确定污染源的位置

1、5 污染源的判定 在问题（2）中，通过考虑不同的条件，建立了三个模型，首先单独作分析，然后综合三个模型得出结论，具体情况分析如下：1、差分方程反演模型的建立与求解1.1 模型I的建立问题II研究和分析的是长江干流近一年多来受高锰酸钾盐指数及氨氮的污染源情况，建立该模型主要考虑以下几个因素：一、浓度是随时间、距离变化的量。二、长江中的水流量及水中污染物在消耗减少，同时也在补充，支流以及沿干流的排污都是其“外援”。三、长江自身具有自净能力，由于降解系数介于0.10.5之间，我们考虑取其值0.2。四、考虑河流在受污染时的扩散能力，其扩散系数为。根据以上考虑的因素及流体力学的基本理论，我们建立一个反应

2、扩散方程来反映长江流域污染物浓度的变化情况： 5-1-1其中，为污染物质在长江内浓度；为该段河流水流速度；为外界输入的污染物浓度，根据现有数据资料，我们不妨先假设，在任意一个分段内为常数，即整个是一个分段的常数函数。为扩散系数，为降解系数。1.2 差分方程反演模型对污染源的判定根据每一段已经给出的数据，我们确定每一小段的水流速度。首先考虑整条长江流域的平均流速 5-1-2其中是第个干流站点的水流速度。假设考虑权重，可以用于表示任一小段的平均水流速度，并且和整条长江的平均水流速度联系到起来，表示如下： 5-1-3其中，。由于沿长江往下，水流速度在逐渐减少，在上游速度比较大时可以用后一个点的流速决

3、定该流水段的水流速度，到下游时可以将权重逐渐转移到了上，由此我们取，其中3215是干流上站点之间的总间隔。表示从上游往下权重的变化情况。依据上述方程5-1-3可以依次解出。用下表列出结果（表5-1-1）：表5-1-1 各段的平均流速：第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月2.56751.53780.90.919321.01431.1第2月2.4261.38470.83470.938631.11.1第3月2.6261.67841.23471.33861.51.5第4月2.8261.87841.43471.51.51431.6第5月2.59681.77211.41.41931.52851.7第

4、6月4.88773.34771.76941.93862.28553.4第7月2.53381.92521.53471.61.61431.7第8月2.13381.33780.73470.819320.90.9第9月1.96751.12520.73470.80.80.8第10月1.67531.03150.53470.619320.70.7第11月1.29220.718920.469390.619320.70.7第12月1.19220.665760.469390.638630.80.8第13月1.4630.825220.43470.538630.714270.8从资料1 中我们查得，扩散系数 取。对微

5、分方程两边积分，积分区间为（），其中。其中 。对上式进行处理，含积分项利用梯形公式，含偏导数项利用一阶向前差商，得到的表达式： 5-1-4其中，。当，时，时间偏导的差分用向后差商，得到的结果为： 5-1-5当，时，扩散项对距离偏导的差分用向后差商处理，得到结果如下： 5-1-61.3 模型的结果与分析根据表达式5-1-4，5-1-5，5-1-6，利用Matlab编程代入数据分别求解出污染物高锰酸钾盐在各段流域的的值（程序见附录2 程序1 ），由于表示的是长江水流中污染物的浓度，所以总是不小于零的数，故将其中负数归零处理（其它关于的数值同样处理），列入下表(表5-1-2)：表5-1-2 高锰酸钾

6、盐的值钾盐第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.871920.339570.7850.564790.526740.17498第2月0.169950.669680.78130.578860.653240.18947第3月0.672740.824140.650680.4135900.47018第4月0.836330.605761.0490.2570100.38149第5月00.771460.989130.20470.0860610.30163第6月0.159310.366510.92202000.83506第7月0.464330.955710.607950.0875170.576890.3

7、3663第8月0.293070.371780.585910.440010.43340.32784第9月0.229630.49910.785280.442480.163450.43812第10月0.268560.398611.04470.440880.58720.49527第11月0.380780.399250.659980.612690.41070.4394第12月0.388420.421370.810660.319250.826570.30398第13月0.431420.483310.562640.389470.539840.24891年度和5.166467.1062510.234254.7

8、512474.8040914.94296对表5-1-2进行分析，可以看出在一年多时间里，每个月的高锰酸钾盐的的最大值主要分布在第三段，即湖北宜昌南津关到湖南岳阳城陵矶， 年度和最大的两个也是第三段，因此主要受高锰酸钾盐污染的河段有第三段。同样根据表达式5-1-4，5-1-5，5-1-6，可以编程代入数据求解出污染物氨氮在各段流域的的值，列入下表（表5-1-3）：表5-1-3 氨氮的值氨氮第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.0496770.0597490.052530.0547640.0219590第2月0.076130.060780.0668260.0371040.0619

9、270第3月0.0554350.0788250.0688810.0040570.0488330第4月0.0738180.0301520.114790.0009730.0862570第5月00.041430.0960560.03460100第6月0.0571150.09350.0628740.03826500第7月0.0659020.0468280.102830.0084930.018670第8月0.078090.0492040.0771370.03568800.006414第9月0.136290.024750.0739640.0200550.0369460.021029第10月0.134120

10、.0388270.0869220.039350.0356370.04578第11月0.118690.0434410.0867090.0233710.0499410.061985第12月0.10920.0476050.0836540.0192540.0838360第13月0.142370.0306550.0816170.0304230.0319260.044131年度和1.0968370.6457461.054790.3463980.4759320.179339对表5-1-3进行分析，在一年多时间里，每个月的氨氮的的最大值主要分布在第一段和第三段，即四川攀枝花到重庆朱沱 ，年度和最大的

11、两个也是第一段和第三段，因此主要受污染的河段有第一段和第三段，两者中第一段污染是在最后半年内剧增的，在后半年内污染最重。第三段的污染一直处于平稳增加的状态，污染也在一步步加剧。综合该六段水域在近一年多内受两种污染物污染的情况，可以得出污染物高锰酸钾盐指数的污染源主要在第三段，污染物氨氮的污染源主要在第一段和第三段。另外，分析差分方程中的扩散项 及浓度随时间变化率，根据其差分格式计算出结果，可以观察得出其中扩散项非常小，接近于零；又将浓度随时间的变化率项与平流项两者的绝对值作比较，浓度随时间的变化率在短时间内很小，而平流项是一个不小的数值，因此可以将浓度随时间的变化率项省略。通过两者的实际数据（

12、分别在表F1和表F2 中（见附录1），可以观察得出的绝对值远大于绝对值，因此在实际计算中，扩散项 及浓度随时间变化率项省略对整个等式不影响。2、微分方程反演模型对污染源的判定2.1 微分模型的建立与求解对反应扩散方程5-1-1进行简化，考虑以下两点：一、考虑在一个很小的时间段内任一处浓度的变化比较小，将反应扩散方程的项忽略不计，简化方程式为： 5-2-1二、进一步省略5-2-1中的扩散项，即将扩散系数视为零，物理上即是考虑理想情况下，污染物在水中扩散的过程省略，即将扩散视为在瞬间完成，可以得出。方程式5-2-1在固定时刻可以变化为常微分方程： 5-2-2 参照模型I中对扩散项 及浓度随时间变化

13、率项定量分析的出的结果，说明这样考虑是完全可行的。根据17个观察点在长江流域的分布情况，干流的七个观察点相邻两点之间作为一小段。把支流也看作是污染源，即我们反演出的将浓度随时间的变化率项中会有支流的影响。（如下图）：DAC假设CD两点之间的距离为A，以某一种污染物质为例，假设该物质在两点的浓度分别为：、，以这三个数为初始条件解出以及该段的污染源排出的污染物浓度，其数学模型为： 5-2-3对该微分方程积分求解： ， （的表达式1） 。2.2模型的结果与分析根据得出的速度以及已知数据，代入（的表达式1），利用MATLAB软件编程可以分别求出高锰酸钾盐值大小（程序见附录2 程序2 ），结果如下表（表

14、5-2-1）：表5-2-1 高锰酸钾盐的值第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.877140.323170.784860.548280.515940.1429第2月0.155360.659890.780290.578880.688530.19081第3月0.676310.843150.645310.3890100.47646第4月0.812870.627571.06440.2449100.3809第5月00.744790.995330.190210.0962330.2946第6月0.281610.39930.9278000.83685第7月0.435781.01130.650890.0

15、785080.570870.3346第8月0.311250.372960.576650.414250.440.32519第9月0.230840.535620.789020.386140.142390.42121第10月0.267360.405361.16130.381470.575560.4945第11月0.400150.403560.679910.616350.428890.43801第12月0.410050.422870.886510.270240.836410.29637第13月0.451490.490170.59390.376240.545530.24344年度和5.310217.23

16、97110.536174.4744884.8403534.87584对（表5-2-1）分析可以得出，第三段为主要污染源。同样根据得出的速度以及已知条件可以分别求出每一个月每一段的对氨氮的值大小，如下表所示(表5-2-2)：表5-2-2 氨氮的值第一段第二段第三段第四段第五段第六段第1月0.0508570.0593920.0508650.0547930.0219710第2月0.0811080.0622460.066010.0357760.0645580第3月0.0573670.084630.0718230.000890.0478890第4月0.059780.0295130.1168700.086

17、1160第5月00.0402690.0963850.03371700第6月0.056640.0944910.0629560.03775600第7月0.0677090.0460.103920.0059670.0189130第8月0.0772980.0458890.0817110.03498800.003909第9月0.143790.0143030.0741390.0123050.0345870.017172第10月0.142610.0304720.0928320.0343370.0372220.045099第11月0.127840.0294190.0943140.0150530.0498890.

18、069146第12月0.118520.0329840.0916490.0099020.0855210第13月0.156320.0132890.0920620.0206070.0328510.043535年度和1.1398390.5828971.0955360.296090.4795170.178861对（表5-2-2）进行分析，在一年多时间里，每个月的氨氮的的最大值主要分布也是在第一段和第三段，年度和最大的两个也是第一段和第三段，因此主要受污染的河段有第一段和第三段，两者中第一段污染是在最后半年内剧增的，在后半年内污染最重。第三段的污染一直处于平稳增加的状态，污染也在一步步加剧。综合该六段水域

19、在近一年多内受两种污染物污染的情况，可以得出污染物高锰酸钾盐指数的污染源主要在第三段，污染物氨氮的污染源主要在第一段和第三段。3、含支流的微分方程反演模型3.1模型III的建立与求解考虑两站点之间出现支流情况，根据地图描述的相邻干流站点间出现支流数量将这类情况分为两种，并可以依据地图近似得出支流入口处距相邻两干流站点的距离（参考问题I）：（一）两站点间只有一个支点情况（如图5-3-1） DCBE （图5-3-1）假设C、D各点的浓度和支流上站点（也即看作是支流入口点处）的浓度分别为、，当支流汇入长江时，支流入口处干流上的点E的浓度发生突变，因此该点处三个方向的浓度是不同的，具体假设用下图（图5-3-2）说明：DEC（图5-3-2）假设在E点处突变后三处的单位时间水流量分别为、，则有： 5-3-1是在分段的常数函数，在某一个CD段内是不变的待定常数。由C到E、C到D点，两段距离可以依据地图近似测量，分别记为E、D，根据两点间无支流情况得出两个含边界条件的微分方程：首先由C到E点有 ，积分后代入边界条件消去积分常数可以得出： 5-3-2同理可以得出E到D点微分方程： ，积分后代入边界条件消去积分常数可以得出