直线与平面平面与平面垂直的性质

1、直线与平面、平面与平面垂直的性质学习目标1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.知识点一直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言作用线面垂直线线平行作平行线思考(1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？答(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.(2)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即

2、无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.知识点二平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线思考(1)如果，则内的直线必垂直于内的无数条直线吗？(2)如果，过内的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于吗？答(1)正确.若设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直，否则不垂直.题型一直线与平面垂直的性质及应用例1如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EFBD1.证

3、明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，ACBD1.同理可证BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.跟踪训练1已知AB，PQ于点Q，PO于点O，OR于点R.求证：QRAB.证明如图，因为AB，PO于点O，所以POAB.因为PQ于点Q，所以PQAB.因为POPQP，所以AB平面PQO.因为OR于点R，所以PQOR.因为PQ与OR确定平面PQRO，QR平面PQRO，

4、AB平面PQRO，所以ABQR.题型二平面与平面垂直的性质及应用例2如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积.(1)证明O，M分别为AB，VA的中点，OMVB.VB平面MOC，OM平面MOC，VB平面MOC.(2)证明ACBC，O为AB的中点，OCAB.又平面VAB平面ABC，且平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，OC平面VAB.OC平面MOC，平面MOC平面VAB.(3)解在等腰直角ACB中，ACBC，AB2，OC1，S

5、VABAB2.OC平面VAB，VCVABOCSVAB1，VVABCVCVAB.跟踪训练2如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，过点A作AFSB，垂足为F.求证：BCSA.证明因为平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.又因为BC平面SBC，所以AFBC.因为ABBC，AFABA，所以BC平面SAB.又因为SA平面SAB，所以BCSA.题型三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C

6、；(2)求点B1到平面EA1C1的距离.(1)证明过B作CD的垂线交CD于F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBFE中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD得BEBB1，又BB1BCB，所以BE平面BB1C1C.(2)解三棱锥EA1B1C1的体积VAA1.在RtA1D1C1中，A1C13.同理，EC13，A1E2.故3.设点B1到平面A1C1E的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积Vdd，从而d，d.即点B1到平面EA1C1的距离为.跟踪训练3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，DAB60，侧面PA

7、D为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边上的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论.(1)证明设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.因为PAD为等边三角形，所以PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD.又因为BGPGG，所以AD平面PGB.因为PB平面PGB，所以ADPB.(2)解当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.如图，设F为PC的中点，则在PBC中，EFPB.在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB.由(1)，得

8、PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD.所以平面DEF平面ABCD.条件开放型例4如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1CB1D1？(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)分析解因为BDB1D1，所以要使A1CB1D1，需A1CBD.又因为A1A平面ABCD，A1ABD，A1AA1CA1，所以BD平面A1AC.因为AC平面A1AC，所以ACBD.由以上分析，知要使A1CB1D1，需使ACBD或任何能推导出ACBD的条件，如四边形ABCD是正方形、菱形等.1.在空间中，下列命题正确的是()A.垂直于同一条

9、直线的两直线平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行2.关于直线m，n与平面，有下列四个命题：若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn.其中真命题的序号是()A. B. C. D.3.若平面平面，平面平面，则()A.B.C.与相交但不垂直D.以上都有可能4.已知a、b为直线，、为平面.在下列四个命题中，正确的命题是_.若a，b，则ab；若a，b，则ab；若a，a，则；若b，b，则.5.如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.一、选择题1

10、.在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EFA1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行 B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直2.如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，则()A.PD平面ABC B.PD平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD平面ABC3.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.ABC内部4.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在

11、沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A.与 B.与 C.与 D.与5.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是()A.PABC B.BC平面PACC.ACPB D.PCBC6.三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则()A.SABCSPBCSOBC B.SSOBCSABCC.2SPBCSOBCSABC D.2SOBCSPBCSABC7.如图，四边形ABCD中，ABAD

12、CD1，BD，BDCD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()A.ACBD B.BAC90C.CA与平面ABD所成的角为30 D.四面体ABCD的体积为二、填空题8.设两个平面，直线l，下列三个条件：l；l；.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为_.9.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为_.10.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_.11.如图所示，已知

13、两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长等于_.三、解答题12.如图所示，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点.(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.13.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论.当堂检测答案1.答案D解析A项中垂直于同一条直线的两直线可能

14、平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.2.答案D解析m，n可能异面、相交或平行，m，n可能平行、异面或相交，所以错误.3.答案D解析两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能，故选D.4.答案解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假.5.答案解析侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，PB.课时精练答案一、选择题1.答案D解析在长方

15、体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1平面A1B1C1D1且平面A1ABB1平面A1B1C1D1A1B1，又EF面A1ABB1，EFA1B1，EF平面A1B1C1D1，答案D正确.2.答案B解析PAPB，ADDB，PDAB.又平面ABC平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面ABC.3.答案A解析连接AC1，BAC90，即ACAB，又ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1.又AC平面ABC，于是平面ABC1平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的投影必在直线AB上，故选A.4.答案B解析由SGGE，SGGF，得SG平面EFG，排除C、D；若SE平面EFG，则

16、SGSE，这与SGSES矛盾，排除A，故选B.5.答案C解析PA平面ABC，PABC，A选项正确；BCAC，BC面PAC，BCPC，B，D选项均正确.故选C.6.答案B解析如图，由题设，知O是垂心，且有APPD，所以PD2ODAD，即SSOBCSABC.7.答案B解析取BD的中点O，连接AO，CO.ABAD，AOBD.CDBD，OC不垂直于BD.假设ACBD，AOACA，BD平面AOC，OCBD，出现矛盾，即AC不垂直于BD，A选项错误；CDBD，平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，CDAB.ABAD1，BD，ABAD，AB平面ACD，ABAC，B选项正确；CAD

17、为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，C选项错误；VABCDSABDCD，D选项错误.二、填空题8.答案1解析作为前提条件，作为结论构成的命题正确，过l作一平面与交于l，则ll，所以l，故；作为前提条件，作为结论构成的命题错，这时可能有l；作为前提条件，作为结论构成的命题错，这时l与的各种位置关系都可能存在.9.答案解析取BC的中点F，连接EF，DF，易知EDF为直线DE与平面ABCD所成的角，tanEDF.10.答案8解析如图.因为矩形ABCD的四个顶点都在球面上，所以过A，B，C，D四点的截面圆的圆心为矩形ABCD的中心O.连接OO，在AOC中，因为OAOC，且O为AC的中点，所以O

18、OAC.同理，OOBD.又因为ACBDO，所以OO平面ABCD，即OO为棱锥OABCD的高.AO2，OO2，所以VOABCD6228.11.答案解析取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.三、解答题12.证明(1)如图所示，设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此，四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点.又F为PC的中点，因此，在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意，知EDBC，EDBC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BECD.又AP平面PCD，所以APCD，所以APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP、AC平面PAC，所以BE平面PAC.13.(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面AB