空间向量与立体几何25583

1、空间向量与立体几何(2011·江苏，22)如图，在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，AA12，AB1，点N是BC的中点，点M在CC1上设二面角A1 ­DN ­M的大小为.(1)当90°时，求AM的长；(2)当cos 时，求CM的长解建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz.设CMt(0t2)，则各点的坐标为A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N，M(0,1，t)，所以，(0,1，t)，(1,0,2)，设平面DMN的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n1·0，n1·0，即x12y10，y1tz10.令z11

2、，则x12t，y1t，所以n1(2t，t,1)是平面DMN的一个法向量设平面A1DN的法向量为n2(x2，y2，z2)，则n2·0，n2·0，即x22z20，x22y20，令z21，则x22，y21，所以n2(2,1,1)是平面A1DN的一个法向量(1)因为90°，所以n1·n25t10，解得t，从而M，所以AM .(2)因为|n1|，|n2|，所以cosn1，n2，因为n1，n2或，所以，解得t0，或t，所以根据图形和(1)的结论可知t，从而CM的长为.【应对策略】掌握平面向量相关的坐标运算，并类比到空间中求平面的法向量是重要的基本功，有现成垂线的时候

3、一定要利用，一般利用垂直于平面内的两条相交直线来求解法向量法向量求解过程中一定要注意方程组求解的准确性，并使法向量的形式尽可能简单.必备知识1异面直线所成的角设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则异面直线a，b的夹角满足cos .2直线与平面所成的角设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则直线l与平面所成的角满足sin |cosa，n|.3二面角的平面角设二面角 ­a­的平面角为.(1)若a是的方向向量，b，c，a·b0，a·c0，则ab，ac，故|cos |cosb，c|.(2)若m，n，分别为平面，的法向量，则|cos |cosm，n|.必备

4、方法1证明空间任意三点共线的方法设空间三点P，A，B(1)；(2)对空间任一点O，t；(3)对空间任一点O，xy(xy1)2证明空间的四点共面的方法：设空间四点P，M，A，B，(1)xy；(2)对空间任一点O，xy；(3)对空间任一点O，xyz(xyz1)3利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a1a，b1b，则a1与b1所成的锐角或直角叫a与b所成的角向量求法：sin |cos |；(2)直线和平面所成的角设直线l的方向向量a，平面的法向量是u，直线与平面所成角为，a与u的夹角为，则有sin |cos |；(3)二面角定义：从一条直线

5、出发的两个半平面所成的图形叫二面角，向量求法：n1和n2是平面的两个法向量，则它们的夹角或其补角大小即为二面角平面角的大小|cos |.命题角度一应用向量证明平行与垂直命题要点 (1)线线、线面、面面平行关系判定；(2)线线、线面、面面垂直的判定【例1】 如图，在直三棱柱ADE ­BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点运用向量方法证明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.审题视点 找准建立空间直角坐标系的原点证明法一由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为1，则A(0,0,0)

6、，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)，(1,0,0)，·0，.棱柱ADE ­BCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(1，1,1)，(1,0,0)，由n1·n1·0，得解得令x11，则n1.同理可得n2(0,1,1)n1·n20，平面MDF平面EFCD.法二(1)()().向量与向量，共面，又OM平面BCF，OM平面BCF.(2)由题意知，B

7、F，BC，BA两两垂直，··0，··()220. OMCD，OMFC，又CDFCC，OM平面EFCD. 又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD. (1)要证明线面平行，只需证明向量与平面BCF的法向量垂直；另一个思路则是根据共面向量定理证明向量与，共面(2)要证明面面垂直，只要证明这两个平面的法向量互相垂直；也可根据面面垂直的判定定理证明直线OM垂直于平面EFCD，即证OM垂直于平面EFCD内的两条相交直线，从而转化为证明向量与向量、垂直【突破训练1】 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：

8、(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则点N、E的坐标分别为、(0,0,1).又点A、M的坐标分别是(，0)、.且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)·0，AMDF.同理AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.命题角度二利用向量计算空间角命题要点 (1)求算异面直线所成角；(2)求直线与平面所成角；(3)求二面角【例2】 (2012·无锡模拟)如图，边长为2的正方形A1ACC1绕直线CC1旋转90°得

9、到正方形B1BCC1，D为CC1的中点，E为A1B的中点，G为ADB的重心(1)求直线EG与直线BD所成的角；(2)求直线A1B与平面ADB所成角的正弦值 审题视点 用坐标表示、并求出平面ADB的法向量求解解建立如图所示的空间直角坐标系(1)由题意得A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,1)，A1(2,0,2)，则E(1,1,1)，G.(0，2,1)，.cos，0，所以直线EG与直线BD所成的角为.(2)(2，2,2)，(2,2,0)，(2,0,1)，设平面ADB的一个法向量n(x，y，z)，则得取x1，n(1,1,2)设求直线A1B与平面ADB所成角为，则sin |cos，n|.

10、异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等，其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定【突破训练2】 在四棱锥P ­ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，ABPABC(a0)(1)当a1时，求证：BDPC；(2)若BC边上有且只有一个点Q，使得PQQD，求此时二面角A ­PD ­Q的余弦值解(1)当a1时，底面ABCD为正方形，BDAC又因为BDPA，BD面PAC，又PC面PAC，BDPC.(2)因为AB，AD

11、，AP两两垂直，分别以它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，如图所示，不妨设AB1，则B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，P(0,0,1)，设BQm，则Q(1，m,0)(0ma)，要使PQQD，只要·1m(am)0，所以1m(am)2，即a2由此可知a2时，存在点Q使得PQQD当且仅当mam，即m时，BC边上有且只有一个点Q，使得PQQD由此可知a2，设面PQD的法向量p(x，y,1)，则即解得p，取平面PAD的法向量q(1,0,0)则p，q的大小与二面角A ­PD ­Q的大小相等所以cosp，q 因此二面角A ­PD ­

12、Q的余弦值为.命题角度三利用向量解决立体几何中的 探索性问题命题要点 探索是否存在满足条件的点【例3】 (2010·湖南)如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论审题视点 审题视点 由于AB，AD，AA1两两垂直，应建立空间直角坐标系求解解设正方体的棱长为1.如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1,0,0)，E，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以，(0,1,0)在正方体ABCD ­

13、A1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则sin .即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1)，.设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·0，n·0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)而B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BE·n0(t1,1,0)·(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说

14、明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE. 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断在解题过程中，往往把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题【突破训练3】 (2011·常州调研)如图，在四棱锥P ­ABCD中，已知PB底面ABCD，ABBC，ADBC，ABAD2，CDPD，异面直线PA和CD所成角等于60°.(1)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；(2)在棱PA上是否存在一点E，使得二

15、面角A ­BE ­D的余弦值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置；若不存在，说明理由解如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BCa，BPb，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)(2,2，b)，(2,2a,0)，CDPD，·0.442a0，a4.又(2,0，b)，(2，2,0)，异面直线PA和CD所成角等于60°，即，解得b2，(1)(0,4，2)，(0,2,0)，(2,0，2)设平面PAD的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则由得取n1(1,0,1)，

16、sin ，直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.(2)假设存在设，且E(x，y，z)，则(x，y，z2)(2，0，2)，E(2，0,22)设平面DEB的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则由得取n2(1,1，)又平面ABE的法向量n3(0,1,0)，由cos ，得，解得或2(不合题意)存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点4关注异面直线所成角范围，分清二面角的类型一、关注异面直线所成角的范围【例1】 如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，|1，(01)若，求直线PB与PD所成角的余弦值解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1

17、,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，由得P，所以，所以cos，因为PB与PD所成角为锐角，所以，直线PB与PD所成角的余弦值为.老师叮咛：与所成角不一定是PB与PD所成角，不少考生忘记了PB与PD所成角的范围而导致错误，所以考生做这类题目时应首先考虑异面直线所成角的范围二、根据图形判断出二面角是钝角还是锐角【例2】 (2012·南京、盐城模拟)如图所示，在棱长为2的正方体AC1中，点P、Q分别在棱BC、CD上，满足B1QD1P，且PQ.(1)试确定P、Q两点的位置；(2)求二面角C1 ­PQ ­

18、A大小的余弦值解建立如图所示的空间直角坐标系，设CPa(0a)，则CQ，P(2,2a,0)，Q(2，2,0)，则(，2，2)，(2，a，2)，B1QD1P，·0，22a40，解得a1，PC1，CQ1，即P、Q分别为BC，CD中点(2)设平面C1PQ的法向量为n(a，b，c)，(1,1,0)，(0,1,2)，又n·n0，令c1，则ab2，n(2,2，1)，k(0,0，2)为面APQ的一个法向量，cosn，k，而二面角为钝角故二面角为钝角，故余弦值为.老师叮咛：两个平面的法向量所成角与两个平面的二面角相等或互补，所以两个平面的法向量所成角不一定是两个平面的二面角，因此考生在求两

19、个平面的二面角时要先根据图形判断出二面角是钝角还是锐角，从而避免出错.如本题中二面角是钝角，所以二面角C1 ­PQ ­A大小的余弦值为，而不是.5.空间向量与立体几何1(2012·南通调研)如图已知斜三棱柱ABC ­A1B1C1，BCA90°，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，且A1CAC1.(1)求直线CC1与平面A1AB的距离；(2)求二面角A ­A1B ­C的余弦值2(2012·南京市四校月考)如图，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ABBC，BB13，D

20、为A1C1的中点，F在线段AA1上(1)AF为何值时，CF平面B1DF?(2)设AF1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值3如图在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点(1)证明：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A ­PD ­F的余弦值4如图，在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60°，Q为AD的中点PAPDAD2.(1)点M在线段PC上，PMtP

21、C，试确定t的值，使PA平面MQB；(2)在(1)的条件下，若平面PAD平面ABCD，求二面角M ­BQ ­C的大小5.(2012·南京模拟)如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上，且DQDC，若二面角P ­C1Q ­C的余弦值为，求实数的值6(2012·泰州期末)如图，在三棱锥P ­ABC中，平面ABC平面APC，ABBCAPPC，ABCAPC90°.(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M ­PA 

22、3;C的余弦值为，求BM的最小值6.参考答案1解(1)由题意，得A1D面ABC.A1D面ACC1A1面ABC面ACC1A1，BCA90°BCAC.又BC面ABC，且面ABC面ACC1A1AC，BC面ACC1A1.取AB的中点F，连DF，DFBC，DF平面ACC1A1.又在平行四边形ACC1A1中，AC1A1C平行四边形ACC1A1是菱形分别以DF，DC，DA1所在直线为Ox，Oy，Oz轴建立空间直角坐标系，A(0，1,0)，A1(0,0，)，B(2,1,0)，C(0,1,0)(0,1，)，(2,1，)，(2,0,0)，设n1(x1，y1，z1)是面AA1B的法向量，y1z10,2x1

23、y1z10，解得n1(，1)cosn1.点C到面A1AB的距离d|×|cosn1，|2×.易得CC1面A1AB，所以点C到面A1AB的距离即为直线CC1与平面A1AB的距离d.(2)设n2(x2，y2，z2)是面A1BC的法向量，2x2y2z20，2x20，得n2(0，1)由(1)，得n1(，1)是面AA1B的法向量，cosn1，n2.设二面角A ­A1B ­C的平面角为，cos |cosn1，n2|.2解(1)因为在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，以B点为原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系因为ABB

24、C，ABC90°，所以AC2，从而B(0,0,0)，A(，0,0)，C(0，0)，B1(0,0，3)，A1(，0,3)，C1(0，3)，D，所以(，3)，设AFx，则F(，0，x)，(，x)，(，0，x3)，.··()·x·00，所以.要使CF平面B1DF，只需CFB1F.由·2x(x3)0，得x1或x2，故当AF1或2时，CF平面B1DF.(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1(0,0,1)设平面B1CF的法向量为n(x，y，z)，则由得令z1得n，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cosn，n1.3解(1)证明P

25、A平面ABCD，BAD90°，AB1，AD2，建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令P(0,0，t)(1,1，t)，(1，1,0)，·1×11×(1)(t)×00，即PFFD.(2)设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得：xy.n，设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG平面PFD，只需·n0，即×0×1×mm0，得mt，从而满足AGAP的点G即为所求(3)AB平面PAD，是平面PAD的法向量，易得(1,0,0)，又PA平面ABCD，PBA是PB与平面ABCD所成的角，得PBA45°，PA1，平面PFD的法向量为ncos，n，故所求二面角A ­PD ­F的余弦值为.4解(1)当t时，PA平面MQB证明如下：若PA平面MQB，连AC交BQ于N，由AQBC可得，ANQCNB.，PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN，PAMN.，即：PMPC，t.(2)由PAPDAD2，Q为AD的中点，则PQAD.又平面PAD平面ABCD，所以PQ平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形，ADAB，BAD60°，ABD为正三角形，Q为AD中