生物统计学教案9

1、生物统计学教案第九章 两因素及多因素方差分析教学时间：5学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤9.1 两因素方差分析中的一些基本概念 模型类型交叉分组设计：A因素的a个水平和B因素的b个水平交叉配合，共构成ab个组合，每一组合重复n次，全部实验共有abn次。固定模型：A、B两因素均为固定因素。随机模型：A、B两因素均为随机因素。混合模型：A、B两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。 主效应和交互作用主效应：由于因素水平的改变所造成的因素效应

2、的改变。 A1 A2 A1 A2 B1 18 24 B1 18 28 B2 38 44 B2 30 22 先看左边的表。A因素的主效应应为A2水平的平均效应减A1水平的平均效应，B的主效应类似。当A1B1A2B2A1B2A2B1时，A、B间不存在交互作用。这里A1B1A2B262，A1B2A2B162，因此A、B间不存在交互作用。交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用。现在看右边的表。A（在B1水平上）A2B1A1B1281810A（在B2水平上）A2B2A1B222308显然A的效应依B的水平不同而不同，故A、B间存在交互作用。交互作用的大小为 A

3、B（A1B1A2B2）（A1B2A2B1） 两因素交叉分组实验设计的一般格式假设A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复包含ab次实验，实验重复n次，总的实验次数为abn次。以xilk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重复的观测值。一般格式见下表。 因 素 B j=1,2,b B1 B2 Bb 总计 A1 x111 x121 x1b1 x112 x122 x1b2 x11n x12n x1bn x1. . 因 素 A2 x211 x221 x2b1 A x212 x222 x2b2 x21n x22n x2bn x2. . Aa xa11 xa21 xab1 xa12 xa22 x

4、ab2 xa1n xa2n xabn xa. . 总计 x.1. x.2. x.b. x. . .上表中的各种符号说明如下： A 因素第i水平的所有观察值的和，其平均数为 B因素第j水平所有观察值的和， 其平均数为A因素第i水平和B因素的第j水平和所有观察值的和， 其平均数为 所有观察值的总和， 其平均数为关于实验重复的正确理解：这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。9.2 固定模型 线性统计模型对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此交互作用的效应也是固定的ijk是相互独立且服从N(0 , 2)的随机变量。固定模型方差分析的零假设为： 平方和与自由度的分解 与单因素方

5、差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。上述各项分别为A因素、B因素、AB交互作用和误差平方和，即：自由度可做相应的分解：由此得出各因素的均方： 均方期望与统计量F的确定对上式E(MSA)、E(MSB)和E(MSe)中的第二项，分别记为：于是：这时，零假设还可以写为：用F作为检验统计量，以对A因素的检验为例：当F >F时拒绝H01。对B因素和AB交互作用的推断类似。变差来源 平方和 自由度 均方 F 均方期望A因素 SSA a-1 MSA MS

6、A/MSe 2+bn 2B因素 SSB b-1 MSB MSB/MSe 2+an 2AB交互作用 SSAB (a-1)(b-1) MSAB MSAB/MSe 2+n 2误差 SSe ab(n-1) MSe 2总和 SST abn-1两因素固定模型的方差分析表如下： 平方和的简易计算法为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的其中称为校正项，用C表示。不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复间平方和得到的。为了得到误差平方和，必须设置重复。由总平方和减去A因素、B因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。如果不设置重复，无法得到误差平方和，其误差

7、平方和是用残余项估计的。即使实验存在交互作用也无法独立获得，这时的交互作用与误差混杂。这一点在设计实验时一定要特别注意。交互平方和： 原 料 种 类 1 2 3温 30 35度 40 41 49 23 25 47 59 50 40 43 35 53 50 11 13 25 24 43 38 33 36 55 38 47 44 6 22 26 18 8 22 18 14 30 33 26 19例 为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有4次重复。将每一数据都减去30，列成表9-1。原料(A)

8、 温度(B) xij1 xij2 xij3 xij4 xij. xij.2 30 11 19 -7 -5 18 324 556 1 35 -19 -17 -5 -6 -47 2209 711 40 -24 -8 -4 -12 -48 2304 800 30 17 29 20 10 76 5776 1630 2 35 13 8 3 6 30 900 278 40 -22 -8 -12 -16 -58 3364 948 30 13 5 23 20 61 3721 1123 3 35 25 8 17 14 64 4096 1174 40 0 3 -4 -11 -12 144 146 和 84 228

9、38 7366 利用xij.列，列成表92 温 度 (B) 30 35 40 xi . . xi . .2 原 1 18 47 48 77 5929 料 2 76 30 58 48 2304 (A) 3 61 54 12 113 12769 x.j. 155 47 118 84 21022 x.j.2 24025 2209 13924 40158从表91中可以计算出：及由表92中可以计算出：列成方差分析表变差来源平方和自由度 均方 F原料 A1554.17 2 777.0912.67*温度 B3150.58 21575.2925.68* AB 808.75 4 202.19 3.30*误 差1

10、656.50 27 61.35总 和7170.00 35 无重复实验时的两因素方差分析如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（n = 1）。无重复实验的方差分析，只需将前一节公式中所有的n都改为1，即可完成计算。不同点只是计算更容易一些。这里不再详述。9.3 随机模型 线性统计模型对于随机模型：因此，任何观察值的方差零假设为： 均方期望与统计量F的确定随机模型中各平方和的计算与固定模型一样，这里不再重复。但均方期望不同，因此检验统计量也不同。从均方期望中可以看出，交互作用均方是用误差均方检验的，若MSAB不显著，表明它也是误差的估计，应与MSe合并，用合并后

11、的均方对主效应做检验。合并的方法是若交互作用显著，则可以直接用它检验主效应。随机模型的方差分析表如下：随机模型的方差分析表如下：变差来源平方和自由度均方F均方期望A因素SSAa-1MSAMSA/MSABB因素SSBb-1MSBMSB/MSABA×BSSAB(a-1)(b-1)MSABMSAB/MSe 误 差SSeab(n-1)MSe总 和SSTabn-1例 为了研究不同地块中，施用不同数量的农家肥对作物产量的影响，设计一个两因素实验，实验结果如下： 地 块 B 一号地 二号地 三号地 施 肥 量 A100Kg 8.69 8.47 8.80 8.74 9.49 9.37200Kg 8.

12、88 8.72 9.68 9.54 9.39 9.59300Kg 10.8210.86 11.0010.92 11.0711.01400Kg 11.1611.42 10.9711.13 11.0010.90解：xijk9.5 , 列成表9.1：施肥量 地 块 一-0.81-1.03-1.843.38561.7170100二-0.70-0.76-1.462.13161.0676三-0.10-0.13-0.040.01960.0170一-0.62-0.78-1.401.96000.9928200二0.180.040.220.04840.0340三-0.110.09-0.020.00040.0202

13、一1.321.362.687.18243.5920300二1.501.422.928.52044.2664三1.571.513.089.48644.7450一1.661.923.5812.81646.4420400二1.471.633.109.61004.8178三1.501.402.908.41004.210013.6263.577232.9218利用xij列，列成表9.2 地 块 一二三 施 肥 量100-1.84-1.46-0.14-3.4411.8336200-1.400.22-0.02-1.201.44003002.682.923.088.6875.34244003.583.102.

14、909.5891.7764 3.024.785.8213.62180.3924 9.120422.848433.872465.8412 由表9.1计算出 由表9.2计算出方差分析表变差来源平方和自由度均方F施肥量 A22.336037.445336.63*地 块 B0.500820.25041.23AB1.222460.20372.16误 差1.1332120.0944总 和25.192423 * = 0.019.4 混合模型 线性统计模型一个因素是固定的（如A），另一因素是随机的（如B），该模型称为混合模型。其中i是固定效应，j是随机效应，()ij是随机效应。 , j: NID(0,2) ,

15、 ()ij: NID(0,2) 均方期望与统计量F的确定各均方期望如下：相应的检验统计量为：混合模型的方差分析表为：变差来源 平方和 自由度均 方 F 均方期望 A因素 SSA a1 MSA B因素 SSB b1 MSB AB SSAB(a-1)(b-1) MSAB 误 差 SSe ab(n-1) MSe 总 和 SST abn-19.5 两个以上因素的方差分析 平方和与自由度分解的一般规律平方和的分解，可根据两因素方差分析平方和分解方法，推展出来。如一个三因素固定模型实验，线性统计模型为：各因素的平方和如下：残余项为三因素交互作用 SSABCSSTSSASSBSSCSSABSSACSSBCS

16、SE自由度的分解： 主效应自由度是其水平数减1 交互作用自由度是相关因素自由度的乘积 误差自由度各因素水平数乘以重复数减1。由三因素平方和与自由度的分解的规律，可以很容易得到更多因素时的平方和与自由度。不过，在实际应用时，三个因素实验基本上可以满足需要了。 均方期望的表格化推演方法平方和与自由度的分解并不很困难，困难的是需要得到可靠的检验统计量，也就是说需要得到各个分量的均方期望。表格法推演是简单可靠的，下面以两因素为例，说明其方法。几个规定：误差ijk写成(ij)k，括号内的下标称为死下标，没有括号的下标都是活下标。固定模型中各因素的效应分量，分别用表示。随机模型中各因素的方差分量，分别用表

17、示。混合模型中，交互作用的两个因素中只要有一个是随机因素，则交互作用即被认为是随机的。误差方差记为2。以固定模型为例，说明其推演步骤： 首先列出右表，线性统计模型中的每个分量占据一行，每个下标占一列。表头上写上因素的类型，固定型记为F，随机型记为R，重复属于随机的，记为R。写上各因素的水平数a、b、n以及每一分量的下标i、j、k。FFR因素abnijki0j0()ij00(ij)k111FFR因素abnijkij()ij(ij)k11在行分量中，若某个死下标与列中的该下标一致，则写上“1”。若每一行分量上的一个活下标与列上的下标一致，且列是以固定因素为表头的，则写上“0”，列是以随机因素为表头

18、的，则写上“1”。FF R因素abnijki0bnja0n()ij00n(ij)k111在其余空白行位置上写上各列表头所标明的水平数。为了求某一模型分量（因素）的的均方期望，用纸条盖上以其活下标为表头的那一列，然后找出包含该下标的那些行。把未盖上的字母和数字相乘，再乘上相应的固定因素的效应分量或随机模型的方差分量。这些乘积的和，即为该因素的均方期望。例如求E（MSA），盖上列i，剩下的列是列j和列k，包含i的行是4、3、1。这三行中未盖上的数字和（或）字母的乘积为1、0、和bn，由此得出因素A的均方期望：同理可以推出：一个完整的两因素混合模型（A固定，B随机）的例子如下：FRR因 素abn均方期望ijki0bnja1n()ij01n(ij)k111 统计量F的确定一个混合模型A、C固定，B随机，均方期望的推演如下：FRFR因 素abcn均方期望ijkli0bcnja1cnkab0n()ij01cn()ik0b0n()jka10n()ijk010n(ijk)l1111根据均方期望可以得出各因素的