积分运算运用

1、目录 摘要1Abstract11 定积分的一般求法21.1第一换元积分法（也叫凑微分法）21.1.1 简单的积分分式的凑微分法21.1.2 复杂积分式的凑微分法31.2 第二换元积分法41.2.1 利用三角函数代换，变根式积分为有理式积分41.2.3 指数代换51.3分部积分法61.4 有理函数和可化为有理函数的不定积分71.4.1有理函数的不定积分71.4.2 三角函数有理式的不定积分101.4.3 某些无理根式的不定积分112.1 牛顿莱布尼茨公式142.2 特殊形式的定积分的计算142.2.1 分段函数的积分142.2.2 被积函数带有绝对值符号的积分153反常积分的求法163.1 无穷

2、限反常积分163.2 瑕积分16参考文献17致 谢19求积分方法的总结摘要：不同问题不同方法，在这篇论文中主要针对一元积分问题。本篇论文主要总结定积分的求法、不定积分的求法和反常积分的求法，在总结这些不同类型的积分求法过程中我主要是先讲基本方法再具体举例说明。有时同一问题有多种解法的我也列举出来了。通过这次总结我们以后都能很好的解决一般的积分问题。关键词：积分；积分方法；不同类型The Summary of the Method of IntegrationAbstract: Different problems , different methods .In thesis main poin

3、ts to the integral of one unknown problem . This article mainly summary the method of how to solve definite integral、indefinite integral and improper integral, during the review process, the main I write is basic approach and then take some examples. Sometimes one problem may have more than one solu

4、tion. Toward this process we can solve integral problem easily. Keywords: integral；method of integral；different kinds1 不定积分的一般求法1.1第一换元积分法（凑微分法）设，则 （令） （） .用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。 简单的积分分式的凑微分法例1 求下列不定积分： （1） （2） （3） （4） （5） （6）解 （

5、1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 复杂积分式的凑微分法将被积分式写成，或，其中较复杂.对或构成的主要部分求导，若其导数为的常数倍，则或.其中为常数，为的主要部分.例2 计算下列积分： （1） （2） （3） （4）解 （1），原式 .（2）原被积式的分子分母同除以，得.（3）， 只要分子分母同乘以，便有 原式 .（4）原被积分式的分子分母同除以，则 原式 .1.2 第二换元积分法 利用三角函数代换，变根式积分为有理式积分例1 求下列不定积分： （1） （2）解 （1） 被积函数中含有， 应作变换，于是 原式 .（2）令 原式 . 倒代换（即令） 设，分别为被积函数分子、

6、分母关于的最高次数，当时，用倒代换可望成功.例 求.解 令，则.于是 原式 . 指数代换适用于元被积函数由所构成的代数式.令，.例 求.解 令， 原式 .1.3分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法.定理 （分部积分法）若与可导，不定积分存在，则也存在，并且有. （3） 证 由或，对上式两边求不定积分，就得到（3）式.公式（3）称为分部积公式，常简写作.例1 求.解 令，则有，.由公式（3）求得.例2 求.解 .例3 求和.解 ，.由此得到.解此方程组，求得，.例4 求.解 做变量替换，则有.故有.例 求.解 .1.4 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的不定积分定义.1 有理函数

7、是指有两个多项式函数的商所表示的函数,期一般形式为,其中为非负整数,与都是常数,且，.若，则称它为真分式;若,则称它为假分式. 根据代数知识,有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和（称为部分分式分解）.因而问题归结为求那些部分分式的不定积分.为此,先把怎样分解部分分式的步骤简述如下：第一步 对分母在实系数内作标准分解：,其中，（1,2，；=1,2,，）均为自然数,而且;, .第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如的因式,它所对应的部分分式是；对每一个形如的因式,它所对应的部分分式是 .把所有的部分分式加起来,使之等于.（至此，部分分式中的常系数，尚未待定的。）第

8、三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母，而其分子亦应与原分子恒等.于是,按同幂项系数必定相等,得到一组关于待定系数的线性方程,这组方程的解就是需要确定的系数.例1 对作部分分式分解.解 令,其中,.部分分式分解的待定形式为 （）用乘上式两边,得一恒等式然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：的系数的系数的系数的系数常数项求出它的解：,并代入（）式，这便完成了对的部分分式分解： .例2 求.解 在本题中由于被积函数的分母只有单一因式,因此,部分分式分解能被化简为.现分别计算部分分式的不定积分如下：. （其中）.于是得到. 三角函数有理式的不定积分是三角函数有理式的不定积分.一般通过变换,可把它化为