空间几何体的表面积和体积教案

1、适用学科高中数学适用年级高一适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时知识点几何体的表面积，几何体的体积，几何体的三视图与体积和表面积;教学目标掌握球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式通过几何体的探究，渗透空间想象能力；通过对表面积和体积求解，提高学生的推理论证能力、运算求解能力教学重点球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式教学难点球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式【教学建议】 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念

2、、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；对于几何体表面积和体积的求解，学生的学习困难主要在两个方面：（1） 要求准确的使用几何体的特征，例如：锥体中没有直棱柱，四面体是三棱锥，棱柱的上下底面平行且全等.（2）要有好的运算求解能力.【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为

3、了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法： 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：1、思路1 被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.

4、5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？设计意图：提出现实问题引起学生兴趣，激发学习的动力，从而调动学生积极性.二、知识讲解考点1 多面体的面积和体积公式【教学建议】通过前面的引导，得到单调函数的定义，建议用三种语言对比的形式来加深理解；得到增函数的定义后，可以让学生来类比写出减函数的定义：1. 直棱柱与圆柱的侧面积：等于它的底面周长和高（母线）的乘积，其中为底面的周长，为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2. 正棱锥（圆锥）的侧面积：等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半，其中为底面边长，为斜高；，其中为底面周长，为圆锥的底面半径，为母线长；3. 正棱台（圆台）的侧面积：等于它的上下

5、底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半，其中分别是正棱台上下底面的边长，为斜高；，其中分别是圆台上下底面的半径，为母线长；4. 球面面积：等于它的大圆面积的四倍，为球的半径【教学建议】(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,其侧面展开图分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形,侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.(3) 除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和表面积公式可以直接推导出来 (4)要提醒学生注意空间与平面问题的转化，对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图等有个比较清晰的印象，在

6、计算时能灵活转化考点2 几何体的体积公式1柱体（棱柱，圆柱）体积公式：，其中为底面积，为高；2棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：，其中为底面积，为高；3台体（棱台，圆台）的体积公式：，其中分别是台体上，下底面的面积，为台体的高；4球的体积：，为球的半径【教学建议】对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础的，根据祖暅原理得到的祖暅原理：幂势相同，则积不容异即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用提法“幂势既同

7、，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”卡瓦列利在他的名著连续不可分几何中提出这一原理，这本书出版于1635年课本对柱体和锥体体积公式的推导过程：长方体的体积；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：；利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等；三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为；利用两个锥体做差可得台体的体积公式三 、例题精析类型一 柱体、锥体、台体的表面积和体积例题11.(2019·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.【解析】1.选D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下

8、两个半圆的表面积,侧面积,所以此几何体的表面积.【总结与反思】空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.例题2【教学建议】本题有一定难度，视学生掌握程度选择使用.第二问可以放在类型二中放在例题1之后来讲.1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是,则圆锥的体积是()A B C D 2.已知一个三棱台的两底面是边长分别为和的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高和体积 .【答案】1

9、. A , 2. ,.【解析】1.设圆锥的母线长为,底面半径为,高为 (如图所示),则由题意得, 2.如图所示,三棱台ABC-ABC中,O,O为两底面的中心,D、D是BC、BC的中点,则DD是梯形BCCB的高,所以.又AB=20,AB=30,则上、下底面面积之和为 .所以.在直角梯形OODD中,即棱台的高为.由棱台的体积公式,可得棱台的体积为【总结与反思】求几何体体积的常用方法(1)公式法:直接代入公式求解.(2)等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可.(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,棱台补成棱锥等.(4)分割法:将几何体分割

10、成易求解的几部分,分别求体积.类型二 球体的表面积和体积例题11如图1­3­17是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为()图1­3­17A18B30C33D40【答案】C【解析】由三视图知该几何体由圆锥和半球组成球半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积S2×32×3×533.【总结与反思】 球体的表面积公式,扇形面积公式.2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2B.a2C.a2D5a2【答案】 B【解析】 由题意知，该三棱柱

11、为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a，如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP×aa，OPa，所以球的半径ROA满足R2a2，故S球4R2a2.【总结与反思】几何体内接于球体的问题,由球半径和截面半径构造的最重要.四 、课堂运用基础1正三棱锥的底面边长为a，高为，则此三棱锥的侧面积为()A B C D2长方体的高等于h，底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于()A BC D3过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为()A B C D4一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是()A372 B360 C292

12、D280答案与解析1. 【答案】A2. 【答案】C【解析】设长方体的底面边长分别为x，y，则，由得，.3. 【答案】A4. 【答案】B【解析】该几何体是由两个长方体组成，下方的长方体长为10，宽为8，高为2，故表面积为232，上方的长方体长为6，宽为2，高为8，故表面积为152.总的表面积为2321522×2×6360.巩固1已知三个球的半径R1、R2、R3满足R12R23R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是_2有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a0)用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱

13、柱，则a的取值范围是_答案与解析1. 【答案】 【解析】由球的表面积公式得，将，代入R12R23R3得.2. 【答案】 【解析】 由图可知，若拼成一个三棱柱，只能把原三棱柱底面相接，全面积确定，为；若拼成一个四棱柱，可能有把以3a为底的侧面相接以4a为底的侧面相接和以5a为底的侧面相接三种方案，相接的面积不在表面积中，故相接面的面积越大，得到的全面积越小，上述三种方案中把以5a为底的侧面相接时，得到的四棱柱表面积最小，为.为使表面积最小的为四棱柱，只需S2S1，即24a22812a248，解得.拔高1已知正三棱锥SABC，一个正三棱柱的一个底面的三顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底

14、面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2.(1)求三棱柱的高；(2)求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比2已知梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，ADa，BC2a，DCB60°，在平面ABCD内，过C作CB，以为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积 答案与解析1. 【答案】同解析 【解析】(1)设正三棱柱的高为h，底面边长为x，如图所示则，又S三棱柱侧3x·h120，xh40. 解得或故正三棱柱的高为10 cm或5 cm.(2)由棱锥的性质得或.2. 【答案】同解析 【解析】如图，在梯形ABCD中，

15、因为ABC90°，ADBC，ADa，BC2a，DCB60°，所以.DDAA2AD4a2a2a.所以.由于以为轴将梯形ABCD旋转一周后所形成的几何体为圆柱中被挖去一个底向上的圆锥，且圆锥的高等于圆柱的高由以上的计算知圆柱的母线长为，圆柱的底面半径为2a，被挖去圆锥的母线长为2a，底面圆的半径为a，所以圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，圆柱的底面积，圆锥的底面积，组合体的上底面积S5S3S43a2.所以组合体的表面积.五 、课堂小结本节讲了3个重要内容：1 几何体的表面积公式2 几何体的体积公式3 球体六 、课后作业基础1设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()A.B. C

16、4 D322两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()A23 B49 C. D.3体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A12 B. C8 D44一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是() A. B. C. D. 5等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是()AS球 < S圆柱 < S正方体BS正方体 < S球 < S圆柱CS圆柱 < S球 < S正方体DS球 < S正方体 < S圆柱答案与解析1.【答案】C 【解析】设正方体边长为a

17、，由题意可知，24，a2.设正方体外接球的半径为R，则a2R，R，V球R34.2.【答案】B 【解析】827，rR23，S1S2r2R249.3.【答案】A 【解析】设正方体棱长为a，则a38，所以a2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4·12，故选A.4.【答案】C【解析】根据球的截面性质，有R5，V球(cm3)5.【答案】A 【解析】设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则·2r，2，S圆柱6，S球4，S正方体6，·<1，·>1，故选A.巩固1一个几何体的三视图(单位：m)如图1

18、73;3­19所示，则该几何体的体积为_m3.图1­3­192湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是_cm，表面积是_cm2.3如图1­3­20，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径图1­3­204如图1­3­21所示(单位：cm)四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积图1­3­21答案与解析1.【答案】918【解析】由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V×3×21×3×6918.2.【答案】5100 【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则ODR1，则(R1)232R2，解得R5 cm，所以该球表面积为S4