相似基本模型之三等角答案

1、相似基本模型-三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：CADBEF典型例题【例1】如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60°（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE 。（）ABCPQ【例2】嘉定区2009年一模（1）在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图10），且，求线段的长；若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；ABC备用图ABCD图12（2）正方形的边长为（如图1

2、2），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.【例3】如图，已知边长为的等边，点在边上，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，（1）写出图八中与相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4）若，试求的面积答：（1）BEFAMECFNGMN；3分证：（2）在BEF与AME中， BA60°,AEM+AME=120°1分GEF60°, AEM+BEF =120° BEFAME 1分(图八)BEFAME1分解：（3）(i)

3、当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图八，BEFAME，BEAMBFAE， 即：xAM2(3-x) ，AM，同理可证BEFCFN；BECFBFCN， 即：x12CN ，CN备用图一A AC=AM+MN+CN，3=y ()1分+1分(ii) 当点E在线段AB上，点G在ABC内时，如备用图一，A 同上可得：AM，CN AC=AM CNMN，3=y备用图二A ()1分+1分 (iii) 当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二， AM，CN AC= MN CNAM，3= y (x>3) 1分+1分综上所述：()或 (x1)； （4）(i)当AE1时，是边长为1等边三角形，；1分 (i

4、i) 当AE1时，是有一个角为30°的Rt，x=4, y=,NG=,分【例4】（2011年徐汇区一模25）如图，在梯形中，点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结（1）求证：；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；（BM=EM时，EF=6;BM=BE时，EF=4.5）（3）若，求的长（）强化训练：1. 如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；ABCDE(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由ABCDEF2. 已知：如图，在ABC中，点D在边AB上，点E在边B

5、C上又点F在边AC上，且(1) 求证：FCEEBD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由CPEABF3. 如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，记PE=，PF=,PEF的面积为y（1）分别求、y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。（3）若PEF为等腰三角形，求PC的长。4、已知在等腰三角形中，是的中点， 是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于

6、点.（1）求证：；（2）设.用含的代数式表示；求关于的函数解析式，并写出的定义域.解：,1分1分又,1分 1分（2），2分是的中点，又 当点在线段的延长线上时，1分当点在线段上时，1分过点作,交于点1分，1分当点在线段的延长线上时，1分1分当点在线段上时，1分1分2001年上海中考CDABP4. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求

7、y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长（不必写出解题过程）5. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点 （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； 当时，求BP的长EDCBA（备用图）EDCBAP（第25题图）6、（2008年崇明一模）如图，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F（1）求证：DBEECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（2或3）（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长（2或）7、等腰ABC，AB=AC=，BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时求证：BPECFP；（