电磁场数学方法复习资料

1、电磁场数学方法复习 -孙正忠一、复变函数复习重点 (一)复数的表示1）模 2）幅角 3）三角表示 4）指数表示（二）复初等函数（掌握最基本的这几个，尤其是多值性）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）对数函数： （多值函数）；主值：。（单值函数）的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；乘幂与幂函数：；三角函数： 在平面内解析，且（三）解析函数的概念1）点解析： 在及其的邻域内可导，称在点解析；2）区域解析： 在区域内每一点解析，称在区域内解析；3）若在点不解析，称为的奇点；（四）函数可导与解析的充要条件（一定要分清什么是解析，什

2、么是可导）1函数可导的充要条件：在可导和在可微，且在 处满足条件： 此时， 有。2函数解析的充要条件：在区域内解析和在在内可微，且满足条件：；此时。（五）关于复变函数积分的重要定理与结论（记住公式，并学会如何运用）1柯西古萨基本定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，则 2. 柯西积分公式：设在区域内解析，为内任一正向简单闭曲线，的内部完全属于，为内任意一点，则3高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为 4重要结论：。 （是包含的任意正向简单闭曲线）（六)已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的方法。（掌握此类型）1）偏微分法：若已知实部，利用条件，得；对两边积分，得 （*）再对（

3、*）式两边对求偏导，得 （*） 由条件，得，可求出 ；代入（*）式，可求得虚部 。 2）线积分法：若已知实部，利用条件可得，故虚部为；由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中与 是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部，根据解析函数的导数公式和条件得知， 将此式右端表示成的函数，由于仍为解析函数， （七）幂级数的敛散性1幂级数的概念：表达式或为幂级数。2收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。l 比值法 如果，则收敛半径；l 根值法 ，则收敛半径；l 如果，则；说明在整个复平面上处处收敛；如果，则；说明仅在或点收敛；（八）幂函数的泰勒展开1. 泰勒展开：设函数在圆域内解

4、析，则在此圆域内可以展开成幂级数 ；并且此展开式是唯一的。2常用函数在的泰勒展开式（牢记以下展开公式，并注意收敛域）1） 2） 3） 4） （九）幂函数的洛朗展开 1. 洛朗级数的概念：，含正幂项和负幂项。 2洛朗展开定理：设函数在圆环域内处处解析，为圆环域内绕的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 ，且展开式唯一。（十）孤立奇点的判别方法1可去奇点：常数；2极点：3本性奇点：不存在且不为。（十一）留数的概念 1留数的定义：设为的孤立奇点，在的去心邻域内解析，为该域内包含的任一正向简单闭曲线，则称积分为在的留数（或残数），记作 2留数的计算方法若是的孤立奇点，则，其中为在的去心邻域内洛

5、朗展开式中的系数。1）可去奇点处的留数：若是的可去奇点，则2）级极点处的留数若是的级极点，则特别地，若是的一级极点，则 3.留数基本定理设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则（重点掌握应用留数定理计算实变函数定积分的书上那三种类型，并能够计算）小结：注意重点掌握多值函数，解析函数定义，柯西定理，柯西公式，以及洛朗级数展开，留数定理计算定积分。（红色标注容易出大题）温馨提醒：复变函数其实更重要的是理解那些概念和公式，学会认真思考各定理及公式的内在含义及关系，掌握什么样的题该用什么样的方法，灵活运用，看懂课本，其实这一部分并不是很难，有信心就好！2、 数学物理

6、方程复习重点（只列重要知识点）前言：数学物理方程这一部分，确实头痛，个人感觉需要比较强的数学功底，自己学的也不是很好，总体感觉还是需要花功夫才能学好。如果考前突击的话，就要抓住重点，学会取舍，分析出题人心理，最重要的还是牢牢掌握各类形式的方程典型例题解法，最好能动手算一遍，加深印象，到时候能做到依葫芦画瓢，把题做出来就行。以下总结以知识点罗列为主，具体可参见杨显清老师数学物理方程总结的那个课件。（1）数学模型与定解条件记住波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程的形式，区分三种边界条件。掌握直角坐标系的那4个本征值和本征函数的问题。（牢记）（2）分离变量法（大题） 学会用分离变量法解方程，结合书中相

7、应分离变数法的例题分析掌握，并学会处理各类非齐次条件（一般不会太难处理）。（3）贝塞尔函数（大题）贝塞尔方程的级数解。贝塞尔函数的递推公式，正交关系。函数展成贝塞尔函数的级数。虚宗量的贝塞尔函数。以及应用贝塞尔函数解方程（重点）。（4）勒让德函数（大题）勒让德方程和勒让德多项式。勒让德多项式的微分表示。正交关系（掌握证明方法）。勒让德多项式的递推公式。函数展成勒让德多项式的级数。连带勒让德函数。以及应用勒让德函数解方程（重点）。（5） 边值问题（参考例题掌握） 长方体上的拉普拉斯问题和热传导问题。圆柱体上的拉普拉斯问题和热传导问题。球体上的拉普拉斯问题和热传导问题。（6）格林函数，达朗贝尔公式（理解，一般不会考大题）小结：做数学物理方程这类题，最重要的还是克服自己心里的畏惧感，相信自己可以学会，并且可以学好。解数学物理方程，其实最基本的也就那么几种方法，本征函数展开法，特解法，冲量法