第一章极限与连续

1、第一章极限与连续第一节函数函数是微积分研究的对象，中学数学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基础上讨论了函数的一些简单性质.在这里除对中学数学的函数及其性质重点复习外，根据需要将对函数作进一步讨论.一、函数的概念在日常生活、生产活动、经济活动中，经常遇到各种不同的量.这些量可分为两类.一类是常量，一类是变量.而在某个变化过程中往往会出现多个变量，这些变量之间不是彼此孤立的，而是相互联系和制约的，一个量的变化会引起另一个量的变化，如：球的半径与该球的体积的关系可用式子给出，当半径在内任取一个值时，体积有确定的值与之对应，我们称体积是半径的函数.1.函数的概念定义1设有两个变量、，如

2、果变量在一个非空数集内每取一个数值时，变量按照某个对应法则都有唯一一个确定的数值与之对应，则称变量是变量的函数，记作.其中称为自变量，称为因变量或函数，是函数符号，表示与的对应规则，有时函数符号也可用其他字母表示，如，等.数集称为函数的定义域.当自变量在其定义域内取定某确定值时，因变量按照所给函数关系求出的对应值称为当时的函数值，记作或.函数值的集合称为函数的值域.例1已知，求，.解：例2求下列函数的定义域（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：(1)函数的定义域为(2)要使函数有意义，须满足.即：且，即定义域为(3) 要使函数有意义，须满足0，解得22，即定义域为(4) 要使函数有意义，须满

3、足，解得，即定义域为(5) 要使函数有意义，须满足11，解得0，即定义域为(6) 要使函数有意义，须满足0且，解得33且，即定义域为需要注意的是，在实际应用问题中，除了要根据解析式本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑变量的实际意义.如半径为的球的体积这个函数，从函数本身来说，可取任意实数，从它的实际意义来说，半径不能取负数，因此它的定义域是区间.2.函数的两个要素函数的定义反映了自变量与因变量之间的依赖关系.它涉及到定义域，对应法则和值域.显然，只要定义域和对应法则确定，则值域也就确定了.因此，函数的定义域和对应法则是确定函数的两个要素.两个函数，只要它们的定义域和对应法则相同，就是相同的

4、函数.例3判定下列各对函数是否相同（1）与（2）与（3）与解：（1）的定义域是，的定义域是，它们的定义域不同，所以这两个函数不是相同的函数.（2）这两个函数的定义域都是，但是它们的对应法则不同，所以它们不是相同的函数.（3）这两个函数的定义域和对应法则均相同，所以它们是相同的函数.3.函数的表示法常见的函数表示法有三种：解析法、表格法和图像法.现举例如下：（1）这是用解析法表示的函数，它的定义域.（2）我国近几年出口额（单位：亿元）如表1.1所示：表1.1年份198519901995199820002002出口额2746211488183724923256这是用表格法表示的函数，定义域1985

5、，1990，1995，1998，2000，2002.（3）小红以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米/分，又匀速跑10分，这段时间内她跑步的速度（单位：米/分）与跑步时间（单位：分）变化的函数关系如图1-1所示.图1-14.分段函数上例中，与之间的函数关系可由解析式表示为：像这样，由两个或两个以上的式子表示的一个函数叫分段函数.需要注意的是：分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函数，而不是几个函数；画它的图像时，要在同一个坐标系内分段来画；它的定义域是各段自变量取值范围的并集；求函数值时要根据自变量的不同的取值范围，选用不同的对应规则进行计算.例4设函数，求，及函数的

6、定义域，并画出函数的图像.解：，定义域为，其图像如图1-2所示.图1-2二、函数的性质1.有界性设函数在集合上有定义，如果存在一个正数，对于所有的，恒有，则称在上有界.否则称在上无界.函数在区间上有界的几何意义是：函数在区间上的图像位于二直线与之间.如图1-3.图1-3如，在上有界，因为1，1，而在内无界.2.单调性设函数在区间内有定义，若对任意的，当时，有，则称在内单调增加，如果对任意的，当时，有，则称在内单调减少.如：，当时，在内单调增加；当时，在内单调减少.3.奇偶性设函数在集合上有定义，若对于任意的，恒有，则称为偶函数；若，则称为奇函数.如：在内为奇函数，在内为偶函数，既不是奇函数，也

7、不是偶函数.4.周期性设在集合上有定义，若存在不为零的数，使得对于任意的，有恒成立，则称此函数为周期函数.满足这个等式的最小正数，称为函数的最小正周期，简称周期.如：，是以为周期的周期函数.三、反函数在函数关系中，自变量与因变量的确定并不是一成不变的，二者是相对的，于是就有了反函数的概念.定义1.2已知函数，其值域设为，如果对于中的每一个确定的值，由关系式能唯一确定一个值与之相对应，那么就得到了一个定义在上的以为自变量，为因变量的函数，称它为的反函数，记作.习惯上总是用表示自变量，表示函数，通常把改写为.与互为反函数.已知函数，求它的反函数，只须将解出来，并交换字母、即可.例5求函数的反函数.

8、解：由得，交换与，得，即是的反函数.可以证明，在同一坐标系内，函数与反函数的图像关于对称.需要注意的是：函数在定义域上不一定存在反函数.但是，将函数限定在定义域的某个子集上，就可能存在反函数.如，三角函数、在各自定义域上都不存在反函数.为了讨论它们的反函数，限定自变量的取值范围.例如，在上存在反函数，它的反函数就是反正弦函数；在上存在反函数，它的反函数就是反余弦函数；在上存在反函数，它的反函数就是反正切函数；在上存在反函数，它的反函数就是反余切函数.第二节初等函数一、基本初等函数微积分学中通常将常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这六类函数统称为基本初等函数.1.常数函

9、数它的定义域是，它的图像是一条平行于轴的直线，如图1-4.图142.幂函数它的定义域随的不同而异，但在内总是有定义的，且图像都过点.当时，在内单调递增；当时，在内单调递减.如图1-5.图1-53.指数函数（，且）它的定义域是，值域是.当时，函数单调增加；当时，函数单调减少.如图1-6.图1-64.对数函数（）它的定义域是，值域是.当时，函数单调增加；当时，函数单调减少.如图1-7.图1-75.三角函数，.（1）正弦函数的定义域是，值域为，奇函数，以为周期，有界，如图1-8.（2）余弦函数的定义域是，值域为，偶函数，以为周期，有界，如图1-9.（3）正切函数的定义域是，值域为，奇函数，以为周期，

10、无界，如图1-10.（4）余切函数的定义域是，值域为，奇函数，以为周期，无界，如图1-11.图1-8图1-9图1-10图1-116.反三角函数，.（1）反正弦函数的定义域是，值域为，是单调增加的奇函数，有界，如图1-12.（2）反余弦函数的定义域是，值域为，是单调减少的函数，有界，如图1-13.（3）反正切函数的定义域是，值域为，是单调增加的奇函数，有界，如图1-14.（4）反余切函数的定义域是，值域为，是单调减少的函数，有界，如图1-15.图1-12图1-13图1-14图1-15二、复合函数定义设是的函数，是的函数，如果的值域与的定义域的交集非空，那么通过成为的函数，称这个函数是由与复合而成的函数，简称为复合函数，记作，其中称为中间变量.值得注意的是：（1）并非任何两个函数都可以复合成一个复合函数.如，就不能复