第25题综合题分类讨论思想市北初级尤文奕整理

1、第25题分类讨论（市北初级尤文奕整理）（说明：分类讨论思想是综合题中常见的数学思想，运用分类讨论思想的综合题比比皆是，因此在这里我们仅选取了部分常见的体现不同解题思路的综合题供老师们参考）（一）等腰三角形1、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PHOA，垂足为H，OPH的重心为G（1）当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x, GP=y求y关于x的函数解析式,并写出函数定义城；（3）如果PGH是等腰三角形,试求出线段PH长.（答案：（1）GH=2；（2）y=（

2、0<x<6）；（3）或2）2、已知，在中，.（1）求的长（如图a）；（2）、分别是、上的点，且，连结并延长，交的延长线于点，设（如图b）.求关于的函数解析式，并写出的定义域；当为何值时，是等腰三角形？27.（1）BC=4（2）若，矛盾不存在. 1分若，则,，矛盾不存在. 1分若，过点作,垂足为点.1分1分整理得，又，解得（舍）1分当时，是等腰三角形. 1分3、如图5，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BCAB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E（1） 求证：AOBBDC；图5（2） 设大圆的半径为，CD的长为

3、，求与之间的函数解析式，并写出定义域（3） BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由25解：（1）略；（2）函数解析式为，定义域为（3）当EB=EC时，ECB=EBC，而ECB=OBC，EBEC当CE=CB时，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3（1分）当BC=BE时，BEC=ECB=OBC，则BCEOCB（1分）则设OC = x,则CE=,(负值舍去).OC=.（1分）综上所述，BCE能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或（二）直角三角形ABPCM1、如图，在ABC中，AB=AC=5cm，cosB=，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM

4、交AC于点M，使APM=B（1）设BP=x，CM=y求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域（2）当PCM为直角三角形时, 求点P、B之间的距离（答案：（1）y=（0<x<8）；（2）或4）2、已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD5，AD6，BC12，点E在AD边上，且AE：ED1：2，连接CE，点P是AB边上的一个动点，（P不与A，B重合）过点P作PQCE，交BC于Q，设BPx，CQy，（1）求CosB的值；（2）求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）连接EQ，试探索EQC有无可能是直角三角形，若可能，试求出x的值，若不能，请简要说明理由。 A E D

5、P B Q C25解：（1）过点A作AHBC，则BH=3，从而cosB=。（3分） （2）过点E作EFAB，则BF=AE=2，EF=AB=5，FC=10，又BP=x，BQ=12-y, 不难得BPQFEC，即，（6分）， （8分） （3）显然 ECQ90°，且tgECQ=，CE=，cosECQ=，（9分） 若EQC=90°，则 CQ=7，即y=7, 从而 x=；（11分） 若QEC=90°，则 cosECQ=，即， y=， 从而 x=；（13分） 综上，x=或x= （14分）DAOB图4（三）相似1、如图4：一次函数y=x+m的图象与二次函数y=ax2+bx4的图象

6、交于x轴上一点A，且交y轴于点B，点A的坐标为（2，0）（1）求一次函数的解析式； （2）设二次函数y=ax2+bx4的对称轴为直线x=n（n<0），n是方程2x23x2=0的一个根，求二次函数的解析式； （3）在（2）条件下，设二次函数交轴于点D，在轴上有一点C，使以点A、B、C组成的三角形与ADB相似.试求出C点的坐标.（答案：（1）y=x2；（2）y=2x2+2x4；（3）若点C在点A的右边，由（1）得：OA=OB，CAB=45而没有一个角等于45，所以这种情况不存在；1，若点C在点A的左边，由（1）（2）可知：点B、D的坐标分别为、 1， AB= BD=2 OA=2ABD=CAB

7、=1351）当时， OC=4 点C的坐标为 1， 2）当时， OC=6 点C的坐标为 1，点C的坐标为或.）2、抛物线yx2x6与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线ykxb经过点A、C点D（0，m）（其中m6）在y轴上，经过点B、D的直线与直线ykxb交于点M，（1）求k和b的值；（2）如果以点M、C、D为顶点的三角形与以点M、A、B为顶点的三角形相似，求点D、M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求MCD与MAB的面积比DMBOxyAC27、解：（1）k，b6（2）由上面的条件可以知道OA8，OB3，OC6 当m0时，即点D（0，m）在y轴的负半轴上时，设有MC

8、DMBA， MDCMAB，RtOACRtODB，OD4，点D（0，4）1 经过点B、D的直线为yx4，ABMCxyOD联列yx4和yx6成为方程组，可以解得x，y，点M1（，）1当0m6时，即点D在线段OC上时，设有MCDMBA，MDCMAB， 即 BDOCAO，RtOACRtODB，OD4，点D（0，4）1经过点B、D的直线为yx4，联列yx4和yx6成为方程组，可以解得x，y，点M2（，）1（3）当m0时，SMCDSMAB（CDAB）2（105）241 当0m6时，SMCDSMAB（CDAB）2（25）2425 3、（图七）BCPANM已知：如图七，在RtABC中，C90°，BC

9、6，AC8点P是边AB的中点，以P为顶点，作MPNA，MPN的两边分别与边AC交于点M、N（1）当MPN是直角三角形时，求CM的长度；（2）当MPN绕点P转动时，下列式子：（甲）CM·AN，（乙）CN·AM的值是否保持不变？若保持不变，试求出这个不变的值，并证明你的结论；（3）连接BM，是否存在这样的点M，使得BMP与ANP相似？若存在，请求出这时CM的长；若不存在，请说明理由25解：（1）显然MPN90°，若PMN90°，则CM4（1分） 若PNM90°，则PN3，CN4，MN，CM（2分）（2）（甲）CM·AN 的值不确定（显然，

10、CM可以为0，从而CM·AN的值为0）；（乙）CN·AM的值保持不变，且CN·AM25（2分）证明如下：连CP，由已知：ACB90°，AB10，点P是AB中点，CPAP5（1分）PCAPACMPNPMACPNCPNAMP（2分）CNAPCPAM， CN·AM25（1分）（3）解：MPNA，APNANPAPNBPM，ANPBPM（1分）要使BMP与ANP相似， 若MBP=A，则BM=AM，又P是AB中点， MPAB，AMPABC AM，从而 CM；（2分） 若BMPA，则BMPMPN，BMPBAMBM5，从而 CM （2分）（四）点在直线（射线）

11、上运动ABD第（2）题CP1、如图，ABBD，CDBD，B、D分别为垂足.(1)已知：APC=90º，求证：ABPPDC.(2)已知：AB=2，CD=3，BD=7，点P是线段BDABD第（3）题CP上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值.(3)已知：AB=2，CD=3，点P是直线BD上的一动点，设PB=x，BD=y，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式.（答案：（1）证略；（2）PB的值取1或6或；（3）点P在射线BE上的时， 或者点P在线段BD上的时，或者. 点P在射线DF上的时， 解得：.(注：定义域不写不扣

12、分) （08年1月普陀初三定位考第27题）AB（备用图）CDABPCFDE（第25题第（1）小题）2、在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一个动点，作PEAP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP=x，CE=y（1）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C都不重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当x=3时，求CF的长；（3）当tgPAE=时，求BP的长（答案：（1），定义域为0<x<5；（2）CF=3；（3）（i）当点P在边BC上时，BP=3；（ii）当点P在边BC的延长线上时，BP=7）（08年1月静安、浦东等区初三定位考第

13、27题）3、已知直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，8），点C（- 4，0）。点M从点C出发，沿着CA方向，以每秒2个单位的速度向点A运动；点N从点A出发，沿着AB方向，以每秒5个单位的速度运动，MN与y轴的交点为P。点M、N同时开始运动，当点M到达点A时，运动停止。在运动过程中，设运动的时间为t秒， （1）当t为多少时， MNAB；（2）在点M从点C到点O的运动过程中（不包括O点），的值是否会发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若会发生变化，试说明理由；（3）在整个运动过程中，BPN是否可能是等腰三角形？若能，试求出相应的t的值，若不能，试说明理由。xyOABC备用图OxyNABCMP

14、（答案：（1）；（2）不变；（3）当点N在线段AB上时，；当点N在线段AB的延长线上时，）（08年1月宝山初三定位考第27题）4、已知在ABC中，C=90，AC=BC=4，在射线AC、CB上分别有两动点M、N，且 AM=BN，连结MN交AB于点P.（1）如图1：当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论；（2）当点M在射线AC上，若设AM=，BP=，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）过点M作直线AB的垂线，垂足为点Q，随着点M、N的移动，线段PQ的长能确定吗？若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由.AMCBNP图1

15、AMCBNP备用图（答案：（1）PM=PN，证略；（2）若点M在线段AC上（图2），定义域为；若点M在线段AC的延长线上（图3），定义域为；（3）若点M在线段AC上，PQ=；若点M在线段AC的延长线上，PQ=，线段PQ的长能确定且PQ=）AMCBNP图3KQAMCBNPD图2Q（05嘉定第25题）5、如图1,在四边形ABCD中，BCAD，BC=20，DC=16，AD=30，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）(1)设

16、BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式;(2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形;(3)当线段PQ与线段AB相交于点0，且2AO=OB时，求BQP的正切值;(4)是否存在时刻t，使得PQBD?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由.（答案：（1）S8t160；（2）秒或秒；（3）如图2：BQP的正切值为1；（4）如图3：秒）（06崇明第25题）6、如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为射线BC上的一点，且PB=PD， 过D点作AC边上的高DE。（1）求证：PE=BO；（2）设AC=8，AP=x，为y，求y与x之间的函数关系

17、式，并写出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的P点，使得的面积是面积的，如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由。（答案：（1）P在AO上（如下左图）：PE=BO；P在OC上（如下右图）：PE=BO；（2）P在AO上（如下左图）：=（0<x4）；P在OC上（如下右图）：；（3）AP等于2或6）（06奉贤第25题）7、已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连结AE交射线DC于点F，若ABE沿直线AE翻折，点B落在点处. （1）如图6：若点E在线段BC上，求CF的长； （2）求的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“”，其它条件都不变，试写出ABE翻

18、折后与正方形ABCD公共部分的面积与的关系式及定义域.（只要写出结论，不要解题过程） ADCB备用图图6ADCFEB（答案：（1）；（2）若点E在线段BC上，如图1，=；若点E在边BC的延长线上，如图2，=；（3）若点E在线段BC上，定义域为；若点E在边BC的延长线上，定义域为）（07嘉定第25题）ADCBBN图2EF图1ADCFEBBM128、如图，在梯形ABCD中，ADBC，APBC，垂足为点P，AB=CD=2，BC=5，B=60°，（1）求AD的长；（2）若把三角尺的顶点与点重合，使三角尺绕点P旋转，该60°角的两边PE与PF（看作射线）分别与边AD交于点E（点E不与

19、点A、点D重合），与射线DC交于点F (点F不与点C重合)，如设AE为x，CF为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在第（2）小题的条件下，三角尺绕点旋转过程中，PED与PDF这两个三角形中，哪一个三角形可能成为等腰三角形？如有可能，请指出是哪一个三角形，并求出AE的长；如不能，请说明理由（07年1月青浦初三定位考第25题）（答案：（1）AD=3；（2）点F在线段CD上，y=2-2x（0<x<1）；点F在线段DC的延长线上，y=2x-2（1<x<3）；（3）只有点F在线段DC的延长线上，当AE=时，PDF为等腰三角形）（07年1月青浦初三定位考地25

20、题）EFNEFM提示：过点E作EMAB交BC于点M，可证EMPPCF；提示：过点P作ENAB交AD于点N，可证ENPFCP9、已知梯形ABCD中，AB/CD，AD=BC=2，AB=5，M为边AB上的一点，且DMC=A=60O（1）求出AM的长，并请写出图中所有的相似三角形；（2）DMC绕点M顺时针旋转后，得到D1MC1（点D1、C1依次与点D、C对应），射线M D1交线段于点，射线MC1交直线CB于点F，设DE= x，BF= y求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.备用图ADCB第28题图ADCB（答案：（1）ADMBMCMCD；（2）当AM=1且点F在线段BC上时，y=2-2x(0x1)

21、；当AM=1且点F在线段CB的延长线上时，y=2x-2（1x3）；当AM=4时，此时点E在CD上运动时，点F总在线段BC上，y=2-（0x3）（08年1月奉贤初三定位考第28题）10、已知：RtPOQ中，POQ=90°，PO=6，QO=8OABCQPRtABC中，B=90°，ABBC6，点P是AB的中点如图，将ABC以点P为旋转中心进行旋转，当ABC的某一条边同时与直线PO、直线QO都有交点（设与直线PO的交点为点E，与直线QO的交点为点F）时，OEF是否可能会与OPQ相似？如果OEF会与OPQ相似，那么请求出OE的长；如果OEF不会与OPQ相似，那么请说明理由（答案：当O

22、E的长为或1或时，ABC的某一条边同时与x、y轴都有交点（设与x轴的交点为点E，与y轴的交点为点F），且OEF与OPQ相似）（07年1月闸北初三定位考地25题）附历年中考同类型题目：01年中考27已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长（不必写出解题过程）02年中考27操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q图5图6图7探究：设A、P两点间的距离为x（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y