第四章《数列》

1、第四章 数列§4.1数列的概念一、高考要求：理解数列的概念和数列的通项公式、数列的前n项和的意义.了解数列的分类.二、知识要点：1. 数列的概念:按一定“次序”排列的一列数,叫做数列.在数列中的每一个数叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)、第2项、第3项、第n项、.2. 数列的通项公式:用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式.数列的通项是以正整数集的子集为其定义域的函数,可记作:.3. 数列的前n项和:在数列、中,把+叫做数列的前n项和,记作:=+.4. 数列的分类:按项数是有限还是无限来分,数列可分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系来分,

2、数列可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.三、典型例题：例1:写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下面各列数:(1)1,3,5,7; (2)1,3,6,10;(3),1,; (4),.例2:已知数列:=1,(1)写出数列的前5项; (2)求通项公式.例3:已知数列的前n项和,求数列的通项公式:(1) ; (2).四、归纳小结：1. 数列与数集:数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体.数列中的数是有序的,而数集中的元素是无序的;同一个数在数列中可以重复出现,而数集中的元素是互异的.数列概念的内涵是一列数、有序排列等两个本质属性的总和.2. 数列与函数:数列可看作是一种特殊的函数

3、(定义域为正整数集或其有限子集的函数)当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.3. 数列的通项公式:一个数列的通项公式就是一个以或它的有限子集1,2,3,n为定义域的函数的解析表达式;不是每一个数列都一定有通项公式,如果一个数列有通项公式,那么它的通项公式在形式上可以不止一个.求数列的通项公式实质上就是寻找数列的第n项与序号n之间的联系纽带.数列的递推公式是给出数列的一种重要方法.4. 数列的通项公式与前n项和公式之间的关系:.五、基础知识训练：(一)选择题：1. 数列1,3,7,15,的通项公式是( ) A. B.+1 C.-1 D.2. 下列关于数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,

4、的通项公式,不正确的是( ) A. B. C. D.3. 已知某数列的通项公式为,则2047是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项4. 已知数列那么6是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项5. 已知,那么的值是( ) A.3 B.6 C.-3 D.-66. 已知数列满足,则的值是( ) A. B. C. D.7. (97高职)数列的前n项和,则它的第n项是( ) A.n B.n(n+1) C.2n D.8. 已知数列的通项公式为,那么数列的前n项和达到最大值时n=( )A.15 B.18 C.16或17 D.19(二)填空

5、题：9. 数列1,x,中,x= .10. 数列7,77,777,7777,77777,的一个通项公式是 .11. 已知数列的前n项和,则它的第n项= .12. 已知数列的前n项和,那么= .13. 在数列中,则数列的前n项和达到最大值时n= .(三)解答题：14. 已知数列的前n项和,数列的前n项和,若,求p的值.15. 已知数列的前n项和,求.16. 已知数列的前n项和满足,求数列的通项公式.六、综合能力提高：17. 已知数列,(1)求、; (2)归纳的通项公式.18. 已知数列满足,且.(1) 写出这个数列的前5项;(2) 用上面数列,通过等式构造一个新数列,写出数列的前5项.§

6、4.2等差数列一、高考要求：掌握等差数列的概念,掌握其等差中项、通项公式及前n项和公式,并会用公式解简单的问题.二、知识要点：1. 等差数列的概念:一般地,如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一常数,则这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d来表示.公差为0的数列叫做常数列.2. 等差数列的通项公式:.3. 等差中项的概念:一般地,如果在数a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.记作:.4. 等差数列的前n项和公式:或.三、典型例题：例1:已知,求等差数列的通项公式及前n项的和公式.例2:在等差数列中,求n.例3

7、:已知数列是等差数列,且,求的值.例4:已知数列的前n项的和为,求证数列是等差数列.例5:等差数列中,该数列的前多少项的和最小?四、归纳小结：1. 判断一个数列是等差数列的方法:(1)(n2,d为常数)是公差为d的等差数列;(2)(n2)是等差数列;(3)(k,b为常数)是公差为k的等差数列;(4)(A,B为常数)是等差数列.2. 三个数a,b,c成等差数列的充要条件是a+c=2b(b是a和c的等差中项).等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系:(n2),可推广为:若项数m,n,p成等差数列,则.3. 公差为d的等差数列的主要性质:(1)d0时,是递增数列; d0时,是递减数列; d=

8、0时,是常数列;(2);(3)若m+n=p+q(),则;(4)数列(,b是常数)是公差为d的等差数列;(5)成等差数列.4. 解题的基本方法:(1) 抓住首项与公差,灵活运用定义、通项公式及前n项和公式是解决等差数列问题的关键.(2) 等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:,知道其中任意三个就可以列出方程组求出另外两个(俗称“知三求二”).(3) 巧设未知量.若三数成等差数列,可设这三数分别为a-d,a,a+d(其中d为公差);若四数成等差数列,可设这四数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(其中2d为公差).(4) 若a,b,c成等差数列,常转化为a+c=2b的形式去运用;反之,求

9、证a,b,c成等差数列,常改证a+c=2b.五、基础知识训练：(一)选择题：1. (02高职)已知等差数列中,=1002,=2002,d=100,则项数n的值是( ) A.8 B.9 C.11 D.122. 已知等差数列中,=1,=5,则=( ) A.19 B.21 C.37 D.413. 等差数列中,则=( )A.36 B.38 C.39 D.424. 在1和100之间插入15个数,使它们同这两个数成等差数列,则这个数列的公差为( ) A. B. C. D.5. 已知a,b,cR,那么“a-2b +c=0”是“a,b,c成等差数列”的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充

10、要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知a,b,c的倒数成等差数列,且a,b,c互不相等,则等于( ) A. B. C. D.7. 已知数列和都是等差数列,且,则=( ) A. B. C. D.8. 一个等差数列的首项是32,若这个数列从第15项开始小于1,那么这个数列的公差d的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在ABC中,若三个角A、B、C成等差数列,且、也成等差数列,则ABC一定是( )A.有一个角是60º的任意三角形 B.有一个角是60º的直角三角形C.正三角形 D.以上都不正确10. 在等差数列中,已知,那么它的前8项和=( )A.12 B.24 C.3

11、6 D.4811. 已知等差数列的公差为1,且,则的值是( )A.99 B.66 C.33 D.012. 等差数列中,则=( )A.55 B.110 C.15 D.以上都不对13. 已知等差数列,它的前n项和为25,前2n项和为100,则其前3n项和为( )A.125 B.225 C.250 D.30014. 数列、都是等差数列,其中,则数列的前100项的和是( )A.0 B.100 C.10000 D.50500015. 等差数列中,则取得最大值时n的值为( )A.23 B.24 C.25 D.2616. 等差数列中,那么的值等于( )A.60 B.182 C.-82 D.-96(二)填空题

12、：17. 已知等差数列中,=48,则= .18. 等差数列中,已知,则= .19. (03高职)已知三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,则这三个数依次为 .20. 与的等差中项为 .21. 等差数列中,首项,公差,前n项和,则n的最小值为 .(三)解答题：22. 已知是等差数列,公差为d,前n项和为:(1),求及;(2),求及;(3),求及;23. 设是等差数列的前n项和,证明:数列也是等差数列.六、综合能力提高：24. 设等差数列的前n项和为,.(1) 求公差d的取值范围;(2) 指出中哪一个值最大,并说明理由.25. 设数列的前n项和为,若对于所有的自然数n,都有,求证

13、:是等差数列.§4.3等比数列一、高考要求：掌握等比数列的概念,掌握其等比中项、通项公式及前n项和公式,并会用公式解简单的问题.二、知识要点：1. 等比数列的概念:一般地,如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的比都等于同一常数,则这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q来表示.公比为1的数列叫做常数列.2. 等比数列的通项公式:.3. 等比中项的概念:一般地,如果在数a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.记作:.4. 等比数列的前n项和公式:时,或;时,.三、典型例题：例1:在等比数列中,已知=189,=96,q

14、=2,求和n.例2:设等比数列的公比与前n项和分别为q与,且q±1,求的值.例3:数列中,.(1)求证:是等比数列; (2)求.例4:已知等差数列的公差和等比数列的公比都是d,.(1) 求与d的值;(2) 是不是中的项?为什么?例5:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为8, 第二个数与第三个数的和为4,求这四个数.四、归纳小结：1. 判断一个数列是等比数列的方法:(1)(n2,q是不为零的常数)是公比为q的等比数列;(2)(n2,)是等比数列;(3)(c,q均是不为零的常数)是首项为cq,公比为q的等比数列.2. 三个数a,b,c成等比数

15、列的必要条件是或 (b是a和c的等比中项).等比中项描述了等比数列中相邻三项之间的数量关系:(n2),可推广为:若项数m,n,p成等差数列,则.3. 公比为q的等比数列的主要性质:(1)当q1,或时,是递增数列;当q1,或时,是递减数列; 当q=1时,是常数列; 当q0时,是摆动数列.(2);(3)若m+n=p+q(),则;(4)数列(为不等于零的常数)是公比为q的等比数列;(5)成等比数列.4. 解题的基本方法:(1) 抓住首项与公比,灵活运用定义、通项公式及前n项和公式是解决等比数列问题的关键.(2) 等比数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:,知道其中任意三个就可以列出方程组求出另外两

16、个(俗称“知三求二”).(3) 巧设未知量.若三数成等比数列,可设这三数分别为 (其中q为公比);若四数成等比数列且公比为正整数时,可设这四数分别为(其中为公比).(4) 若a,b,c成等比数列,常转化为或的形式去运用;反之,求证a,b,c成等比数列,常改证或.五、基础知识训练：(一)选择题：1. 数列1,4,1999,( ) A.可能是等差数列,但不是等比数列 B.可能是等差数列,也可能是等比数列C.可能是等比数列,但不是等差数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列2. 等比数列的前3项为a、2a+2、3a+3,则为这个数列的( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项3. 为等比

17、数列,若,则的值等于( ) A.12 B.16 C.24 D.324. 等比数列的前n项和为,已知,则公比q的值为( ) A.2 B.3 C.6 D.125. 为等比数列,且,则=( ) A.-5 B.-10 C.5 D.106. 设是由正数组成的等比数列,且,则的值是( )A.5 B.10 C.20 D.30.7. 在1与16之间插入三个正数a,b,c,使1,a,b,c,16成等比数列,那么b等于( ) A.2 B.4 C.8 D.8. 设正数a,b,c成等比数列,若a与b的等差中项为,b与c的等差中项为,则的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.89. 成等差数列是a,b,c成等比数列的

18、( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件10. 数列1,1+2,1+2+4,1+2+4+8,1+2+4+8+16,的一个通项公式是( ) A. B. C. D.(二)填空题：11. 等比数列a,-2,b,c,-54,的通项公式为 .12. 数列的前n项和,要使数列是等比数列,则a的值是 .13. 在等比数列中,已知,那么= .14. 已知公差不为零的等差数列中,且成等比数列,那么= .15. 若a、b、c成等差数列,且a+1、b、c和a、b、c+2都成等比数列,则b= .16. 已知由三个数组成的等比数列,和为21,倒数和为,则这三个数为 .17. (

19、97高职)设三个连续正奇数为,而,是公比为3的等比数列,且,若,成等比数列,则三个连续正奇数分别是 .(三)解答题：18. 已知是等比数列,公比为q,前n项和为:(1),求及;(2),求及;(3),求及;19. 已知等比数列为递减数列,其前n项和=126,求公比q.20. 已知函数是一次函数,且成等比数列,求的表达式.21. 设是等差数列的前n项和,已知与的等比中项为,与的等差中项为1,求等差数列的通项.22. 一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列;如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.六、综合能力提高：23. 在

20、公差不为零的等差数列和等比数列中,已知=1,且.(1) 求数列的公差和数列的公比;(2) 是否存在常数a、b使得对于一切自然数n,都有成立,若存在,求出a和b;若不存在,说明理由.24. 设数列的前n项和为,且=1,.(1) 若,求证:是等比数列;(2) 若,求证:是等差数列;(3) 求数列的通项公式.25. 在数列中,已知.(1) 分别求出使和的n的取值范围;(2) 求数列的最大项;(3) 求数列的前n项和.§4.4数列求和一、高考要求：掌握常用的数列求和的方法.二、知识要点：特殊数列求和的常用方法主要有:(1) 直接由等差、等比数列的求和公式求和;(2) 分组转化法求和,把数列的

21、每一项分成两项,或把数列的项重新组合,或把整个数列分成两部分,使其转化成等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法;(3) 拆项相消法求和,把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为拆项相消法;(4) 错位相减法求和,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成,此时求和可采用错位相减法;(5) 倒序相加求和,如果一个数列,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写和的两个式子相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法.三、典型例题：例

22、1:求数列的前n项和.例2:求数列的前n项和.例3:求和:.例4: 求证:.四、归纳小结：应用特殊数列求和的常用方法要注意:(1) 如果一个数列是等差或等比数列,求和直接用公式,注意等比时q=1的讨论;(2) 分组求和,即转化为几组等差或等比数列的求和;(3) 拆项求和,以期正、负相消,或转化为几个数列的和差形式;(4) 错项相减求和,主要应用于一个等差与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和. 如等比数列的求和公式的推导;(5) 倒序相加求和,主要应用于与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和的数列求和.如等差数列的求和公式的推导.五、基础知识训练：(一)选择题：1. (2000高职)已知数

23、列: , ,则其前n项的和为( ) A. B. C. D.2. 数列的前n项的和=( ) A. B. C. D.3. 数列9,99,999,的前n项和是( ) A. B. C. D.4. 数列的前n项和是( ) A. B. C. D.5. 数列=( ) A. B. C. D.(二)填空题：6. 1-2+3-4+99-100的值是 ;1+3+81的值是 .7. 数列n的前n项和是 .8. 数列的通项为,则= .9. + = .i.(三)解答题：10. 求数列,的前n项的和.11. (98高职)求数列,的前n项的和.12. 求数列的前n项的和.13. 求数列,的前n项的和.14. 已知数列,求该数

24、列的前n项和.15. 求的值.16. 等差数列中,若从数列中依次取出2,4,8,项,按原来的顺序排成一个新的数列,求新数列的前n项和.六、综合能力提高：17. 设数列的通项公式为,记.(1) 写出的值;(2) 归纳出数列的通项公式;(3) 令,求.§4.5数列的应用一、高考要求：会用数列知识解简单的应用题.二、知识要点：1. 等差、等比数列的应用常见于:利率、产量、利润、成本、效益等增减问题,价格升降,繁殖,增长率等问题,因此解此类问题经常要建立数学模型,即从实际问题背景中抽取数学事例,归纳转化为数列问题去解决.2. 数列应用问题主要有等差数列型、等比数列型、等差数列与等比数列综合型

25、、递推数列型四种类型.三、典型例题：例1:某企业利用银行无息贷款,投资400万元引进一条高科技生产流水线,预计每年可获产品利润100万元,但还需用于此流水线的保养、维修费用第一年10万元,以后每年递增5万元,至少要几年可收回该项投资？解: 设第n年流水线的保养维修费为,则是首项=10,公差d=5的等差数列.n年来,利润共有100n,一共的保养维修费为: 要收回投资,即有 , 至少要6年才能收回该项投资.例2:国家为了刺激内需,规定个人购买耐用消费品不超过价格60%的款项,可以通过抵押方式向银行借贷,5年还清贷款.试根据上述规定解决下列问题:某人欲购一辆家庭微型车,他现有的全部积蓄20000元恰

26、好付掉40%的购车款.(1)他应向银行贷款多少?(2)若银行贷款的年利率为5%,按复利计算,这笔贷款自借贷的一年后起,按每年等额x元偿还.他每年应偿还多少元钱? (下列数据供选用:=1.2763)例3:沿海地区A公司响应国家开发西部的号召,对西部地区B企业进行扶持技术改造,B企业的综合现状是:每月收入为45万元,但因设备老化,从下个月起开始支付设备维修费,第一个月为3万元,以后逐月递增2万元.A公司决定投资400万元扶持改造B企业,据测算,改造后B企业第一个月收入为16万元,在以后的4个月中每月收入都比上个月增长50%,而后各月收入都稳定在第5个月水平上,若设备改造时间不计,那么从下个月开始至

27、少要经过多少个月,改造后的B企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益？例4:某渔场养鱼,第一年鱼的重量的增长率为200%,预计以后每年的增长率都是前一年增长率的一半.(1) 当饲养5年后,鱼的预计重量是原来的多少倍?(2) 如果由于环境的污染,每年的损失预计为重量的10%,那么经过多少年后,鱼的总重量开始减少?四、归纳小结:将实际问题转化为数列问题时,要注意:(1) 分清是等差数列还是等比数列的问题;(2) 分清是求,还是求n,特别要准确地确定项数.五、基础知识训练:(一)选择题:1. 一个屋顶的斜面成等腰梯形,最上面的一层铺瓦片21块,往下每一层比上一层多铺一块,斜面上铺了瓦19层,则

28、共铺瓦片( )A.228块 B.570块 C.589块 D.209块2. 某种细菌在培养过程中,每分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成( )A.511个    B.512个    C.1023个    D.1024个3. 邱爽从1988年起,每年9月3日在银行新存入1000元一年定期,若年利率2%保持不变,且每年到期存款均自动转存为新的一年定期,到2005年9月3日将所有存款及利息取回,她可取回的钱数(元)为( )A. B.C. D.(二)填空题:4. 银行给予某养鸡厂无息贷

29、款3600元,还款方式是一年后的第一个月还100元,以后每月比前一个月多还20元,则还清全部贷款共需要 个月.5. 计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机的价格就降低1/3,现在价格8100元的同类计算机9年后的价格是 .6. 某厂今年产值是100万元,计划再经过三年努力达到172.8万元,如果每年产值的增长率相同,则增长率是 .7. 某家庭为准备孩子上大学的学费,每年6月30日都在银行存入2000元,连续存5年,有如下两种存款方式:如果按五年期零存整取,每存入a元,按a(1+n×6.5%)计本利(n为年数);按每年转存,每存入a元,按计本利(n为年数),则到第六年7月1日取出全部本

30、利最多的存款方式是 .(三)解答题:8. (2000高职)某职工用分期付款的方式购买一套商品房,一共需15万元,购买时先付5万元,以后每年这一天都交付10000元,并加付欠款利息,年利率为1%,把交付5万元后的第一年开始算分期付款的第一年.求: (1)分期付款的第5年应付多少钱(6分)? (2)全部房款付清后,买这套房实际花了多少钱(6分)?9. (2001高职)西北某县位于沙漠地区,总面积为1000平方公里.在西部大开发的热潮中,该县人民与自然进行顽强斗争,到2000年底,全县的绿化率已达30%,从2001年开始,该县每年将出现以下变化,原有沙漠面积的16%将被植树种草绿化,同时,原有绿地面

31、积的4%又被侵蚀沙化.(1) 该县经过5年奋斗后,绿化面积是多少(面积取整数)?(8分)(2) 至少经过多少年的努力,才能使全县的绿化面积超过70%(年取整数).(6分)(下列数据供选用:lg2=0.301,lg7=0.845,=32768)10. (2002高职)2001年未来公司员工的年薪由基本工资8000元,住房补贴800元,医疗补贴1000元,交通补贴200元构成,今后逐年将递增25%;而2001年开创公司员工的年薪为20000元,今后逐年将递增10%.(1) 从2001年至2004年开创公司员工的总收入为多少元;(2) 至少到哪一年未来公司员工的年薪将超过开创公司员工的年薪.(可供数

32、据:lg1.1=0.0414,lg1.25=0.0969,lg2=0.3010)11. (2003高职)为了治疗某种疾病,一个病人需长期服药,若该病人每天口服一粒含25mg药物的胶囊,在一天中,身体内20%的药物将被排除掉,试问服下第n粒药后,在人体内该种药物能积蓄到多少mg?12. 购买某套商品房需15万元,若一次性将款付清可享受20%的优惠.若采用分期付款的方法,则每年需在相同的月份内每次付款3万元,连续5年还清.假定银行的年利率为8%,且按复利计算.则问哪种付款方式对购房者较有利?13. 流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,据资料记载,1

33、1月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,以后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数.分析：设11月n日这一天新感染者最多,则由题意可知从11月1日到n日,每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日,每天新感染者构成另一个等差数列.这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数.略解：由题意,11月1日到n日,每天新感染者人数构成一等差数列an,a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n30；从n+1日到30日,每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=30.故共感染者人数为：化简得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍),即11月12日这一天感染者人数最多,为570人.14. 某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,