的几何体，任取，过点（x，0，0）作垂直于x轴的平面，则此平面与椭球体的截面为椭圆 所围成