第二节二重积分(直角坐标)的计算0941副本

1、第二节 二重积分的计算(直角坐标部分)教学目的：了解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握型区域与型区域上积分公式，熟练掌握极坐标系下的二重积分公式；熟练掌握极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；并能根据条件选择合适的方法计算积分.重点：型区域与型区域上积分的计算；极坐标系下的二重积分的计算；极坐标与直角坐标系下的二重积分的互化；根据条件选择合适的方法计算积分.难点：极坐标与直角坐标系下二重积分的互化；选择合适的方法计算积分.教学方法:直观教学，启发式讲授教学过程：一、利用直角坐标系计算二重积分1先对后对的二次积分假定, 且,其中: ,则.结论：二重积分必须转化为二次累次积

2、分进行计算. 注:事实上,条件可以省去.证明: 设是以为底、为顶的曲顶柱体,体积仍用表示.则.过轴上点作平行于的平面,.截得一以长为底,为曲边的曲边梯形,其面积为 .当 .2先对后对的二次积分.其中:,.例1计算,由及围成.解: 积分区域, 则 .另解:.例2计算,由及围成.解: 如图, 其中由及围成；由及围成.(1) ；(2).(3) .(此方法不好，太复杂了)（另一种解法）则）解 .(积分区域为矩形)例3 化二重积分为二次积分(写出两种积分次序).(1)解为矩形区域,所以.(2)是由轴,及围成的区域.解 则.若将表示为,则 . (3)是由轴,及围成的区域.解若则.若则 .(4)是由轴,圆在

3、第一象限的部分及直线围成的区域.解若且及，则.若则 .(5)是由轴与抛物线在第二象限的部分及圆第一象限部分围成的区域.解若将表示为及则 .若将表示为则 .3型区域与型区域(1) 型区域: 穿过内部且平行于轴的直线与边界相交不多于两个交点. 此时.(2)型区域: 穿过内部且平行于轴的直线与边界相交不多于两个交点. 此时. (3) 对于任意区域,可将分成若干个型与型区域后分别积分：.例4 计算.解: .（太复杂！）另解: .（简单多了）注意：选择计算顺序非常重要.例5(87.5) 设积分区域是由曲线与直线在第一象限内围成的封闭区域,求.（是初等函数但其没有初等原函数，即必须在型区域上进行积分）解积

4、分区域可表示为 ,.例6(91.5) 计算二重积分.其中是由轴,轴与曲线所围成的区域;.解积分区域可表示为,.例7 (1)(01.6)求二重积分的值,其中是由直线,及围成的平面区域.解积分区域可表示为,于是 .(注意一重积分的对称性)(2)解.练习:选择合适顺序计算下列积分1),其中是由直线和轴围成的区域.解:将分成,又在上是的偶函数,且关于轴对称(与均关于轴对称).2)解:4交换积分顺序上述的积分使我们看到积分顺序很重要，以下以实例说明如何交换积分顺序.例8交换二次积分的次序:(1)解积分区域为,积分区域还可以表示为,于是 原式.(2)解积分区域为,，积分区域还可以表示为 ,于是 原式.（3

5、）(02.3) 交换积分次序:.解积分区域可表示为,其中 ,也可以表示为,故.（4）(92.3) 交换积分次序:.解积分区域可表示为, 故.例9 求证:提示:交换积分次序.解二重积分中的积分区域为 ,区域还可以表示为 ,于是 即 .例10(88.4)求.解积分区域可表示为,(初等函数的原函数不是初等函数).例11(1)计算,是由直线及抛物线围成的区域.提示:此题若选用型区域上的积分则无法计算出这个二重积分.解取型区域，则区域可表示为, .(2) 计算,是由直线及及轴围成的区域.（此题若选用型区域上的积分则无法计算出这个二重积分.）解：选用型区域上的积分(3)计算解：例12(06.7) 计算二重

6、积分,其中是由直,所围成的平面区域.分析：注意积分的顺序，使其计算简单解区域可表示为,故 .例13(1)（本题满分07.3.11分）设二元函数 计算二重积分，其中【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简.【详解1】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有其中为D在第一象限的部分. 设 , ,.因此 .【详解2】记，则=【评注】被积函数包含时, 可考虑用极坐标较容易；解法二在计算积分时, 利用了将区域转化为区域D减去,而后面这两块区域均方便积分.例14某城市受地理限制呈直角三角形分布,斜边临一条河.由于交通关系,城市发展不太均衡,这一点可从税收状况反映出来.若以两直角边为坐标轴建立直角坐标系,则位于轴和轴上的城市长