第25讲平面向量的数量积

1、第 25 讲 平面向量的数量积 （1课时）神经网络准确记忆！平面向量数量积和运算重点难点好好把握！重点：1数量积的概念的几何意义。2数量积的坐标运算及运算律。难点：1数量积运算的应用。2数量积的性质。考纲要求注意紧扣！1掌握平面向量的数量积及其几何意义。2了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。3. 掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用。4. 掌握平移公式。命题预测仅供参考！1数量积在高考中占有重要地位，涉及的题型有选择题、填空题、解答题。2数量积在数学和其他学科中的应用。考点热点一定掌握！1平面向量的数量积 定义：a、

2、b的数量积a·b = |a|·|b|· 。其中a、b不等于零，是a、b的夹角，数量积也称为内积。规定：0向量与任一向量的数量积为0。特别地，当a与b同向时，ab = |a|b|（这也是的另一形式的充要条件）；当a与b反向时，a×b = -|a|b|。 a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosq的乘积。例已知 ,与的夹角是120º，计算： ； 。解： 点评：求向量的模时，注意利用公式 ， 。2平面向量数量积的运算数量积的运算律：；。数量积的坐标运算：设a = (x1, y1)，b = (x2,

3、 y2)，则：ab = x1x2 + y1y2 。注意事项：若 或 ，则，反之则不然。因为当时，也有。若 ，则 ，反之则不然，即向量等式不能两边同时除以一个向量。因为是一个数，那么与平行，同理与平行，而一般、并不平行。即向量数量积的结合律不成立。例设、是任意的非零向量，且相互不共线，则下列四个命题中是真命题的有（）： ； ； 不与垂直； 。. . . . 解：因为与平行，与平行，所以和不一定相等，命题不正确。因为、是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边，可知命题正确。因为 =，所以与垂直，命题不正确。，命题正确。综上所述，应选。3数量积的性质设a、b为两个非零向量，e是

4、与b同向的单位向量，是a与b的夹角，则 ea = ae =|a|cosq 。 ab Û ab = 0 。设 a = (x, y) ，则特别的aa = |a|2或。设 a 的起点和终点坐标分别为、，则 （两点距离公式）。 cosq =，其中a =、b = （夹角公式）。 |ab| |a|b| 。 几个推论在数量积运算律中，有三个形似实数的公式在解题中可以直接应用：(a±b)a±a·bb， (ab)(ab)ab 。例已知两单位向量a与b的夹角为120º，若 c=2a-b，d=3b-a，试求c与d的夹角。解： a、b为两单位向量， |a|=|b|=1

5、，又 a与b的夹角为120º， ab=|a|b|cos120º， |c|=cc=(2a-b) (2a-b)=4aa-4ab+bb=4|a|-4ab+|b|=7， |c|=。 ， 。 ， （其中为的夹角）。 。4两个向量垂直的充要条件ab Û ab = 0 （a、b均为非零向量），设 a =、b =，则 ab Û x1x2 + y1y2 = 0 。例已知 ，与的夹角为，当实数为何值时， ； 。解： 要使 ，则要 ，即 ， 当 时，。 要使 ，则要 ，即 ， ， ， 。5数量积的应用例（2002年高考题）已知两点，且点使、成公差小于零的等差数列 点的轨迹是什

6、么曲线？ 若点坐标为，记为与的夹角，求。解：（1） 设P（x，y），由M（1，0），N（1，0）得， =（1x，y）， =（1x，y）， =（2，0），=2（1+x）， =x2+y21，=2（1x），于是，是公差小于零的等差数列，等价于所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.（2）点P的坐标为（x0，y0） ， ， ， ， 。点评：本题是向量在数列与曲线方程中的应用。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！习题双基细目表XL0105平面向量的数量积及其运算12345678a·b = |a|·|b|· （定义）ab = x1x2 + y1y2 (坐标运算) (数

7、量积的交换律) (数对数量积的结合律) (加法对数量积的分配律)ea = ae =|a|cosq （性质）|ab| |a|b| （性质）(a±b)a±a·bb （推论）(ab)(ab)ab （推论）XL0106平面向量的垂直ab Û ab = 0ab Û x1x2 + y1y2 = 0XL0109应用 （两点距离公式）cosq = （夹角公式）1判断正误，并简要说明理由.·00；0·；0；·；若0，则对任一非零有·；若·，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（·）（·）；与

8、是两个单位向量，则；（3+2）·（32）= 94 ；= | 。解：上述8个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0·；对于：应有·0；对于：由数量积定义有···cos，这里是与的夹角，只有或时，才有··；对于：若非零向量、垂直，有·；对于：由·可知可以都非零；对于：若与共线，记。则·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若与不共线，则(·)（·）。点评：这一类问题

9、，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律。2对任意向量 、 ， 与 的大小关系是（）A   B C   D无法确定答案：C。3 =_答案：-1 。4已知a，b，a·b，求ab，ab.解：ab（ab）aa·bb×（）ab，（ab）（ab）a2a·bb22×（3）×35，ab5（2000年上海高考题）已知向量(1，2)、(3，m)，若，则m 。答：4。6设A、B、C、D四点坐标依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( )A.正方形B.矩形 C.菱形D.平行四边形分析： =(1，2)，=(1，2)， =。又线段AB与线段DC无公共点， ABDC且|AB|=|DC|， ABCD是平行四边形，又|=， =(5，3)，=， |， ABCD不是菱形，更不是正方形。又=(4，1)， 1×4+2×1=60， 不垂直于， ABCD也不是矩形，故选D。7已知a（，），b（，），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求a·b及a